Levier (mécanique)

Dans une approche élémentaire, nous considérons deux efforts :

• l'effort produit par l'actionneur — la personne manipulant le levier
• l'effort produit par l'effecteur — la partie du levier qui fait le travail voulu.

Cette étude est peu rigoureuse, puisqu'elle ne passe pas par la démarche de la statique du solide (isolement du solide, bilan des actions mécaniques extérieures, application des principes de la statique), mais c'est cette étude qui a permis la découverte des principes fondant la statique.

Supposons également, pour simplifier, que le levier est droit (rectiligne) et que les efforts sont perpendiculaires au levier. On constate alors que le levier amplifie (ou réduit) l'effort proportionnellement au rapport des bras de levier, c'est-à-dire à la distance du pivot au point d'application de l'effort.

Dans une étude rigoureuse, il faut isoler le levier.

La liaison entre le levier et son appui est généralement unilatérale (un seul sens d’application d’effort est alors possible) dans le cas d'un levier amovible, ou constitue une articulation (pivot, rotule…).

Cet appui ne se situe pas obligatoirement entre les deux points d’application des forces, il peut être extérieur à ces points. C’est le cas par exemple pour la brouette.

D'autre part, le levier subit une charge, ce qu'on veut soulever ou pousser, et une force motrice, celle qu'on exerce en la souhaitant la plus faible possible.

L'équilibre sous trois forces — relation entre trois vecteurs — implique que le levier agit dans un plan. Il est possible que ce plan ne soit pas fixe, et tourne dans l'espace. C’est le cas d’un levier de vitesses automobile, maintenu par une liaison rotule à doigt.

L'étude qui suit présente un levier dans le plan cinématique et statique. Tous les vecteurs sont vus en vraie grandeur. Le levier est maintenu par un appui ponctuel ou linéaire rectiligne.

Déplacement d'un levier autour de son appui.

Les vecteurs ${\displaystyle {\vec {V_{1}}}}$ et ${\displaystyle {\vec {V_{2}}}}$ ont même angulation mais sont de sens opposés : ${\displaystyle {\vec {V_{1}}}\cdot {\vec {V_{2}}}<0}$. Ces deux vecteurs peuvent représenter un déplacement (m), une vitesse (m/s) ou une accélération (m/s²).

Le théorème de Thalès nous donne la relation : ${\displaystyle {\frac {\|{\vec {V_{1}}}\|}{\|{\vec {V_{2}}}\|}}={\frac {V_{1}}{V_{2}}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}}$.

Cette relation peut s'écrire plus utilement ${\displaystyle V_{1}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}\times V_{2}}$ ou ${\displaystyle V_{2}={\frac {L_{2}}{L_{1}}}\times V_{1}}$.

Un levier permet donc de transformer un déplacement, une vitesse ou une accélération selon le rapport de ses bras de levier.

Une utilisation guerrière de l'aspect cinématique du levier est le trébuchet. Dans ce cas, une masse attachée à une extrémité (L₁) est accélérée par la pesanteur terrestre, le levier augmente et transmet cette accélération à l'autre extrémité (L₂) afin de projeter un boulet.

Dans ce cas, outre l'amplification de la vitesse, on a également une multiplication de l'amplitude du mouvement, ainsi que de la force requise (dans le cas du trébuchet, le poids d'entrainement plusieurs fois supérieure à celui du boulet).

En sens inverse, on peut diviser la force requise pour exercer une force donnée, au prix de la division de l'amplitude de mouvement dans le même ratio.

Ceci est largement utilisé par les appareils de manutention, par exemple dans les chèvres hydrauliques, les tables à ciseaux, les plateformes et nacelles élévatrices, les échelles aériennes, les élévateurs de manège, …

Levier en équilibre sous des actions extérieures.

Le principe fondamental de la statique (PFS) appliqué au système {levier} au point O donne deux équations vectorielles :

• Pour les résultantes :

${\displaystyle {\vec {\mathrm {F} _{1}}}+{\vec {\mathrm {F} _{2}}}+{\vec {\mathrm {R} }}={\vec {0}}}$

Soit, en projection sur ${\displaystyle {\vec {y}}}$ :

${\displaystyle -\mathrm {F} _{1}-\mathrm {F} _{2}+\mathrm {R} =0\,}$ (1)

• Pour les moments :

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{o}({\vec {\mathrm {F} _{1}}})+{\mathcal {M}}_{o}({\vec {\mathrm {F} _{2}}})+{\mathcal {M}}_{o}({\vec {\mathrm {R} }})={\vec {0}}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow {\vec {\mathrm {F} _{1}}}\wedge {\vec {\mathrm {AO} }}+{\vec {\mathrm {F} _{2}}}\wedge {\vec {\mathrm {BO} }}+{\vec {0}}={\vec {0}}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow -\mathrm {F} _{1}\cdot {\vec {y}}\wedge \mathrm {L} _{1}\cdot {\vec {x}}-\mathrm {F} _{2}\cdot {\vec {y}}\wedge (-\mathrm {L} _{2}{\vec {x}})={\vec {0}}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow \mathrm {F} _{1}\cdot \mathrm {L} _{1}\cdot {\vec {z}}-\mathrm {F} _{2}\cdot \mathrm {L} _{2}{\vec {z}}={\vec {0}}\,}$

