Fraction continue d'un irrationnel quadratique

En mathématiques, et plus précisément en arithmétique, la fraction continue d'un irrationnel quadratique correspond à la représentation de ce nombre sous la forme

a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\frac {1}{a_{3}+\,\cdots }}}}}}\quad {\text{avec}}\quad a_{0}\in \mathbb {Z} \quad {\text{et}}\quad \forall i\geq 1\quad a_{i}\in \mathbb {N}

.

Joseph-Louis Lagrange établit de manière rigoureuse les propriétés des fractions continues des irrationnels quadratiques.

Si le nombre irrationnel représenté est quadratique, c'est-à-dire s'il est solution d'une équation du second degré à coefficients rationnels, alors la suite d'entiers (a_n) est périodique à partir d'un certain rang.

L'intérêt de l'étude de la fraction continue d'un irrationnel quadratique ne se résume pas à cela. La simplicité de l'algorithme permettant de déterminer les coefficients de la fraction en a fait pendant longtemps une méthode d'extraction de racine carrée. La connaissance de la fraction continue permet, aussi, entre autres, de résoudre la célèbre équation diophantienne dite de Pell-Fermat : x² – ny² = ±1.

Préambule

Introduction sur un exemple

On peut calculer la fraction continue d'un irrationnel quadratique en utilisant l'identité remarquable (a + b)(a – b) = a² – b² à chaque étape, comme dans l'exemple suivant.

{\sqrt {13}}=3+(-3+{\sqrt {13}})=3+{\frac {({\sqrt {13}}-3)({\sqrt {13}}+3)}{{\sqrt {13}}+3}}=3+{\frac {4}{3+{\sqrt {13}}}}=3+{\frac {1}{\frac {{\sqrt {13}}+3}{4}}}

et

a_{0}=3,~x_{1}={\frac {{\sqrt {13}}+3}{4}}

.

En appliquant le même algorithme sur x₁ :

{\frac {{\sqrt {13}}+3}{4}}=1+{\frac {{\sqrt {13}}-1}{4}}=1+{\frac {1}{\frac {{\sqrt {13}}+1}{3}}}\quad {\text{donc}}\quad {\sqrt {13}}=3+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\frac {{\sqrt {13}}+1}{3}}}}}

et ainsi :

a_{1}=1,~x_{2}={\frac {{\sqrt {13}}+1}{3}}

.

On calcule de la même façon $x_{3}$ :

{\frac {{\sqrt {13}}+1}{3}}=1+{\frac {1}{\frac {{\sqrt {13}}+2}{3}}}\quad {\text{donc}}\quad {\sqrt {13}}=3+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\frac {1}{\frac {{\sqrt {13}}+2}{3}}}}}}}\quad {\text{et}}\quad a_{2}=1,~x_{3}={\frac {{\sqrt {13}}+2}{3}}.

on continue ainsi et on calcule les termes suivant du développement jusqu'à $x_{6}$ :

x_{3}={\frac {{\sqrt {13}}+2}{3}}=1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{6+{\frac {1}{\frac {{\sqrt {13}}+3}{4}}}}}}}

enfin :

$a_{3}=1,~a_{4}=1,~a_{5}=6,~x_{6}={\frac {{\sqrt {13}}+3}{4}}.$

Le vocabulaire et les notations utilisés ici sont ceux définis dans l'article « Fraction continue » : le quotient partiel a_n est la partie entière du quotient complet x_n, sa partie fractionnaire étant 1/x_n+1. La réduite d'indice n désigne la fraction continue tronquée contenant n barres de fraction et construite à l'aide de n + 1 coefficients ; elle est notée h_n/k_n. Si l'on remplace a_n–1 par a_n–1 + 1/x_n dans l'expression de la réduite d'indice n – 1, on obtient exactement le nombre initial. Le quotient complet x₀ est la valeur initiale.

Dans l'exemple choisi,

x_{0}={\sqrt {13}}=3+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{6+\cdots }}}}}}}}}}\quad {\rm {et}}\quad {\frac {h_{0}}{k_{0}}}={\frac {3}{1}},~{\frac {h_{1}}{k_{1}}}={\frac {4}{1}},~{\frac {h_{2}}{k_{2}}}={\frac {7}{2}},~{\frac {h_{3}}{k_{3}}}={\frac {11}{3}},~{\frac {h_{4}}{k_{4}}}={\frac {18}{5}},~{\frac {h_{5}}{k_{5}}}={\frac {119}{33}}

.

Cette notation étant un peu lourde, on utilise de préférence la suivante, ayant la même signification :

{\sqrt {13}}=[3,1,1,1,1,6\cdots ]

.

Enfin, le quotient complet $x_{6}$ est égal à $x_{1}$ , ce qui permet de conclure que la suite des coefficients se répète à partir du rang 1. On parle de suite « périodique à partir d'un certain rang » et l'on utilise la notation :

{\sqrt {13}}=[3,{\overline {1,1,1,1,6}}]

,

la barre signifiant une répétition à l'infini de la suite finie d'entiers qu'elle couvre.

