Perspective isométrique

Placement d'un point sur la perspective isométrique.

On parle de perspective isométrique car les distances sont reportées de la même manière sur les trois axes. On applique à toutes les longueurs qui sont colinéaires à un axe un coefficient réducteur de 0,82.

Dans le cas de la représentation d'un objet, on définit d'abord une face de l'objet que l'on considère comme la face avant, et l'on y place un repère ; dans ce plan, on n'a donc que deux axes visibles, le troisième est perpendiculaire au dessin. L'origine du repère est en général placée dans un coin.

On réalise ensuite deux vues (au moins) qui sont les projections orthogonales de l'objet sur la face avant et sur une face perpendiculaire (face de gauche, de droite, du dessus ou du dessous). Ensuite, il suffit de mesurer les coordonnées des points dans ce repère à partir des deux figures, et de reporter ces coordonnées sur les axes de la perspective isométrique en appliquant ce coefficient de 0,82.

Les angles entre les axes (x, y et z) sont tous égaux (120°).

Cercles sur un cube vus en perspective isométrique.

Les cercles sont des formes importantes dans le dessin technique ; ceci est une conséquence des procédés de fabrication des pièces (usinage) : perçage, fraisage, tournage… Ils sont aussi importants en génie civil (débouchés de tuyaux, arc en plein-cintre, giratoires…). Lorsque l'on génère la perspective isométrique par ordinateur, celui-ci peut calculer la transformation du cercle. Mais ceci devient compliqué lorsque l'on dessine à la main.

Remarquons dans un premier temps qu'un cercle est toujours inscrit dans un carré auquel il est 4 fois tangent, au milieu des côtés. En vue de face, on contraint donc le cercle dans un carré.

En perspective isométrique, ce carré devient un parallélogramme. Les tangences restent les mêmes (milieu des côtés), mais le cercle devient une ellipse.

La projection oblique fait varier le diamètre du cercle entre 1 (grand diamètre de l'ellipse, donc diamètre horizontal du cercle de départ projeté en vraie grandeur) et 0,58 (son petit diamètre, vu sous sa plus importante réduction dans la direction de la plus grande pente).

Des trace-ellipses normalisés permettent de tracer des ellipses respectant ces proportions pour plusieurs tailles de grand axe.

les figures de gauche représentent les vues en géométrie descriptive ; la figure de droite représente une perspective isométrique avec une coupe.

En dessin industriel, on représente une pièce sous différents angles de vue, perpendiculairement à des axes. Ces axes sont « naturels » : une pièce ayant une fonction mécanique (liaison et mouvement avec d'autres pièces), elle présente des contraintes de forme et d'usinage qui font qu'elle a en général un axe de symétrie ou des faces planes. Ces axes ou les arêtes de ces faces permettent de définir un repère orthogonal (que l'on choisit orthonormé).

On peut donc facilement exécuter une perspective isométrique d'une pièce à partir des vues en géométrie descriptive utilisées habituellement.

La perspective isométrique permet au lecteur de se représenter facilement la forme de la pièce, mais ne permet pas de transmettre des informations utiles à la conception et à la réalisation de la pièce.

Eugène Viollet-le-Duc l'a utilisée dans plusieurs de ses tableaux de châteaux (et de leurs bâtiments annexes) pour éviter d'accentuer l'importance de certains de ces éléments et de la position de l'observateur (le cavalier de la perspective cavalière dans l'observation des fortifications).

Perspective pseudo-isométrique, dite « ¾ », utilisée dans certains jeux vidéo : rapport 2:1.

Un certain nombre de jeux vidéo (comme Zaxxon, Marble Madness, Monument Valley ou encore Crafton et Xunk) mettant en œuvre des personnages utilisent une vue objective en perspective isométrique ; on parle souvent, dans ce domaine, de « perspective 3/4 ». D'un point de vue pratique, cela permet de déplacer les éléments graphiques (sprites) sans en changer la taille, ce qui était indispensable lorsque les ordinateurs étaient peu puissants, et présente toujours un grand intérêt pour les consoles de poche.

