Fonction (mathématiques)

Par défaut, une fonction est souvent notée ${\displaystyle f}$ ou ${\displaystyle F}$, et si d'autres notations de fonctions sont nécessaires au sein d'un même raisonnement, on utilise en général les lettres suivantes dans l'alphabet latin, voire dans l'alphabet grec en commençant par φ ou ψ.

${\displaystyle f(7)={\frac {2\times 7-1}{7+3}}={\frac {13}{10}}}$

Calcul de la valeur en 7 de la fonction
définie par l’expression ${\displaystyle f(x)={\frac {2x-1}{x+3}}}$

Une fonction est souvent définie par son expression, dépendant en général d’une ou plusieurs variables, le plus souvent x ou t. En remplaçant les variables par des valeurs explicites dans l’expression, on obtient une valeur de la fonction.

Dans le cadre de l’analyse réelle, les fonctions ont des variables réelles, mais certaines valeurs réelles ne peuvent être employées dans l’expression et sont appelées valeurs interdites. C’est le cas par exemple de zéro pour la fonction inverse, car on ne peut pas diviser par zéro. Par défaut, on considère souvent que la fonction est définie partout en dehors des valeurs interdites. Cependant, on peut aussi spécifier un domaine de définition qui rassemble toutes les valeurs possibles pour les variables (assimilé à l’ensemble de départ ou source pour une application) et un ensemble d'arrivée (but) qui contient toutes les valeurs possibles de la fonction.

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\mathbb {R} ^{*}&\to &\mathbb {R} \\x&\mapsto &{\frac {1}{x}}\end{array}}}$

Notation standard pour la fonction inverse.

Ces informations peuvent être résumées par un diagramme comme suit, où la flèche entre les ensembles source et but est une simple flèche vers la droite (→), tandis que celle entre la variable et l’expression est munie d’un taquet (↦) :

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\mathrm {source} &\to &\mathrm {but} \\\mathrm {variable(s)} &\mapsto &\mathrm {expression} \end{array}}}$

ou, pour une fonction f définie sur un ensemble E à valeurs dans un ensemble F :

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}E&\to &F\\x&\mapsto &f(x)\end{array}}}$

Une fonction peut être définie par plusieurs expressions valables sur des domaines disjoints, comme la fonction valeur absolue : ${\displaystyle x\mapsto \left\{{\begin{array}{cl}x&\mathrm {si} \ x\geq 0\\-x&\mathrm {si} \ x<0\end{array}}\right.}$

Le domaine de définition d’une fonction f est classiquement noté ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{f}}$. L'ensemble image, c'est-à-dire l'ensemble des valeurs possibles pour le résultat, est alors noté ${\displaystyle \operatorname {im} (f)}$ ou ${\displaystyle f({\mathcal {D}}_{f})}$, et par définition inclus dans l’ensemble but. Étant donné une valeur x dans le domaine de définition, et y un élément de l’ensemble but tel que ${\displaystyle y=f(x)}$, on dit que y est l’(unique) image de x et que x est un antécédent de y. Par exemple, 9 est l'image de 3 par la fonction carré, et 3 est donc un antécédent de 9 (mais ce n'est pas le seul, puisque −3 est aussi un antécédent de 9).

${\displaystyle \exp(x)=\lim _{n\to +\infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$

${\displaystyle \exp(x)=y\iff \ln(y)=x}$

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}\exp '=\exp \\\exp(0)=1\end{array}}\right.}$

Quatre définitions équivalentes de la fonction exponentielle

Une fonction peut être définie point par point par une expression explicite faisant intervenir d’autres fonctions de référence, des limites ou d’autres procédés algorithmiques. Il peut s’agir par exemple de la réciproque d’une autre fonction. Une même fonction peut d’ailleurs être définie par des formules différentes dont on montre l’égalité, comme dans le cas de la fonction exponentielle.

Une fonction peut aussi être définie globalement par une équation ou un système d'équations. En particulier, on définit une fonction implicite si l’ensemble des solutions d’une équation à deux inconnues x et y peut correspondre au graphe d’une fonction, c’est-à-dire si pour toute valeur de x il existe au plus une solution de la forme ${\displaystyle (x,y)}$. Une fonction peut aussi être définie de proche en proche par une équation différentielle voire une équation aux dérivées partielles, ou par récurrence dans le cas d’une fonction arithmétique.