Éléments d'histoire

Pierre de Fermat est à l'origine du défi lancé aux mathématiciens qui est à l'origine d'un large développement du savoir sur les fractions continues des irrationnels quadratiques.

Dès le VI^e siècle, Aryabhata (476-550), un mathématicien indien, utilise les fractions continues pour obtenir des rationnels proches de racines carrés d'entiers[1]. Si Brahmagupta (598-668), un autre mathématicien indien, s'intéresse à l'équation de Pell-Fermat et utilise une identité remarquable pour la résoudre, il faut attendre le XII^e siècle et Bhāskara II pour voir une approche analogue à celles des fractions continues appliquées à cette équation. Son algorithme, la méthode chakravala, correspond à celui de l'article, à la différence près que a₀ n'est pas toujours inférieur au nombre à approcher. Cette différence est reportée à tous les coefficients a_n, qui peuvent devenir négatifs. Cette spécificité accélère un peu la recherche de la solution.

Ce n'est que plus tard que l'Europe s'intéresse à une démarche de cette nature. Il faut attendre le XVI^e siècle pour que Rafael Bombelli fasse usage d'un ancêtre des fractions continues pour le calcul d'approximations de la racine carrée de 13[2]. Pietro Antonio Cataldi comprend la portée de la méthode de Bombelli et l'applique à toutes les racines carrées, dans un petit opuscule à ce sujet[3], il choisit l'exemple de la valeur 18. On retrouve des résultats de même nature chez Albert Girard[4] en 1625, puis 1634, pour approcher √2 et √10.

À la suite d'un défi lancé par Pierre de Fermat en 1657, William Brouncker, trouve de manière empirique les relations qui relient la fraction continue d'un irrationnel quadratique à l'équation de Pell-Fermat. Il est probable que Bernard Frénicle de Bessy connaissait aussi cette méthode pour résoudre l'équation de Pell-Fermat dont il trouve toutes les solutions pour n plus petit que 150, mais ces travaux ont été perdus ; il défie Brouncker de trouver une solution à l'équation pour n = 313. Dans sa réponse, ce dernier indique qu'il ne lui a pas fallu « plus d'une heure ou deux pour la trouver ». Cette réponse est la suivante :

x=32\,188\,120\,829\,134\,849\quad {\text{et}}\quad y=1\,819\,380\,158\,564\,160\;

Ces informations proviennent d'une intense relation épistolaire entre les différents acteurs, qui est finalement publiée par John Wallis en 1658[5].

Le siècle suivant est celui des démonstrations. Leonhard Euler reprend les travaux de Brouncker et ceux de Wallis, et démontre rigoureusement tous les aspects un peu élémentaires de la théorie ; il montre aussi que si la représentation en fraction continue d'un nombre est périodique, à partir d'un certain rang, alors ce nombre est un irrationnel quadratique[6]. Il faut encore attendre les travaux de Joseph-Louis Lagrange pour la démonstration d'une réciproque[7] ainsi que des raisons de la validité de la méthode Bhāskara II ou de celle de Brouncker[8]. Les propriétés de la fraction continue d'un irrationnel quadratique sont alors essentiellement élucidées ; il ne reste plus qu'à comprendre dans quel cas une fraction continue n'est pas simplement périodique à partir d'un certain rang, mais périodique pure, ce qu'Évariste Galois accomplit en 1828[9].

Période

Tout irrationnel dont le développement en fraction continue est périodique est un irrationnel quadratique (a fortiori, ses quotients complets aussi).

Exemple: L'irrationnel $x=[0,1,1,2,1,2,1,2,\dots ]=[0,1,{\overline {1,2}}]$ est égal à $0+{\frac {1}{1+{\frac {1}{y}}}}={\frac {y}{y+1}}$ avec $y=[{\overline {1,2}}]=1+{\frac {1}{2+{\frac {1}{y}}}}$ .; En remplaçant $y$ par ${\frac {x}{1-x}}$ dans cette équation puis en la simplifiant, on trouve $3x^{2}-1=0$ .

Cette implication est au cœur de l'intérêt de la notion de fraction continue pour les irrationnels quadratiques car (plus d'un siècle après sa découverte) Lagrange a réussi à démontrer la réciproque :

Théorème de Lagrange[7]^,[10] — Un irrationnel est quadratique si et seulement si son développement en fraction continue est périodique à partir d'un certain rang.

Lagrange a même prouvé que pour un irrationnel quadratique de la forme (P + $\sqrt D$ )/Q, les quotients partiels a_i sont majorés par 2 $\sqrt D$ et la période par 2D. Des arguments plus fins[11]^,[12]^,[13], basés sur la fonction diviseur, montrent que cette période est un grand O de $\sqrt D$ $log(D)$ .

