Accord pythagoricien

Cet accord tient son nom du philosophe et mathématicien grec Pythagore, à qui la découverte a été attribuée par des textes médiévaux, même si les premiers textes décrivant l'utilisation d'accords similaires remontent aux Babyloniens, vers le II^e millénaire av. J.-C.[5]. L'école pythagoricienne a théorisé la gamme heptatonique dans l'harmonie des sphères, en utilisant les rapports de nombres entiers les plus simples sur le monocorde : l'octave (rapport 1/2, la corde est partagée en deux), la quinte (rapport 2/3, la corde vibre sur ses deux tiers) et la quarte (rapport 3/4). Ces intervalles étant alors considérés comme les seuls consonants.

Aucun texte de Pythagore ne nous est parvenu, mais on retrouve chez Platon les termes du rapport du leimma, soit 256/243[6]. Le plus ancien texte connu traitant du système pythagoricien est de Henri Arnault de Zwolle, écrit vers 1450[7].

Platon, dans sa Timée (34 b - 37 a), décrit comment le Démiurge façonne l'Âme du monde. Jean-François Mattéi résume ce passage de Platon ainsi :

« Le démiurge va tirer de sa composition finale une structure harmonique suggestive dont les calculs témoignent d'une influence pythagoricienne. Elle est constituée par une double progression géométrique de raison 2 (1, 2, 4, 8) et de raison 3 (1, 3, 9, 27), qu'il est commode de disposer sur un diagramme en forme de lambda majuscule (Λ), selon un schéma que l'on trouve chez Proclus. Cette figure porte, sur chaque côté de l'angle, les nombres respectifs de la série paire et de la série impaire. Le dernier de ces nombres (27) est égal à la somme des six précédents (1 + 2 + 3 + 4 + 8 + 9 = 27)… La progression selon le facteur 2 donne les octaves par doublement successifs des intervalles (1, 2, 4, 8 = Do1, Do2, Do3, Do4...), alors que la progression selon le facteur 3 forme les douzièmes justes (1 = Do, 3 = Sol, 9 = Ré, 27 = La, 81 = Mi, 243 = Si…). On peut alors combler les intervalles musicaux doubles ou triples pour former la gamme complète en s'aidant de deux proportions continues ou « médiétés », l'une arithmétique (de type 1, 2, 3), l'autre harmonique (de type 3, 4, 6), bien connues des pythagoriciens, en particulier Archytas. L'intervalle des nombres de 1 à 2 sera composé des nombres 1 (Tonique), 4/3 (Quarte), 3/2 (Quinte) et 2 (Octave) ; le ton, dont la valeur est 9/8, se situe entre la quarte et la quinte, puisque 3/2 : 4/3 = 9/8. L'Âme du monde est ainsi composée de cinq tons majeurs égaux entre lesquels est intercalé comme « reste », leimma, l'intervalle de 256/243 (= 1,053), mesure du demi-ton diatonique de la gamme naturelle de Pythagore, qui est un peu plus faible que notre demi-ton tempéré (16/15 = 1,066) »

— Jean-François Mattéi, Platon[8].

La gamme pythagoricienne a été progressivement délaissée au Moyen Âge lorsque l'on a commencé à considérer comme consonant l'intervalle de tierce. En particulier avec Gioseffo Zarlino qui donne une nouvelle définition[9] de la tierce dans son Istitutioni Harmoniche' en 1558.

Newton (1704) était convaincu qu'il devait y avoir une parfaite correspondance entre les diverses couleurs et les notes de la gamme[10].

Voltaire, dans les Éléments de philosophie de Newton (1738), partie 2, chap. XIV, résume les résultats :

« La plus grande réfrangibilité du violet répond à ré ; la plus grande réfrangibilité du pourpre répond à mi. Violet/ré, pourpre/mi, bleu/fa, vert/sol, jaune/la, orange/si, rouge/do (ut). Voltaire ajoute : “Cette analogie secrète entre la lumière et le son donne lieu de soupçonner que toutes les choses de la nature ont des rapports cachés que peut-être on découvrira quelque jour.” »

— Pierre Thuillier, La revanche des sorcières[11].

On construit une quinte pure à partir d'une note de base en prenant les deux tiers de la corde.

L'intervalle de quinte pure correspond en acoustique musicale à un rapport de fréquences de 3/2. Ainsi, si on part de la note ayant pour fréquence 200 Hz, l'intervalle de quinte pure est obtenu en partageant la corde aux 2/3, donc en multipliant cette fréquence par 3/2 : la deuxième note aura une fréquence de 300 Hz, la troisième note 450 Hz, la quatrième note 675 Hz, etc. De même, en utilisant le monocorde, on construit un intervalle de quinte pure à partir d'une note de base en prenant les deux tiers de la corde.

Ce rapport de 3/2 s'explique physiquement par la troisième harmonique produite lors de la production d'un son harmonique : la fréquence de la troisième harmonique est deux fois la fréquence de la quinte juste. Ainsi, jouer une note et sa quinte simultanément est harmonieux.

À partir de cette nouvelle note à la quinte on prend à nouveau les deux tiers de la corde, ce qui donne la deuxième quinte. En continuant ainsi, on retombe à la 12^e quinte sur une note très proche de celle de départ (en tenant compte du principe d'équivalence des octaves).

