Pression de rayonnement

Le rayonnement est caractérisé par le nombre de photons par unité de volume de fréquence comprise entre ν et ν + d ν se déplaçant dans le cône dΩ autour de la direction Ω. Il s'agit donc d'une distribution angulaire f_ν (Ω). 0n utilise la luminance spectrale définie par[12]^,[n 1]

${\displaystyle L_{\nu }({\boldsymbol {\Omega }})=c\,h\,\nu f_{\nu }({\boldsymbol {\Omega )}}}$

où c est la vitesse de la lumière et h la constante de Planck. Cette quantité est la fonction de base dans l'étude du transfert radiatif.

On peut écrire f_ν sous la forme

${\displaystyle f_{\nu }({\boldsymbol {\Omega }})=n_{\nu }g_{\nu }({\boldsymbol {\Omega }})}$

où n_ν est la densité particulaire et g_ν la distribution angulaire normalisée par intégration sur la sphère unité ${\displaystyle \textstyle \int _{S^{2}}g_{\nu }({\boldsymbol {\Omega }})\mathrm {d} {\boldsymbol {\Omega }}=1}$

Les luminances sont donc sommables comme le nombre de photons car il n'y a pas d'interaction photon-photon.

La quantité de mouvement d'un photon est

${\displaystyle \mathbf {q} ={\frac {h\nu }{c}}\mathbf {\Omega } }$

Elle est donc reliée à la luminance par

${\displaystyle {\frac {L_{\nu }}{c}}=c\,q\,n_{\nu }\,g_{\nu }=p_{\nu }}$

p_ν est une pression radiative spectrale, le flux sur la surface normale à Ω de la densité volumique de quantité de mouvement ${\displaystyle \textstyle q\,n_{\nu }\,g_{\nu }}$. Les pressions sont donc sommables.

On généralise ci-dessous cette notion.

La pression radiative est le tenseur des contraintes radiatives, d'ordre 2, symétrique, obtenu à partir du produit tensoriel ${\displaystyle \textstyle \mathbf {\Omega } \otimes \mathbf {\Omega } }$ (l'unité de mesure normalisée est le Pa s, puisque c'est une pression définie dans un intervalle spectral)[13].

${\displaystyle {\mathsf {P}}_{\nu }={\frac {1}{c}}\int _{S^{2}}L_{\nu }\,\mathbf {\Omega } \otimes \mathbf {\Omega } \,\mathrm {d} \mathbf {\Omega } }$

La trace de ce tenseur est l'énergie volumique spectrale

${\displaystyle Tr\left({\mathsf {P}}_{\nu }\right)={\frac {1}{c}}\int _{S^{2}}L_{\nu }\,\mathrm {d} \mathbf {\Omega } \equiv E_{\nu }}$

Deux exemples peuvent illustrer ceci :

• distribution isotrope : ${\displaystyle \textstyle L_{\nu }=L_{\nu _{0}}=C^{ste}}$ alors

${\displaystyle {\mathsf {P}}_{\nu }={\frac {L_{\nu _{0}}}{c}}\int _{4\pi }\,\mathbf {\Omega } \otimes \mathbf {\Omega } \,\mathrm {d} \mathbf {\Omega } ={\frac {L_{\nu _{0}}}{c}}{\frac {4\pi }{3}}\,{\mathsf {I}}\,,\qquad E_{\nu }={\frac {4\pi }{c}}L_{\nu _{0}}}$

où ${\displaystyle \textstyle {\mathsf {I}}}$ est le tenseur unité. Ce tenseur décrit une pression spectrale isotrope.

• faisceau de luminance L_ν0 dans la direction Ω₀ = (1, 0, 0) : ${\displaystyle \textstyle L_{\nu }=L_{\nu _{0}}\delta (\mathbf {\Omega } -\mathbf {\Omega } _{0})}$ où δ est la distribution de Dirac alors

${\displaystyle {\mathsf {P}}_{\nu }={\frac {L_{\nu _{0}}}{c}}\int _{4\pi }\,\mathbf {\Omega } \otimes \mathbf {\Omega } \,\delta (\mathbf {\Omega } -\mathbf {\Omega } _{0})\mathrm {d} \mathbf {\Omega } ={\frac {L_{\nu _{0}}}{c}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\[0.5em]0&0&0\\[0.5em]0&0&0\end{pmatrix}}\,,\qquad E_{\nu }={\frac {L_{\nu _{0}}}{c}}}$

Ce tenseur décrit une pression égale à ${\displaystyle \textstyle p_{\nu }={\frac {L_{\nu _{0}}}{c}}}$ dans la direction Ω₀, nulle dans tout autre direction.

Bien entendu, toutes ces quantités peuvent être intégrées sur tout ou partie du spectre : on obtient alors une pression totale exprimée en Pa.