Développement purement périodique

La p-périodicité à partir d'un rang r du développement d'un irrationnel quadratique x s'écrit, avec la même notation que dans le préambule :

x=[a_{0},a_{1},\cdots ,a_{r-1},a_{r},a_{r+1},\cdots a_{r+p-1},a_{r},a_{r+1}\cdots \;]=[a_{0},a_{1},\cdots ,a_{r-1},{\overline {a_{r},a_{r+1},\cdots a_{r+p-1}}}]

.

Certains nombres possèdent un développement purement périodique, c'est-à-dire dès le premier coefficient (r = 0). C'est le cas, par exemple, du nombre d'or φ. En effet,

\varphi =1+{\frac {1}{\varphi }}=1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{\varphi }}}}=\cdots \quad {\text{et}}\quad \varphi =[1,1,1,\cdots ]=[{\overline {1}}]

.

La question se pose de savoir dans quel cas le développement en fraction continue est périodique pur. Le nombre x est nécessairement un irrationnel quadratique donc son polynôme minimal est de degré 2. La réponse — prouvée par Galois (alors qu'il était encore lycéen) mais déjà implicite dans le travail antérieur de Lagrange[14] — s'exprime en fonction du conjugué x_c de x, qui est l'autre racine de son polynôme minimal :

Théorème de Galois[9]^,[15] — Si x a un développement en fraction continue purement périodique x = [a₀, a₁, … , a_p–1] alors son conjugué x_c vérifie –1/x_c = [a_p–1, … , a₁, a₀]. En particulier x est un irrationnel quadratique réduit, c'est-à-dire que x > 1 et –1 < x_c < 0.

Réciproquement, le développement en fraction continue de tout irrationnel quadratique réduit est purement périodique.

Palindrome

La propriété précédente permet d'obtenir une description plus précise du développement en fraction continue d'une racine d'un rationnel non carré :

Théorème de Legendre[16] — Si d > 1 est un rationnel non carré, la fraction continue de $\sqrt d$ est de la forme

{\sqrt {d}}=[a_{0},{\overline {a_{1},a_{2},a_{3}\cdots ,a_{3},a_{2},a_{1},2a_{0}}}]

.

Réciproquement, tout irrationnel dont la fraction continue est de cette forme est la racine carrée d'un rationnel.

Le palindrome que forme alors la période privée de son dernier terme 2a₀ a un terme médian si et seulement si cette période est de longueur paire. Par exemple[17], √13 = [3, 1, 1, 1, 1, 6] et √19 = [4, 2, 1, 3, 1 ,2, 8].

Équation de Pell-Fermat

Structure de la solution

La fraction continue est une technique à la fois théorique et pratique pour résoudre l'équation de Pell-Fermat suivante, si d est un entier positif non carré :

(1)\quad x^{2}-dy^{2}=\pm 1

.

Une solution est un couple (a, b) d'entiers tel que a² – db² soit égal à ±1. À part les solutions triviales (1, 0) et (–1, 0), toutes se déduisent de celles pour lesquelles a et b sont strictement positifs, en changeant le signe de a ou b. Trois propositions permettent ensuite de comprendre comment se structurent les solutions[18] :

Tout couple d'entiers strictement positifs solution de l'équation (1) est égal au couple du numérateur et du dénominateur de l'une des réduites de $\sqrt d$ .

La i-ème réduite de $\sqrt d$ correspond à une solution de l'équation (1) si et seulement i + 1 est divisible par la période de $\sqrt d$ .

Si cette période p est impaire, il existe des solutions pour la valeur –1 : elles correspondent aux indices i = qp – 1 pour q impair, ceux pour q pair donnant la valeur 1. Si la période p est paire, la valeur –1 n'est jamais atteinte.

Groupe des unités

En théorie algébrique des nombres, il est parfois important de connaître la structure du groupe des unités d'un anneau d'entiers algébriques. Cette situation se produit en particulier pour les anneaux d'entiers quadratiques. La compréhension de cette structure est utile, par exemple, pour démontrer le dernier théorème de Fermat pour n = 3 ou 5, ou pour établir la loi d'apparition des nombres premiers dans la suite de Fibonacci (cf. « Anneau des entiers de ℚ(√5) »).

On est amené à chercher les éléments inversibles de l'anneau ℤ[ω] qui sont de la forme a + bω où ω est un entier quadratique et a et b des éléments de ℤ. On montre que cela revient à résoudre une des deux équations diophantiennes suivantes, où d est un entier non carré parfait et f un entier tel que 4f + 1 n'est pas un carré parfait :

(1)\;x^{2}-dy^{2}=\pm 1\quad (2)\;x^{2}+xy-fy^{2}=\pm 1

.