Sur le plan mathématique, il se trouve que si on répète douze fois le passage à la quinte, on a franchi presque sept octaves (${\displaystyle (3/2)^{12}\approx (2/1)^{7}}$), et on revient presque exactement sur la note initiale. Ce rapport de fréquence 3/2 est en effet en rapport multiplicatif « simple » (au sens des fractions continues) du rapport d'octave 2/1 : ${\displaystyle {\frac {\log {(3/2)}}{\log {(2/1)}}}\approx 7/12}$ (ou plus précisément 7,01955…/12). Ce fait mathématique est à l'origine de pratiquement toute la théorie musicale : division de l'octave en douze demi-tons, et rôle primordial de la quinte dans les accords musicaux.

Pour construire une gamme musicale avec ces notes, on les ramène à une même octave, soit dans un intervalle de rapport 2 (principe d'équivalence des octaves), et on ignore la différence entre ${\displaystyle ({\frac {3}{2}})^{12}}$ et ${\displaystyle {2^{7}}}$ (appelée comma pythagoricien) pour boucler la boucle. On peut choisir avec l'exemple précédent l'octave comprise entre 200 Hz et 400 Hz : il faut diviser par une puissance de 2 les fréquences se situant au-dessus des 400 Hz, ce qui donnera par exemple pour celle de 675 Hz le résultat 337,5 Hz (675/2¹). La dernière quinte est raccourcie à l'approximation de l'octave supérieure.

On trie des quintes suivant l'ordre croissant des rapports ramenés dans l'intervalle [1 ; 2]. La dernière quinte est raccourcie à l'octave supérieure.

La gamme obtenue possède des intervalles assez réguliers. Par exemple, l'écart entre la 1^re et la 2^e note (3⁷/2¹¹) est très proche de l'écart entre la 2^e et la 3^e (3²/2³ / 3⁷/2¹¹). Elle peut donc servir de référence à l'accordage d'instruments de musique.

La quinte du loup se trouve ici dans l'intervalle mi#—do, mais elle est placée normalement dans la gamme dans l'intervalle sol#—mi♭, car c'est la quinte juste la moins utilisée.

La gamme pythagoricienne comporte[12]:

• 11 quintes pures, plus la quinte du loup
• Cet accord contient aussi des quartes pures, obtenues par renversement des quintes.
• 8 tierces majeures pythagoriciennes plus grandes que la tierce pure d'un comma syntonique, et 4 tierces majeures très consonantes plus petites que la tierce pure d'un schisma.

Cycle des quintes avec le solfège : on descend chaque fois que possible d'une octave afin de rester dans la même (représentée en bleu ciel)

En utilisant le nom des notes issues du solfège, il est possible de construire une suite de quintes (en formant le cycle des quintes) et de donner un nom aux notes de la gamme pythagoricienne.

Dans la gamme tempérée, l'étendue d'une quinte juste vaut trois tons et demi : sur un piano on avance de quinte en quinte en se déplaçant chaque fois de 7 touches (touches noires comprises). En partant du do on obtient la suite :

do — sol — ré — la — mi — si — fa♯ — do♯ — sol♯ — ré♯ — la♯ — mi♯ — si♯…

Par convention, on utilise le dièse pour les notes altérées dans la suite des quintes ascendantes, et le bémol dans la suite des quintes descendantes[3].

Toujours en partant de do, la suite des quintes descendantes commence par :

do — fa — si♭ — mi♭ — la♭ — ré♭ — sol♭ — do♭ — fa♭ — si♭♭ — mi♭♭ — la♭♭ — ré♭♭…

Clavier à 19 touches par octave imaginé par Zarlino, distinguant dièses et bémols

Il n'y a pas d'enharmonie puisque cette gamme n'est pas tempérée : le do♯ n'a donc pas la même fréquence que le ré♭. Les deux demi-tons, qui sont identiques dans la gamme tempérée, sont nommés dans la gamme pythagoricienne :

• apotome, pour l'intervalle formé par une note et sa version altérée ;
• limma, pour l'intervalle formé par une note altérée et la note voisine ne portant pas le même nom.

Ces intervalles sont disposés ainsi :

• do — apotome — do♯ — limma — ré, pour les quintes ascendantes ;
• do — limma — ré♭ — apotome — ré, pour les quintes descendantes.

Dans la gamme pythagoricienne, les notes bémolisées sont inférieures d'un comma pythagoricien à leurs notes conjointes diésées, on en déduit l'ordre suivant : do — ré♭ — do♯ — ré.

La superposition de 5 quintes (do — sol — ré — la — mi) donne, après réduction à l'octave, une gamme pentatonique[3] : ré — mi — sol — la — do.

La superposition de 7 quintes (fa — do — sol — ré — la — mi — si) donne une gamme heptatonique diatonique[3] : ré — mi — fa — sol — la — si — do.

La superposition de 12 quintes donne une gamme chromatique[3].

Il est possible de représenter une gamme pythagoricienne particulière en mettant les apotomes et les limmas les uns à la suite des autres selon les intervalles obtenus, le limma (90,225 cents) étant plus court que l'apotome (113,685 cents) d'un comma (23,460 cents).

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Pythagorean tuning » (voir la liste des auteurs).