Trou noir de Kerr

Un trou noir de Kerr est associé à une singularité dite singularité de Kerr[14] dont la particularité est d'être, d'une part, annulaire[4]^,[14] — c'est-à-dire dont la topologie est celle d'un anneau — et, d'autre part, du genre temps[4]^,[14].

La présence de l'horizon des évènements ne dépend pas de la rotation du trou noir, c'est une caractéristique commune à tous les types de trous noirs qui représente finalement l'essence même de ce qu'est un trou noir. Les particules qui franchissent l'horizon des évènements tombent définitivement dans le trou noir sans possibilité de s'en échapper.

Dans le cas d'un trou noir de Kerr, le rayon de l'horizon des évènements est appelé le rayon de Kerr[15] et s'écrit :

${\displaystyle r_{h}={\frac {r_{s}}{2}}\left[1+{\sqrt {1-\left({\frac {Jc}{GM^{2}}}\right)^{2}}}\right]}$,

où :

• ${\displaystyle G}$ est la constante gravitationnelle ;
• ${\displaystyle c}$ est la vitesse de la lumière dans le vide ;
• ${\displaystyle r_{s}}$ est le rayon de Schwarzschild.

Il s'écrit aussi[15] :

${\displaystyle r_{h}=R_{K}={\frac {G}{c^{2}}}\left(M+{\sqrt {M^{2}-a^{2}}}\right)}$,

où :

• ${\displaystyle G}$ est la constante gravitationnelle ;
• ${\displaystyle c}$ est la vitesse de la lumière dans le vide ;
• ${\displaystyle M}$ est la masse de l'objet ;
• ${\displaystyle a}$ est le paramètre de Kerr.

La valeur du rayon de l'horizon du trou noir de Kerr est donc comprise entre la moitié du rayon de Schwarzschild (quand le moment angulaire est maximal, ${\displaystyle Jc=G.M^{2}}$) et ledit rayon (moment angulaire nul, ${\displaystyle J=0}$, cas du trou noir de Schwarzschild).

L'ergosphère est dite limite statique en ce sens que les particules qui la franchissent sont obligatoirement entraînées dans le sens de rotation du trou noir, autrement dit, elles y possèdent un moment angulaire de même signe que ${\displaystyle J}$. Cet entraînement confère du moment cinétique et de l'énergie mécanique à une particule qui pénètre dans l'ergosphère puis s'en échappe, de sorte que le trou noir voit son moment cinétique diminuer. C'est le processus de Penrose, qui permet de pomper de l'énergie à un trou noir en rotation.

L'ergosphère est décrite par l'équation polaire :

${\displaystyle r={\frac {r_{s}}{2}}\left[1+{\sqrt {1-\left({\frac {Jc}{GM^{2}}}\sin \theta \right)^{2}}}\right]}$

où, toutes notations égales par ailleurs, ${\displaystyle \theta }$ désigne l'angle par rapport à l'axe de rotation. Il s'agit d'un ellipsoïde de révolution de petit axe ${\displaystyle r_{h}}$ et de grand axe ${\displaystyle r_{\mathrm {stat} }=r_{s}}$.

${\displaystyle \!\ a\equiv {\frac {cJ}{GM}}}$, le rapport entre le moment cinétique et la masse, définit le taux de rotation du trou noir et a pour dimension une masse. ${\displaystyle a}$ ne peut être supérieur à ${\displaystyle M}$ (voir espace-temps de Kerr rapide ci-dessous).

Le paramètre de spin ${\displaystyle a_{*}={\frac {a}{M}}}$ est un paramètre sans dimension tel que ${\displaystyle -1\leq a_{*}\leq 1}$, le signe représentant le sens de rotation.

La métrique de Kerr s'écrit généralement dans les coordonnées de Boyer-Lindquist.

Elle est donnée par[16] :

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\left(1-{\frac {2GMr}{c^{2}\rho ^{2}}}\right)c^{2}\mathrm {d} t^{2}-{\frac {4GMar\sin ^{2}\theta }{c^{2}\rho ^{2}}}c\mathrm {d} t\mathrm {d} \phi +{\frac {\rho ^{2}}{\Delta }}\mathrm {d} r^{2}+\rho ^{2}\mathrm {d} \theta ^{2}+\left(r^{2}+a^{2}+{\frac {2GMa^{2}r\sin ^{2}\theta }{c^{2}\rho ^{2}}}\right)\sin ^{2}\theta \mathrm {d} \phi ^{2}}$,

avec :

${\displaystyle \!\ \Delta \equiv r^{2}-{\frac {2GM}{c^{2}}}r+a^{2}}$,

${\displaystyle \!\ \rho ^{2}\equiv r^{2}+a^{2}\sin ^{2}\theta }$.