La première pour d > 0 a déjà été étudiée. Puisque les solutions a + b $\sqrt d$ avec a et b > 0 sont données, par ordre croissant des a, par les puissances de l'unité fondamentale h_p–1 + k_p–1 $\sqrt d$ (où p est la période de $\sqrt d$ ) et sont aussi, d'après ce qui précède, les h_qp–1 + k_qp–1 $\sqrt d$ (pour q > 0), on a[19] h_qp–1 + k_qp–1 $\sqrt d$ = (h_p–1 + k_p–1 $\sqrt d$ )^q, ce qui offre un moyen de calculer directement cette sous-suite des réduites de $\sqrt d$ , par la formule du binôme ou par récurrence.

La deuxième pour f > 0 est très similaire. On dispose d'abord d'un analogue de la première des trois propriétés du § précédent :^{[réf. souhaitée]}

Si d = 4f + 1 et si le couple d'entiers (a, b), avec b > 0 et a + b/2 ≥ 0, est solution de l'équation (2), alors a/b est une réduite de ${\displaystyle \alpha$ .

Démonstration

Soit $\omega ={\frac {1+{\sqrt {d}}}{2}}$ .

(x+\omega y)(x-\alpha y)=\left(x+{\tfrac {y}{2}}+{\sqrt {d}}{\tfrac {y}{2}}\right)\left(x+{\tfrac {y}{2}}-{\sqrt {d}}{\tfrac {y}{2}}\right)=\left(x+{\tfrac {y}{2}}\right)^{2}-d\left({\tfrac {y}{2}}\right)^{2}=x^{2}+xy+{\frac {1-d}{4}}y^{2}

donc l'équation (2) s'écrit :

\left(x+{\tfrac {y}{2}}\right)^{2}-d\left({\tfrac {y}{2}}\right)^{2}=(x+\omega y)(x-\alpha y)=\pm 1

.

Soit (a, b) un couple solution tel que b ≥ 1 et a + b/2 ≥ 0, on obtient d'une part

\left({\frac {a}{b}}+\omega \right)\left({\frac {a}{b}}-\alpha \right)={\frac {\pm 1}{b^{2}}}\quad {\text{donc}}\quad \left|{\frac {a}{b}}-\alpha \right|={\frac {1}{b^{2}\left({\frac {a}{b}}+\omega \right)}}

et d'autre part

{\tfrac {a}{b}}+\omega ={\tfrac {a}{b}}+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {d}}\geq {\frac {1}{2}}\left({\sqrt {d-{\tfrac {4}{b^{2}}}}}+{\sqrt {d}}\right)

.

Le minorant de droite est généralement strictement supérieur à 2 et l'on obtient alors la majoration suivante, qui montre que a/b est une réduite de α :

\left|{\frac {a}{b}}-\alpha \right|<{\frac {1}{2b^{2}}}

.

La seule exception survient lorsque d = 5 et b = 1 : ${\frac {1}{2}}\left({\sqrt {5-4}}+{\sqrt {5}}\right)<2$ mais dans ce cas, a est égal à 0 ou 1, or 0/1 et 1/1 sont bien des réduites de (√5 – 1)/2 = φ – 1 = [0, 1].

Les deux autres propriétés se généralisent comme suit[20],^{[réf. souhaitée]} donc s'appliquent aussi bien à α = $\sqrt d$ que (si d est congru à 1 modulo 4) à α = ( $\sqrt d$ – 1)/2 :

Soient α un entier quadratique (non entier) supérieur à son conjugué, p sa période et h_i/k_i ses réduites.

N(h_i – k_iα) = ±1 si et seulement i + 1 est divisible par p ;

si p est impair, il existe des solutions pour la valeur –1 : elles correspondent aux indices i = qp – 1 pour q impair, ceux pour q pair donnant la valeur 1. Si p est pair, la valeur –1 n'est jamais atteinte.

Extraction d'une racine carrée

Première méthode

Les propriétés de la fraction continue d'un irrationnel quadratique permettent de calculer des approximations des racines carrées. La première technique consiste simplement à calculer les coefficients de la fraction continue puis ses réduites. Par exemple :

{\sqrt {3}}=[1,{\overline {1,2}}]

[21].

Les réduites h_n/k_n se calculent par récurrence :

{\begin{aligned}h_{-1}=1,\quad &h_{0}=a_{0},\quad &h_{n+2}=a_{n+2}h_{n+1}+h_{n},\\k_{-1}=0,\quad &k_{0}=1,\quad &k_{n+2}=a_{n+2}k_{n+1}+k_{n},\end{aligned}}

ce qui donne les approximations suivantes de √3 :

{\begin{aligned}h_{0}&=1,&h_{1}&=2,&h_{2}&=2\times 2+1=5,&h_{3}&=1\times 5+2=7,&h_{4}&=19,&h_{5}&=26,&\cdots \,h_{10}&=989\\k_{0}&=1,&k_{1}&=1,&k_{2}&=2\times 1+1=3,&k_{3}&=1\times 3+1=4,&k_{4}&=11,&k_{5}&=15,&\cdots \,k_{10}&=571.\end{aligned}}