Cela pose cependant quelques problèmes de confusion (du fait de l'aplatissement de l'image, la profondeur est rendue par un déplacement dans le plan).

En raison de la pixellisation, et dans un souci d'optimisation des calculs, certains jeux font progresser les axes selon un rapport de 2:1, ceux-ci sont donc inclinés d'un angle de 26,6° (arctan 0,5) au lieu de 30°. Ce n'est donc pas de la perspective isométrique à proprement parler, mais une perspective dimétrique (un autre type de perspective axonométrique), mais le terme « isométrique » est cependant utilisé par abus de langage.

Illustration de la projection de l'axe des z sur le plan.

On peut calculer le facteur de proportionnalité sur les axes simplement grâce à la trigonométrie :

• considérons l'arête du cube qui va de l'origine au point (0,0,1) ; elle fait un angle α avec le plan de projection, le projeté a donc une longueur de cos α ;
• α est aussi l'angle entre la normale au plan de projection passant par l'origine et par le point (1,1,1), et la bissectrice des axes x et y qui passe par (1,1,0) ;
• dans le triangle formé par les points (0,0,0), (1,1,0) et (1,1,1) est un triangle rectangle ; le segment [(0,0,0), (1,1,0)] a pour longueur √2 (diagonale du carré), le segment [(1,1,0), (1,1,1)] a pour longueur 1, et l'hypoténuse [(0,0,0), (1,1,1)] a pour longueur √3

On a donc

${\displaystyle \cos \alpha ={\sqrt {\frac {2}{3}}}\simeq 0,82}$.

On en déduit que α ≈ 35,26 °.

On peut aussi utiliser le produit scalaire :

• le vecteur unitaire porté par la grande diagonale est (1/√3, 1/√3, 1/√3) ;
• l'arête [(0,0,0), (0,0,1)] se projette sur la grande diagonale en un segment de longueur k₁, et sur le plan normal à cette grande diagonale en un segment de longueur k₂
• k₁ est le produit scalaire de ${\displaystyle {\vec {a}}}$ et de ${\displaystyle {\vec {b}}}$, et peut se calculer avec les coordonnées : ${\displaystyle k_{1}={\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=1\times 1/{\sqrt {3}}+0\times 1/{\sqrt {3}}+0\times 1/{\sqrt {3}}=1/{\sqrt {3}}}$
• le théorème de Pythagore nous indique que k₁² + k₂² = 1 (longueur de l'arête du cube).

On a donc :

${\displaystyle k_{2}={\sqrt {\frac {2}{3}}}\simeq 0,82}$.

Les longueurs des segments sur les axes du repère se projettent donc avec un facteur de 0,82.

On arrive également à cette conclusion en utilisant la formule générale des projections orthogonales, voir Perspective axonométrique > Perspective isométrique.

Par ailleurs, si l'on considère le cercle unité du plan (x, y), le rayon se projetant selon la ligne de plus grande pente est la première bissectrice du plan, avec un facteur de projection valant sin α = k₁ = 1/√3 ≈ 0,58, ce qui correspond au petit axe de l'ellipse.

Projection de la base orthonormée de l'espace.

La transformation des coordonnées cartésienne est utilisée pour calculer les vues à partir des coordonnées des points, par exemple dans le cas de jeux vidéo ou de logiciels de représentation graphique 3D.

Supposons l'espace muni d'une base orthonormée directe ${\displaystyle ({\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3})}$. La projection P se fait selon le vecteur ${\displaystyle {\vec {u}}}$ de composantes ${\displaystyle (1,1,1)}$, c'est-à-dire le vecteur ${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {e}}_{1}+{\vec {e}}_{2}+{\vec {e}}_{3}}$, selon le plan représenté par ce même vecteur.