En posant ${\displaystyle G=1}$ et ${\displaystyle c=1}$, elle est donnée par :

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\left(1-{\frac {2Mr}{\rho ^{2}}}\right)\mathrm {d} t^{2}-{\frac {4aMr\sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}}\mathrm {d} t\mathrm {d} \phi +{\frac {\rho ^{2}}{\Delta }}\mathrm {d} r^{2}}$ ${\displaystyle +\rho ^{2}\mathrm {d} \theta ^{2}+\left(r^{2}+a^{2}+{\frac {2a^{2}Mr\sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}}\right)\sin ^{2}\theta \mathrm {d} \phi ^{2}}$,

avec :

${\displaystyle \!\ \Delta \equiv r^{2}-2Mr+a^{2}}$,

${\displaystyle \!\ \rho ^{2}\equiv r^{2}+a^{2}\sin ^{2}\theta }$,

${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ est la coordonnée temporelle, ${\displaystyle r\in \mathbb {R} ^{+}}$ est la coordonnée radiale, ${\displaystyle \theta \in \left[0,\pi \right]}$ est la colatitude, ${\displaystyle \phi \in \left[0,2\pi \right]}$ est la longitude.
Les points ${\displaystyle \theta =0}$ et ${\displaystyle \theta =\pi }$ sont les pôles et les points ${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$ forment l'équateur. La droite joignant les pôles est l'axe de rotation du trou noir.
Le système de coordonnées est indéfini aux pôles. En effet, lorsque ${\displaystyle t=cste}$ et ${\displaystyle r=cste}$, le coefficient g_{${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$} s'annule pour ${\displaystyle \theta =0}$ et ${\displaystyle \theta =\pi }$.
De plus, les coordonnées sont invalides lorsque ${\displaystyle \Delta =0}$ où le coefficient g_{${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$} diverge. Les coefficients de la métrique (exprimée dans les coordonnées de Boyer-Lindquist) sont indépendants de ${\displaystyle t}$ et ${\displaystyle \phi }$. Par conséquent, la géométrie de l'espace-temps est indépendante du temps (c'est-à-dire stationnaire) et à symétrie axiale.
Autrement dit, la métrique de Kerr possède les vecteurs de Killing : ${\displaystyle \xi _{\left(t\right)}\equiv \left({\frac {\partial }{\partial t}}\right)_{r,\theta ,\phi }}$ ${\displaystyle \xi _{\left(\phi \right)}\equiv \left({\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)_{t,r,\theta }}$

Les composantes de la métrique de Kerr exprimées avec les coordonnées de Boyer-Lindquist sont remarquables car elles sont égales au produit scalaire des coordonnées indépendantes :

${\displaystyle \xi _{\left(t\right)}.\xi _{\left(t\right)}=g_{tt}}$

${\displaystyle \xi _{\left(t\right)}.\xi _{\left(\phi \right)}=g_{t\phi }}$

${\displaystyle \xi _{\left(\phi \right)}.\xi _{\left(\phi \right)}=g_{\phi \phi }}$

Notons que si le moment angulaire par unité de masse est nul, ${\displaystyle a=0}$ (donc ${\displaystyle J=0}$), on obtient la métrique de Schwarzschild. Si on ajoute la contrainte ${\displaystyle M=0}$, on obtient l'espace de Minkowski.

Il arrive que la métrique soit exprimée dans les coordonnées de Kerr où ${\displaystyle {\tilde {\phi }}}$ est la coordonnée de rotation du trou noir :

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\left(1-{\frac {2Mr}{\rho ^{2}}}\right)\mathrm {d} {\tilde {V}}^{2}-{\frac {4aMr\sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}}\mathrm {d} {\tilde {\phi }}\mathrm {d} {\tilde {V}}}$ ${\displaystyle +\rho ^{2}\mathrm {d} \theta ^{2}+\left(r^{2}+a^{2}+{\frac {2a^{2}Mr\sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}}\right)\sin ^{2}\theta \mathrm {d} {\tilde {\phi }}^{2}+2\mathrm {d} r\mathrm {d} {\tilde {V}}-2a\sin ^{2}\theta \mathrm {d} {\tilde {\theta }}\mathrm {d} r}$

Dans ce cas, les coefficients sont indépendants de ${\displaystyle {\tilde {V}}}$ et ${\displaystyle {\tilde {\phi }}}$.

Les relations qui relient les deux systèmes de coordonnées sont :

${\displaystyle \mathrm {d} {\tilde {V}}=\mathrm {d} t+{\frac {\left(r^{2}+a^{2}\right)}{\Delta }}\mathrm {d} r}$,

${\displaystyle \mathrm {d} {\tilde {\phi }}=\mathrm {d} {\tilde {\theta }}+{\frac {a}{\Delta }}\mathrm {d} r}$.

Il existe trois types différents d'espace-temps de Kerr suivant l'importance relative de ${\displaystyle M}$ et ${\displaystyle a}$, autrement dit, suivant la vitesse du moment angulaire ${\displaystyle J}$.

L'espace-temps de Kerr est dit « lent » (slow Kerr space-time) pour ${\displaystyle 0<\left|a\right|<M}$[17]. La rotation est lente (${\displaystyle \left|J\right|<1}$).

${\displaystyle \Delta }$ possède alors deux racines réelles.