Ainsi, à la 10^e étape, on obtient la fraction 989/571, approximativement égale à 1,732 049 alors que les 7 premiers chiffres significatifs exacts sont 1,732 051. La précision de cet algorithme à l'étape n est meilleure que 1/k_n² (et même, puisqu'ici la période est 2, meilleure que 1/(2k_n²) si n est impair, d'après le § « Structure de la solution » ci-dessus). Pour l'approximation d'indice 10, on sait donc que l'erreur est inférieure à 1/571², meilleure que le 300000^e. Une force de cet algorithme est la « qualité » des solutions proposées, où toute fraction de type a/b avec b strictement inférieur à 571 sera nécessairement moins bonne que la dixième réduite de la fraction continue, au sens ci-dessus (et même en un sens plus fin, précisé dans l'article Fraction continue et approximation diophantienne). Par exemple, la meilleure approximation décimale de la racine de 3 avec deux chiffres significatifs, égale à 17/10, commet une erreur supérieure au 50^e. Celle un peu équivalente 19/11 correspondant à la réduite d'indice 4 propose une approximation au 100^e, soit deux fois meilleure.

Accélération de la convergence

Les solutions (a_q, b_q) = (h_qp–1, k_qp–1) de l'équation de Pell-Fermat donnent une suite extraite de la suite des réduites de $\sqrt n$ , qui converge donc plus vite que cette dernière. De plus, puisque a_q + b_q $\sqrt n$ est de la forme (a + b $\sqrt n$ )^q, on peut accélérer encore la convergence en ne calculant que certaines de ces puissances, par exemple les u_j + v_j $\sqrt n$ = (a + b $\sqrt n$ )^{2^j}. Puisque

u_{j+1}+v_{j+1}{\sqrt {n}}=(u_{j}+v_{j}{\sqrt {n}})^{2},

cette sous-suite se calcule par récurrence par :

u_{0}=a,\quad v_{0}=b,\quad u_{j+1}=u_{j}^{2}+nv_{j}^{2}\quad {\text{et}}\quad v_{j+1}=2u_{j}v_{j}.

Par exemple pour n = 3, on trouve a = h₁ = 2 et b = k₁ = 1 (cf. § précédent) puis

{\begin{aligned}u_{0}&=2,&u_{1}&=2^{2}+3\times 1^{2}=7,&u_{2}&=7^{2}+3\times 4^{2}=97,&u_{3}&=97^{2}+3\times 56^{2}=18\,817,&u_{4}&=708\,158\,977\\v_{0}&=1,&v_{1}&=2\times 2\times 1=4,&v_{2}&=2\times 7\times 4=56,&v_{3}&=2\times 97\times 56=10\,864,&v_{4}&=408\,855\,776\end{aligned}}

et la précision de u₄/v₄ dépasse déjà 18 décimales.

La suite des rationnels x_j = u_j/v_j n'est autre que celle produite par la méthode de Héron à partir de x₀ = a/b. En effet, d'après la définition des suites (u_j) et (v_j), on a

x_{j+1}={\frac {x_{j}+{\frac {n}{x_{j}}}}{2}}

.

Sa convergence est donc quadratique.

Un exemple historique de résolution de l'équation de Pell Fermat

L'équation suivante possède une longue histoire :

x^{2}-61y^{2}=1

.

Brahmagupta[22] l'utilise comme illustration d'un ancêtre de la méthode chakravala dès le VII^e siècle. Il est repris par Bhāskara II qui perfectionne la méthode[23] et lui donne une puissance algorithmique un peu supérieure à celle par les fractions continues, présentée ici.

En février 1657 (à la suite d'un autre défi plus célèbre datant du 3 janvier de la même année), l'exemple est encore repris par Pierre de Fermat dans une lettre à Bernard Frénicle de Bessy (il propose également le cas n = 109)[24]. Ce défi est à l'origine des travaux anglais sur les fractions continues des irrationnels quadratiques et leur connexion avec l'équation de Pell-Fermat.

Appliquons l'algorithme des fractions continues pour calculer les quotients complets et partiels :

x_{0}={\sqrt {61}}=7+{\frac {1}{x_{1}}},\quad x_{1}={\frac {7+{\sqrt {61}}}{12}}=1+{\frac {1}{x_{2}}},\quad x_{2}={\frac {5+{\sqrt {61}}}{3}}=4+{\frac {1}{x_{3}}},

\quad x_{3}={\frac {7+{\sqrt {61}}}{4}}=3+{\frac {1}{x_{4}}},\quad x_{4}={\frac {5+{\sqrt {61}}}{9}}=1+{\cfrac {1}{x_{5}}},\quad x_{5}={\frac {4+{\sqrt {61}}}{5}}=2+{\frac {1}{x_{6}}},\quad x_{6}={\frac {6+{\sqrt {61}}}{5}},

ce qui donne les premiers quotients partiels : 7, 1, 4, 3, 1, 2. Il n'est plus nécessaire de continuer. En effet, les quotients complets x₅ et x₆ sont associés car ils ont le même dénominateur. La moitié du palindrome est donc déjà explicitée. Comme ce phénomène se produit pour deux indices adjacents, on peut en déduire que la période est impaire et égale à 2×5 + 1. On peut aussi en déduire que a₆ est égal à a₅, ainsi que les termes suivants : 2, 1, 3, 4, 1. Enfin, le dernier terme est égal au double du premier, soit 14. La première solution est alors celle d'indice 10, dont la position est mise en valeur en rouge dans l'expression suivante :

{\sqrt {61}}=[7,{\overline {1,4,3,1,2,2,1,3,4,{\color {Red}1},14}}]

.