Comme toute application linéaire, elle peut être représentée par la transformation des vecteurs de la base, puisqu'un vecteur ${\displaystyle {\vec {v}}=v_{1}{\vec {e}}_{1}+v_{2}{\vec {e}}_{2}+v_{3}{\vec {e}}_{3}}$ quelconque se transforme selon

${\displaystyle \mathrm {P} ({\vec {v}})=\mathrm {P} (v_{1}{\vec {e}}_{1}+v_{2}{\vec {e}}_{2}+v_{3}{\vec {e}}_{3})=v_{1}\mathrm {P} ({\vec {e}}_{1})+v_{2}\mathrm {P} ({\vec {e}}_{2})+v_{3}\mathrm {P} ({\vec {e}}_{3})}$.

Soit ${\displaystyle {\vec {e}}\,'_{n}=\mathrm {P} ({\vec {e}}_{n})}$. Appelons ${\displaystyle ({\vec {\imath }},{\vec {\jmath }})}$ la base orthonormée directe dans le plan de projection. On choisit arbitrairement que ${\displaystyle {\vec {e}}\,'_{1}}$ fait un angle de -π/6 avec ${\displaystyle {\vec {\imath }}}$.

L'application des calculs pour les projections orthogonales au cas particulier de la perspective isométrique nous donne (voir Perspective axonométrique > Perspective isométrique) :

• ${\displaystyle {\vec {e}}\,'_{1}={\frac {\sqrt {2}}{2}}{\vec {\imath }}-{\frac {1}{\sqrt {6}}}{\vec {\jmath }}}$ ; ${\displaystyle k_{1}={\sqrt {\frac {2}{3}}}}$ ;
• ${\displaystyle {\vec {e}}\,'_{2}=-{\frac {\sqrt {2}}{2}}{\vec {\imath }}-{\frac {1}{\sqrt {6}}}{\vec {\jmath }}}$ ; ${\displaystyle k_{2}=k_{1}}$ ;
• ${\displaystyle {\vec {e}}\,'_{3}={\sqrt {\frac {2}{3}}}{\vec {\jmath }}}$ ; ${\displaystyle k_{3}=k_{1}}$.

La matrice de la projection M_P est donc

${\displaystyle \mathrm {M_{P}} ={\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {2}}{2}}&-{\frac {\sqrt {2}}{2}}&0\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\sqrt {\frac {2}{3}}}\end{pmatrix}}}$.

Considérons un point (x, y, z) de l'espace qui se projette en (x', y'). Sa projection sera donc :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\\\end{pmatrix}}=\mathrm {M_{P}} {\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {2}}{2}}(x-y)\\{\sqrt {\frac {2}{3}}}z-{\frac {1}{\sqrt {6}}}(x+y)\end{pmatrix}}}$.

Voir aussi Projection (géométrie) > Projection sur un plan parallèlement à une droite en géométrie analytique.

Considérons le cercle trigonométrique du plan ${\displaystyle ({\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{3})}$. Les coordonnées paramétriques de ses points sont :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \\0\\\end{pmatrix}}}$

Les coordonnées des points projetés dans la base ${\displaystyle ({\vec {\imath }},{\vec {\jmath }})}$ sont donc

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {2}}{2}}(\cos \theta -\sin \theta )\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}(\cos \theta +\sin \theta )\\\end{pmatrix}}}$

La distance à l'origine est ${\displaystyle r={\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}$, soit

${\displaystyle r^{2}={\frac {2}{3}}\left(1-\sin \theta \cos \theta \right)={\frac {2}{3}}\left(1-{\frac {1}{2}}\sin 2\theta \right)}$

(formule de Moivre) ; ceci fournit au passage une équation paramétrique de l'ellipse. Cette distance varie donc entre 1 et ${\displaystyle {\sqrt {1/3}}\approx 0{,}58}$. On retrouve les rapports du grand axe et du petit axe de l'ellipse.