${\displaystyle r_{-}=M-{\sqrt {M^{2}-a^{2}}}}$
${\displaystyle r_{+}=M+{\sqrt {M^{2}-a^{2}}}}$

C'est la version de l'espace-temps de Kerr la plus souvent étudiée. L'espace-temps possède deux horizons, les sphères de rayon ${\displaystyle r=r_{-}}$ et ${\displaystyle r=r_{+}}$ disposées symétriquement à la sphère de rayon ${\displaystyle r=M}$. Le lieu géométrique où ${\displaystyle r=r_{+}}$ est appelé indifféremment l'horizon externe ou l'horizon des événements. Concernant ${\displaystyle r=r_{-}}$, on le nomme horizon interne ou horizon de Cauchy. Les deux horizons séparent l'espace-temps en trois parties distinctes nommées blocs de Boyer-Lindquist (Boyer-Lindquist Blocks) :

${\displaystyle \left\{r>r_{+}\right\}}$

C'est la région extérieure au trou noir. L'ergosphère[18] appartient à ce bloc. La limite statique est l'hypersurface définie par la racine supérieure de l'équation : ${\displaystyle \rho ^{2}=2Mr}$, où le coefficient g_{${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$} s'annule. Si on définit l'ergosphère par la coordonnée radiale ${\displaystyle r}$ :

${\displaystyle E=\left\{r_{+}<r<M+{\sqrt {M^{2}-a^{2}sin^{2}\theta }}\right\}}$.

Cette équation permet de retrouver quelques résultats prévisibles :
La limite statique coïncide avec l'horizon des évènements aux pôles.
L'extension radiale de l'ergosphère est maximale à l'équateur du trou noir (Voir Fig. 1).
La limite statique se rapproche de plus en plus de l'horizon des évènements à mesure que le moment angulaire par unité de masse diminue.
Si un observateur franchit l'ergosphère, il lui est physiquement impossible de rester au repos par rapport à un objet extérieur au trou noir. De plus, tous les observateurs possédant une coordonnée radiale et une colatitude fixes se situant dans cette région de l'espace-temps de Kerr doivent décrire des orbites dans le même sens de rotation que le trou noir.

Si ${\displaystyle r=cste}$ et ${\displaystyle \theta =cste}$, ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} t}}>{\frac {a\sin \theta -{\sqrt {\Delta }}}{\left(r^{2}+a^{2}\right)\sin \theta -a{\sqrt {\Delta }}\sin ^{2}\theta }}\geq 0}$ lorsque ${\displaystyle r\in E}$ et ${\displaystyle a>0}$.

${\displaystyle \left\{r_{-}<r<r_{+}\right\}}$

C'est la région située sous l'horizon externe. De la même manière que pour l'horizon de Schwarzschild caractérisant un trou noir sans rotation, aucun objet ne peut émerger de l'horizon des évènements.

${\displaystyle \left\{r<r_{-}\right\}}$

C'est la région de l'espace-temps située sous l'horizon interne contenant la singularité annulaire source de la gravité.

L'espace-temps de Kerr est dit « extrême » (extreme Kerr space-time) pour ${\displaystyle \left|a\right|=M}$[17]. La rotation est critique (${\displaystyle \left|J\right|=1}$).

${\displaystyle M}$ est la racine double de ${\displaystyle \Delta }$ et la sphère de rayon ${\displaystyle r=M}$ est l'horizon unique. Si on reprend les formules précédentes, on trouve que l'ergosphère est la région :

${\displaystyle E=\left\{r_{-}=r_{+}=M<r<M\left(1+\sin \theta \right)\right\}}$.

La métrique décrit un objet en rotation qui cesse d'être un trou noir, mais n'atteint pas la vitesse de rupture. La vitesse de rotation à la limite externe est égale à la vitesse de la lumière. Comme l'explique Jean-Pierre Luminet : "En langage newtonien, on dirait qu'à la surface d'un trou noir maximal les forces de répulsion centrifuges compensent exactement les forces d'attraction gravitationnelles."[19]

L'espace-temps de Kerr est dit « rapide » (fast Kerr space-time) pour ${\displaystyle \left|a\right|>M}$[17]. La rotation est rapide (${\displaystyle \left|J\right|>1}$).

${\displaystyle \Delta }$ ne possède aucune racine réelle et l'espace-temps n'a pas d'horizon. Dans ce cas de figure, il n'y a pas de trou noir, et on parle alors de singularité nue. L'intérêt de cette solution particulière est plutôt limité puisque Werner Israel[20] a démontré dans les années 1980 que toute interaction d'un trou noir tournant à sa fréquence maximale (${\displaystyle \left|J\right|=1}$) tend à ralentir son moment angulaire. Il semblerait donc qu'il n'existe aucun moyen physique de "construire" un espace-temps de Kerr rapide. C'est l'idée formulée initialement par Roger Penrose appelée conjecture de la "Censure cosmique".

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• (en) Kerr Black Hole sur le site scienceworld.wolfram.com
• (en) Kerr Metric sur le site scienceworld.wolfram.com

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