Par les formules de récurrence (comme au § « Première méthode »), on obtient :

{\begin{aligned}h_{1}&=8,&h_{2}&=39,&h_{3}&=125,&h_{4}&=164,&\cdots &\,h_{10}&=29\;718\\k_{1}&=1,&k_{2}&=5,&k_{3}&=16,&k_{4}&=21,&\cdots &\,k_{10}&=3\;805.\end{aligned}}

On sait, puisque la période est impaire, que cette première solution donne h₁₀² – 61k₁₀² = –1 et non pas +1. Ni Brahmagupta, ni Fermat n'acceptent ce type de solution. La bonne réduite est donc la 21^e. Pour la calculer, on peut soit prolonger le calcul, soit utiliser le même principe que celui de la deuxième méthode d'extraction d'une racine :

h_{21}+k_{21}{\sqrt {61}}=(h_{10}+k_{10}{\sqrt {61}})^{2}

.

La solution du défi de Fermat est :

h_{21}=1\,766\,319\,049,\quad k_{21}=226\,153\,980\quad {\text{et}}\quad h_{21}^{2}-61\times k_{21}^{2}=1

.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Periodic continued fraction » (voir la liste des auteurs).

Georges Ifrah, Histoire universelle des chiffres : L'intelligence des hommes racontée par les nombres et le calcul, Robert Laffont, 1994 (ISBN 978-2-70284212-6).
(it) M. T. Rivolo et A. Simi, « Il calcolo delle radici quadrate e cubiche in Italia da Fibonacci a Bombelli », Arch. Hist. Exact Sci., vol. 52, n^o 2,‎ 1998, p. 161-193.
(it) S. Maracchia, « Estrazione di radice quadrata secondo Cataldi », Archimede, vol. 28, n^o 2,‎ 1976, p. 124-127.
(en) Leonard Eugene Dickson, Diophantine analysis, AMS Bookstore, 1999 (ISBN 0821819356), p. 355-356, aperçu sur Google Livres.
(la) John Wallis, Commercium epistolicum de quæstionibus quibusdam mathematicis nuper habitum Oxonii : Excudebat A. Lichfield, Impensis Tho. Robinson, 1658.
(la) Leonhard Euler, Introductio in analysin infinitorum, 1748, vol. I (E101), chap. 18, § 379 [lire en ligne].
Joseph-Louis Lagrange, Additions au mémoire sur la résolution des équations numériques, § II. — Sur la manière d'approcher de la valeur numérique des racines des équations, 1770, rééd. Joseph-Alfred Serret, Œuvres de Lagrange, vol. II, Gauthier-Villars, 1877 (lire en ligne), p. 593-652, plus précisément : Remarque II, p. 603-622.
Divers résultats sont publiés dans les Additions de Lagrange aux Élémens d'algèbre par Léonard Euler, tome 2 : de l'analyse indéterminée, 1^re éd., Bruyset et Desaint, 1774, p. 379-658 + 662-664 et 2^e éd., Bruyset, 1798, p. 379-662 + 666-668, réédités dans : Serret 1877, Œuvres de Lagrange, vol. VII, p. 5-180. Voir aussi Serret 1877, Œuvres de Lagrange, vol. I, p. 671-731, « Solution d'un problème d'arithmétique ».
Évariste Galois, « Démonstration d'un théorème sur les fractions continues périodiques », Annales de mathématiques pures et appliquées, vol. 19,‎ 1828-1829, p. 294-301 (lire en ligne) sur bibnum, analysé par Norbert Verdier, Christian Gérini et Alexandre Moatti.
Pour une démonstration, voir par exemple (de) Oskar Perron, Die Lehre von den Kettenbrüchen, Teubner, 1913 (lire en ligne), § 20 (p. 73-77) ou § 21 (p. 77-79), ou cet exercice corrigé de la leçon « Introduction à la théorie des nombres » sur Wikiversité.
(en) Dean R. Hickerson, « Length of period of simple continued fraction expansion of $\sqrt d$ », Pacific J. Math., vol. 46,‎ 1973, p. 429-432 (DOI 10.2140/pjm.1973.46.429).
(en) J. H. E. Cohn, « The length of the period of the simple continued fraction of d^1/2 », Pacific J. Math., vol. 71, n^o 1,‎ 1977, p. 21-32 (lire en ligne).
(en) E. V. Podsypanin, « Length of the period of a quadratic irrational », Journal of Soviet Mathematics, vol. 18, n^o 6,‎ 1982, p. 919-923 (DOI 10.1007/BF01763963).
(en) Harold Davenport, The Higher Arithmetic : An Introduction to the Theory of Numbers, Cambridge University Press, 1999, 7^e éd., 241 p. (ISBN 978-0-521-63446-5, lire en ligne), p. 99.
Pour une démonstration, voir par exemple Perron 1913, p. 80-82, ou cet exercice corrigé de la leçon « Introduction à la théorie des nombres » sur Wikiversité.
Ce théorème est attribué à Legendre dans (en) Kiyoshi Itō, Encyclopedic Dictionary of Mathematics, vol. 1, MIT Press, 1993, 2^e éd., 1147 p. (ISBN 978-0-262-59020-4, lire en ligne), p. 315-316. Cependant, A. M. Legendre, Essai sur la théorie des nombres, 1798 (lire en ligne), p. 50-57 (de même que Davenport 1999, p. 104) ne s'intéresse qu'au cas où $d$ est entier, et ne démontre que le sens direct. Pour une démonstration complète, voir par exemple Perron 1913, p. 87-88, ou cet exercice corrigé de la leçon « Introduction à la théorie des nombres » sur Wikiversité.
(en) Eric W. Weisstein, « Periodic Continued Fraction », sur MathWorld.
Perron 1913, p. 102-104. La première propriété est aussi démontrée dans cet exercice corrigé de la leçon « Introduction à la théorie des nombres » sur Wikiversité. Les deux autres seront généralisées et démontrées au § suivant.
Perron 1913, p. 104, le démontre directement, à l'aide des formules de récurrence sur les réduites et du fait que a_p = 2a₀.
Pour une démonstration, voir par exemple ce devoir corrigé sur l'équation de Pell-Fermat sur Wikiversité.
En utilisant que ${\frac {1}{\sqrt {3}}}=[0,1,{\overline {1,2}}]$ (voir supra) ou par calcul direct, comme dans cet exercice corrigé sur Wikiversité.
(en) B. L. van der Waerden, « Pell's Equation in Greek and Hindu Mathematics », Russ. Math Surveys (en), vol. 31, n^o 5,‎ 1976, p. 210-225.
Bhāskara II, Bijaganita, 1150, d'après (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « Pell's equation », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews (lire en ligne)..
Œuvres de Fermat, p. 334.