${\displaystyle L=\int _{0}^{\infty }L_{\nu }\mathrm {d} \nu \,,\quad {\mathsf {P}}=\int _{0}^{\infty }{\mathsf {P}}_{\nu }\mathrm {d} \nu }$

Deux exemples peuvent illustrer ces calculs :

• intérieur du Soleil

Le rayonnement est celui d'un corps noir, donc isotrope. Pour un tel milieu, la luminance totale est ${\displaystyle \textstyle L_{0}={\frac {\sigma T^{4}}{\pi }}}$ d'où ${\displaystyle \textstyle {\mathsf {P}}={\frac {4\sigma T^{4}}{3c}}{\mathsf {I}}}$

Pour une température T ~ 15 MK qui correspond à la valeur dans le noyau, on obtient une pression voisine de 10¹³ Pa. Cette valeur est une partie notable de la pression totale dans le milieu. Dans une étoile plus grosse, elle peut devenir prépondérante ;

• le Soleil au niveau de la Terre

Cette fois, le rayonnement est proche d'un faisceau parallèle : le Soleil de rayon R est vu de la Terre à la distance L sous un angle de ${\textstyle \textstyle \arctan {\left({\frac {2R}{L}}\right)}\simeq 0,5}$° et le spectre proche de celui d'un corps noir à la température T ~ 5 780 K. La pression est donc ${\displaystyle \textstyle {\frac {\sigma T^{4}}{\pi c}}\left({\frac {R}{L}}\right)^{2}\simeq 10^{-6}\;{\text{Pa}}}$.

La pression de radiation solaire est la source dominante de perturbation dans l'espace interplanétaire[14].

Cette pression de radiation est à distinguer de celle exercée par le vent solaire, qui est un flux de particules de matière[15].

La surface est définie par son absorptivité ${\displaystyle 1-r}$ et sa réflectivité ${\displaystyle r}$. Celle-ci peut être généralement décrite comme la somme d'une réflexion spéculaire en part s et d'une réflexion diffuse isotrope. Il s'agit d'une approximation raisonnable dans la plupart des cas. Dans le cas le plus général, on doit utiliser un modèle de réflectivité bidirectionnelle et dans ce cas les calculs deviennent numériques.

Il faut ajouter l'émission propre, généralement (mais non nécessairement) thermique.

On suppose que le système paroi (exposant S) + photon avant réflexion (exposant 1) et après (exposant 2) conserve la quantité de mouvement. L'indice ν est omis.

${\displaystyle \textstyle \mathbf {q} ^{S}=\mathbf {q} ^{(1)}-\mathbf {q} ^{(2)}}$

Cette relation est projetée sur les axes parallèle (indice //) et perpendiculaire (indice ⊥). Le photon a une incidence θ par rapport à la normale à la surface.

• absorption

${\displaystyle q_{//}^{S}=q_{//}^{(1)}=q\sin {\theta }\,,\qquad q_{\perp }^{S}=q_{\perp }^{(1)}=q\cos {\theta }}$

• réflexion spéculaire

${\displaystyle q_{//}^{S}=0\,,\qquad q_{\perp }^{S}=2q_{\perp }^{(1)}=2q\cos {\theta }}$

• réflexion diffuse

${\displaystyle q_{//}^{S}=q_{//}^{(1)}=q\sin {\theta }\,,\qquad q_{\perp }^{S}=q_{\perp }^{(1)}+q\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin {\theta }\cos {\theta }\,\mathrm {d} \theta =q\cos {\theta }+{\frac {q}{2}}}$

Au total, pour le rayonnement incident

${\displaystyle q_{//}^{S}=q(1-rs)\sin {\theta }}$

${\displaystyle q_{\perp }^{S}=q\left[(1+rs)\cos {\theta }+{\frac {r}{2}}(1-s)\right]}$

Le rayonnement propre est généralement isotrope. Dans ce cas

${\displaystyle q_{//}^{S}=0\,,\qquad q_{\perp }^{S}={\frac {q}{2}}}$

L'approche en pression est l'analogue de ce qui précède. En effet, les tenseurs de pression se somment car l'opérateur d'intégration est linéaire. Donc au voisinage de la paroi

${\displaystyle {\mathsf {P}}^{S}={\mathsf {P}}^{(1)}-{\mathsf {P}}^{(2)}}$

où ${\displaystyle {\mathsf {P}}^{(1)}}$ est le tenseur du rayonnement incident et ${\displaystyle {\mathsf {P}}^{(2)}}$ celui du rayonnement quittant la surface.

• absorption : ${\displaystyle {\mathsf {P}}^{(2)}={\mathsf {0}}}$ (tenseur nul)
• réflexion spéculaire : ${\displaystyle {\mathsf {P}}^{(2)}}$ est l'image du rayonnement symétrique de ${\displaystyle {\mathsf {P}}^{(1)}}$, obtenu par un simple changement de signe des termes diagonaux ${\displaystyle {\mathsf {P}}_{kl}^{(2)}=-(-1)^{k+l}{\mathsf {P}}_{kl}^{(1)}}$.
• réflexion diffuse : ${\displaystyle {\mathsf {P}}^{(2)}}$ est isotrope dans un demi-espace. La conservation de l'énergie permet d'écrire

${\displaystyle E^{(2)}={\frac {2\pi }{c}}L^{(2)}=E_{-}^{(1)}}$

où ${\displaystyle E_{-}^{(1)}}$ est l'énergie incidente dans le demi-espace tourné vers la paroi. Donc

${\displaystyle {\mathsf {P}}^{(2)}={\frac {2E_{-}^{(1)}}{3}}\,{\mathsf {I}}}$

Comme pour un seul photon, il ne reste plus qu'à pondérer par les fractions r et s pour obtenir le tenseur de pression résultant (spectral ou total).