Ce qui donne finalement en projection sur ${\displaystyle {\vec {z}}}$ :

${\displaystyle \mathrm {F} _{1}\cdot \mathrm {L} _{1}-\mathrm {F} _{2}\cdot \mathrm {L} _{2}=0\,}$

que l'on écrira plus utilement :

${\displaystyle \mathrm {F} _{1}\cdot \mathrm {L} _{1}=\mathrm {F} _{2}\cdot \mathrm {L} _{2}}$

ou

${\displaystyle {\frac {\mathrm {F} _{1}}{\mathrm {F} _{2}}}={\frac {\mathrm {L} _{2}}{\mathrm {L} _{1}}}}$.

Remarques sur les résultats :

• le rapport des bras de levier est inversé par rapport à la relation sur les vitesses ;
• l'équation (1) permet de calculer l'effort que l'appui subit.

Le rapport des forces est donc inversement proportionnel au rapport des bras de levier.

Principe du levier sur la brouette : ${\displaystyle \mathrm {P} \cdot a=\mathrm {F} \cdot b}$.

Le sécateur et le pied-de-biche, aussi appelé pince monseigneur, utilisent l'aspect statique du levier. Un petit effort appliqué par l'utilisateur sur le grand bras de levier permet d'obtenir un effort très important au niveau du petit bras de levier et permet ainsi de couper une branche ou d'arracher un clou.

De même, l'intérêt de la brouette, dans le transport de charges, repose sur ce principe.

Le levier respecte le principe de la conservation de l'énergie.

En A, la puissance appliquée est ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\mathrm {A} }=\mathrm {F} _{1}\times \mathrm {V} _{1}}$.

La puissance transmise en B est ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\mathrm {B} }=\mathrm {F} _{2}\times \mathrm {V} _{2}}$.

Or nous avons vu que ${\displaystyle \mathrm {V} _{1}={\frac {\mathrm {L} _{1}}{\mathrm {L} _{2}}}\times \mathrm {V} _{2}}$ et que ${\displaystyle \mathrm {F} _{1}={\frac {\mathrm {L} _{2}}{\mathrm {L} _{1}}}\times \mathrm {F} _{2}}$.

On a donc ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\mathrm {A} }=\mathrm {F} _{1}\times \mathrm {V} _{1}={\frac {\mathrm {L} _{2}}{\mathrm {L} _{1}}}\times {\frac {\mathrm {L} _{1}}{\mathrm {L} _{2}}}\times \mathrm {F} _{2}\times \mathrm {V} _{2}=\mathrm {F} _{2}\times \mathrm {V} _{2}={\mathcal {P}}_{B}}$.

Ainsi la puissance et l’énergie sont intégralement transmises du point A au point B.

En pratique, une petite partie de la puissance est dégradée sous forme de chaleur et/ou de vibrations sonores au niveau de la liaison avec l’appui. Pour en tenir compte, il faut connaître le rendement de cette liaison.

À partir du principe de conservation de l'énergie (ici sous la forme du travail des forces) on retrouve les propriétés du levier, notamment le fait que le rapport des forces aux extrémités est égal au rapport inverse des longueurs des bras.

Selon le principe des travaux virtuels, les déplacements de la structure sont si petits que sa géométrie n'est pas changée. Les grandeurs infinitésimales sont précédées du signe ${\displaystyle d}$ et nous plaçons le point 1 en A et 2 en B.

En 1, le travail virtuel vaut ${\displaystyle d{\mathcal {W}}_{1}=\mathrm {F} _{1}\times dx_{2}}$.

Le travail virtuel en 2 est ${\displaystyle d{\mathcal {W}}_{2}=\mathrm {F} _{2}\times dx_{1}}$.

Comme la structure ne travaille pas au repos, nous pouvons égaler ces deux travaux virtuels, donc ${\displaystyle \mathrm {F} _{1}\times dx_{1}=\mathrm {F} _{2}\times dx_{2}}$.

Or les déplacements des points 1 et 2 sont liés par la géométrie de la structure car si nous considérons que les poutres restent parfaitement rigides, dès lors, ${\displaystyle \mathrm {L} _{1}\times dx_{1}=\mathrm {L} _{2}\times dx_{2}}$.

On a donc ${\displaystyle \mathrm {L} _{1}\times \mathrm {F} _{1}=\mathrm {F} _{2}\times \mathrm {L} _{2}}$.

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