Voir aussi

Bibliographie

(en) Alan Baker, A Concise Introduction to the Theory of Numbers, Cambridge University Press, 1985, 95 p. (ISBN 978-0-521-28654-1, lire en ligne)
Alain Faisant, L'équation diophantienne du second degré, Hermann, 1991, 237 p. (ISBN 978-2-7056-1430-0)
Marc Guinot, Arithmétique pour amateurs. Vol. 4 : Lagrange et Legendre, Aléas, 1996 (ISBN 978-2-908016-71-0)
(en) G. H. Hardy et E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers (1^re éd. 1938) [détail des éditions]
(en) Alexandre Junod, « An algorithm to solve a Pell equation », General Mathematics Notes, vol. 28, n^o 2,‎ 2015, p. 1-8 (lire en ligne)
Pierre Samuel, Théorie algébrique des nombres [détail de l’édition]
Georges Valiron, Théorie des fonctions, 3^e éd., Masson, 1966, Notions sur les fractions continues arithmétiques, p. 17-24
Sabah Al Fakir, Algèbre et théorie des nombres - Cryptographie : Primalité, Paris, Ellipses, 2003, 276 p. (ISBN 2-7298-1480-9) (chapitre 9, approximations diophantiennes)

Liens externes

Claude Brezinski, « Ces étranges fractions qui n'en finissent pas », octobre 2005, diaporama d'une conférence à l'IREM, Université de La Réunion
Marcel Couchouron, « Développement d’un réel en fractions continues », sur Université de Rennes I

Arithmétique et théorie des nombres

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[1] Georges Ifrah, Histoire universelle des chiffres : L'intelligence des hommes racontée par les nombres et le calcul, Robert Laffont, 1994 (ISBN 978-2-70284212-6).

[2] (it) M. T. Rivolo et A. Simi, « Il calcolo delle radici quadrate e cubiche in Italia da Fibonacci a Bombelli », Arch. Hist. Exact Sci., vol. 52, n^o 2,‎ 1998, p. 161-193.

[3] (it) S. Maracchia, « Estrazione di radice quadrata secondo Cataldi », Archimede, vol. 28, n^o 2,‎ 1976, p. 124-127.

[4] (en) Leonard Eugene Dickson, Diophantine analysis, AMS Bookstore, 1999 (ISBN 0821819356), p. 355-356, aperçu sur Google Livres.