Cette méthode a l'avantage de permettre d'effectuer systématiquement des calculs formels ou numériques.

Elle est analogue à la mécanique des fluides, permettant d'obtenir les contributions normale et parallèle des efforts à la paroi (la « pression » et le « cisaillement »).

${\displaystyle \mathbf {F} ={\mathsf {P}}^{S}\cdot \mathbf {x} }$

où x est le vecteur unitaire normal à la surface et F la force (spectrale ou totale) exercée par unité de surface.

Une onde électromagnétique incidente interagit par son champ électrique avec le matériau par l'intermédiaire de particules ou quasi-particules du solide au voisinage de la paroi. Il s'agit d'électrons d'une bande de valence pour un métal ou d'un phonon pour un diélectrique. Les oscillations induites provoquent l'émission d'une onde de même fréquence, plus ou moins déphasée, qui interfère avec l'onde incidente. Dans le cas de l'émission, c'est l'agitation thermique qui crée l'onde.

On utilise les équations de Maxwell pour calculer les propriétés des surfaces dont on parle plus haut : réflectivité, absorptivité et émissivité à partir des propriétés intrinsèques du solide[16] ou son état de surface[17]. On ne s'en sert que rarement pour évaluer directement des efforts induits.

Considérons un faisceau laser éclairant un milieu gazeux. Lorsque la longueur d'onde correspond à une raie d'absorption, l'atome acquiert la quantité de mouvement q dans la direction de propagation et passe sur un état d'énergie supérieur. Lors de la désexcitation, l'atome émet un photon de même énergie. L'émission se fait dans une direction quelconque. Donc en moyenne, la quantité de mouvement due à la désexcitation est nulle. Le faisceau accélère le mouvement de chaque atome de la même quantité, là aussi en moyenne. C'est donc la vitesse moyenne (macroscopique) du gaz qui est affectée. La distribution statistique des vitesses microscopiques ne l'est pas.

Pour obtenir un effet de diminution des vitesses microscopiques (donc une baisse de la température du gaz), il faut utiliser une absorption sélective angulairement. Ce phénomène n'est donc pas directement lié à la notion de pression radiative.

Le cas de particules de taille voisine de la longueur d'onde est différent puisque l'approximation particulaire n'est pas utilisable. Le phénomène d'interaction onde-particule est complexe : il dépend de la taille relative de la particule par rapport à la longueur d'onde mais aussi des propriétés diélectriques du matériau constitutif[18].

Cet effet peut être utilisé pour manipuler des particules en piégeant celle-ci grâce à un gradient de luminance : c'est le principe de la pince optique.

Les applications en astrophysique et physique stellaire sont nombreux :

• formation de l'univers, du système solaire, photo-évaporation, formation et évolutions des étoiles (limite d'Eddington, nova, etc.) ;
• évolution à moyen ou long terme des caractéristiques de nuages de particules solides (queue cométaire, effet Poynting-Robertson) ou de petits corps (effet Yarkovsky, effet YORP, paramètres d'accélération non gravitationnelle).

Dans un domaine voisin on retrouve des problèmes analogues (sauf la gravité bien sûr) en physique des plasmas (fusion nucléaire).

Dans les années 1970, on apprend à manipuler des particules au moyen de la force d'origine radiative[19], y compris pour faire léviter des particules[20].

Dans les années 1980, on apprend à capturer des atomes[21], avant de notamment développer des pièges optiques[22] et manipuler des bactéries et des virus[23].

Depuis le milieu des années 1980, on utilise — de plus en plus couramment — la pression radiative d’un laser focalisé pour manipuler, déplacer, trier des objets très petits, particules, protéines, cellules, par exemple pour construire des moteurs moléculaires, des nanoconstituants ou manipuler des cellules au moyen de pinces optiques.

Parmi les usages envisagés par la science-fiction et les techniques d'exploration spatiale, les voiles solaires sont une méthode possible de propulsion spatiale qui utilise comme force motrice la pression radiative exercée par le rayonnement solaire sur une grande voile.

Depuis début 2016, le projet Breakthrough Starshot ambitionne d'utiliser la pression de radiation couplée à une voile optique pour propulser des sondes à une vitesse de 0,2 c à l'aide d'un laser situé sur la terre.

À travers la pression de rayonnement d'un laser, il est possible de générer des ions ou protons ayant des énergies élevées (pouvant aller à plus de 2 GeV selon les paramètres) à l'aide de très fines couches de plasma[24]. Ceci peut également être utilisé dans le domaine médical (par exemple dans le traitement de tumeurs par faisceau d'ions[25]).