On peut encore définir une fonction sur un ensemble dense dans un autre et étendre la définition par continuité. Ce procédé permet notamment de justifier l’existence de la courbe de Peano et d’autres fonctions continues mais nulle part dérivable. Il peut être utilisé aussi pour définir des fonctions sur un corps de nombres p-adiques.

Tous ces procédés de détermination mathématique s’accompagnent de problèmes de calcul effectif, qui s’étudient dans le cadre de l’analyse numérique.

L’analyse mathématique s’entend le plus souvent dans l’étude d’une fonction numérique, avec la recherche de son signe et de ses variations, la détermination d’éventuels majorant ou minorant, points fixes et limites, voire le calcul de son intégrale.

Plus généralement, on peut essayer de déterminer si une fonction est injective, c’est-à-dire si tout élément de l’ensemble d’arrivée a au plus un antécédent. Dans ce cas, on s’intéresse à la détermination de l’ensemble image, car la fonction admet alors une réciproque de son ensemble image vers son ensemble de définition. La précision de l’ensemble de définition est ici cruciale, comme dans le cas de la fonction carré (qui est n’est pas injective si elle est définie sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$, mais qui l’est par restriction à l’ensemble ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$) ou de la fonction exponentielle (injective en tant que fonction d’une variable réelle, mais pas en tant que fonction d’une variable complexe).

Pour une fonction arithmétique, donc définie sur l’ensemble des entiers naturels, on s’intéresse notamment aux relations entre l’image d’un produit et les images des facteurs (surtout lorsque ceux-ci sont premiers entre eux).

Étant donné un sous-ensemble A de l’ensemble de départ, l’image directe ${\displaystyle f(A)}$ est l’ensemble des images des éléments de A par f. Réciproquement, étant donnée un sous-ensemble B de l’ensemble d’arrivée, sa préimage ou image réciproque ${\displaystyle f^{-1}(B)}$ est l’ensemble des antécédents des éléments de B par f.

Ces notions permettent notamment d’exprimer la continuité d’une fonction entre espaces topologiques, de caractériser l’existence de limites, de justifier qu’une fonction est mesurable afin de pouvoir envisager son intégrabilité.

La définition du concept de fonction a évolué depuis son introduction par Leibniz à la fin du XVII^e siècle[2]. Il s'agissait alors d'associer un objet à chaque point d'une courbe, par exemple la tangente. En identifiant chaque point de la courbe avec son ordonnée, Jean Bernoulli puis Euler redéfinissent ensuite ce terme pour décrire une expression composée d'une variable et d'éventuels paramètres constants (réels). Les opérations utilisées comprennent non seulement les opérations algébriques élémentaires, les séries et produits infinis mais aussi l'exponentielle, le logarithme et les lignes trigonométriques, considérés comme des opérations transcendantes.

Le lien entre l'expression d'une fonction et sa courbe représentative conduit Euler à élargir la notion en admettant des définitions par morceaux puis des courbes qui ne peuvent être obtenues par des expressions analytiques. La condition de continuité est formalisée par Bolzano et Cauchy au début du XIX^e siècle. En 1829, l'étude des séries de Fourier conduit Dirichlet à considérer des fonctions plus générales, telle que l'indicatrice des rationnels[3]^,[4].

Parallèlement, le domaine de la variable s'ouvre aux nombres complexes. Au début du XX^e siècle, les fonctions acceptent plusieurs variables, puis peuvent être définies sur un ensemble quelconque. Sous l'impulsion de Fréchet, la valeur d'une fonction suit la même généralisation. La théorie de l'intégration et l'analyse fonctionnelle vont plus loin en considérant des fonctions presque partout définies, nécessaires pour obtenir une structure d'espace de Banach sur les espaces L^p de fonctions ${\displaystyle p}$-intégrables.

En analyse complexe, le prolongement analytique des fonctions holomorphes entraîne la prise en compte de fonctions multivaluées sur l'ensemble des complexes, réalisées formellement comme des fonctions classiques définies sur une surface de Riemann.