[5] (la) John Wallis, Commercium epistolicum de quæstionibus quibusdam mathematicis nuper habitum Oxonii : Excudebat A. Lichfield, Impensis Tho. Robinson, 1658.

[Euler-6] (la) Leonhard Euler, Introductio in analysin infinitorum, 1748, vol. I (E101), chap. 18, § 379 [lire en ligne].

[TheoLagrange-7] Joseph-Louis Lagrange, Additions au mémoire sur la résolution des équations numériques, § II. — Sur la manière d'approcher de la valeur numérique des racines des équations, 1770, rééd. Joseph-Alfred Serret, Œuvres de Lagrange, vol. II, Gauthier-Villars, 1877 (lire en ligne), p. 593-652, plus précisément : Remarque II, p. 603-622.

[8] Divers résultats sont publiés dans les Additions de Lagrange aux Élémens d'algèbre par Léonard Euler, tome 2 : de l'analyse indéterminée, 1^re éd., Bruyset et Desaint, 1774, p. 379-658 + 662-664 et 2^e éd., Bruyset, 1798, p. 379-662 + 666-668, réédités dans : Serret 1877, Œuvres de Lagrange, vol. VII, p. 5-180. Voir aussi Serret 1877, Œuvres de Lagrange, vol. I, p. 671-731, « Solution d'un problème d'arithmétique ».

[Galois-9] Évariste Galois, « Démonstration d'un théorème sur les fractions continues périodiques », Annales de mathématiques pures et appliquées, vol. 19,‎ 1828-1829, p. 294-301 (lire en ligne) sur bibnum, analysé par Norbert Verdier, Christian Gérini et Alexandre Moatti.

[10] Pour une démonstration, voir par exemple (de) Oskar Perron, Die Lehre von den Kettenbrüchen, Teubner, 1913 (lire en ligne), § 20 (p. 73-77) ou § 21 (p. 77-79), ou cet exercice corrigé de la leçon « Introduction à la théorie des nombres » sur Wikiversité.

[11] (en) Dean R. Hickerson, « Length of period of simple continued fraction expansion of $\sqrt d$ », Pacific J. Math., vol. 46,‎ 1973, p. 429-432 (DOI 10.2140/pjm.1973.46.429).

[12] (en) J. H. E. Cohn, « The length of the period of the simple continued fraction of d^1/2 », Pacific J. Math., vol. 71, n^o 1,‎ 1977, p. 21-32 (lire en ligne).

[13] (en) E. V. Podsypanin, « Length of the period of a quadratic irrational », Journal of Soviet Mathematics, vol. 18, n^o 6,‎ 1982, p. 919-923 (DOI 10.1007/BF01763963).

[14] (en) Harold Davenport, The Higher Arithmetic : An Introduction to the Theory of Numbers, Cambridge University Press, 1999, 7^e éd., 241 p. (ISBN 978-0-521-63446-5, lire en ligne), p. 99.

[15] Pour une démonstration, voir par exemple Perron 1913, p. 80-82, ou cet exercice corrigé de la leçon « Introduction à la théorie des nombres » sur Wikiversité.

[16] Ce théorème est attribué à Legendre dans (en) Kiyoshi Itō, Encyclopedic Dictionary of Mathematics, vol. 1, MIT Press, 1993, 2^e éd., 1147 p. (ISBN 978-0-262-59020-4, lire en ligne), p. 315-316. Cependant, A. M. Legendre, Essai sur la théorie des nombres, 1798 (lire en ligne), p. 50-57 (de même que Davenport 1999, p. 104) ne s'intéresse qu'au cas où $d$ est entier, et ne démontre que le sens direct. Pour une démonstration complète, voir par exemple Perron 1913, p. 87-88, ou cet exercice corrigé de la leçon « Introduction à la théorie des nombres » sur Wikiversité.

[17] (en) Eric W. Weisstein, « Periodic Continued Fraction », sur MathWorld.

[18] Perron 1913, p. 102-104. La première propriété est aussi démontrée dans cet exercice corrigé de la leçon « Introduction à la théorie des nombres » sur Wikiversité. Les deux autres seront généralisées et démontrées au § suivant.

[19] Perron 1913, p. 104, le démontre directement, à l'aide des formules de récurrence sur les réduites et du fait que a_p = 2a₀.

[20] Pour une démonstration, voir par exemple ce devoir corrigé sur l'équation de Pell-Fermat sur Wikiversité.

[21] En utilisant que ${\frac {1}{\sqrt {3}}}=[0,1,{\overline {1,2}}]$ (voir supra) ou par calcul direct, comme dans cet exercice corrigé sur Wikiversité.

[22] (en) B. L. van der Waerden, « Pell's Equation in Greek and Hindu Mathematics », Russ. Math Surveys (en), vol. 31, n^o 5,‎ 1976, p. 210-225.

[23] Bhāskara II, Bijaganita, 1150, d'après (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « Pell's equation », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews (lire en ligne)..

[24] Œuvres de Fermat, p. 334.