Suspension (mathématiques)

La suspension SX d'un espace topologique X, parfois dite « non réduite » ou « libre », par opposition à la suspension réduite décrite ci-dessous, est l'espace quotient

${\displaystyle SX=(X\times I)/\{\forall x,y\in X:(x,0)\sim (y,0),\ (x,1)\sim (y,1)\}}$

du produit de X par l'intervalle unité I = [0, 1].

Intuitivement, on forme un cylindre de base X et on réduit chacune des deux extrémités du cylindre à un point. On peut aussi voir SX comme deux exemplaires du cône CX de X, recollés le long de leur base. C'est aussi, en tant que cône d'une application constante de X sur un point, un quotient d'un seul exemplaire de CX. C'est également le joint de X et de l'espace discret S⁰ à deux éléments.

À toute application continue f : X → Y, on associe l'application Sf : SX → SY définie par Sf([x, t]) = [f(x), t], ce qui fait de S un foncteur.

Grossièrement, le foncteur S augmente de 1 la dimension de l'espace : il envoie la n-sphère sur la (n + 1)-sphère, pour tout entier naturel n. Il décale de 1 les groupes d'homologie et d'homologie réduite (en) :

${\displaystyle \forall n\geq 1,~H_{n+1}(SX)=H_{n}(X),\quad H_{0}(X)=H_{1}(SX)\oplus \mathbb {Z} ,\quad H_{0}(SX)=\mathbb {Z} .}$

${\displaystyle \forall n\geq 0,~{\tilde {H}}_{n+1}(SX)={\tilde {H}}_{n}(X),\quad {\tilde {H}}_{0}(SX)=0.}$

Si X est un CW-complexe, alors SX aussi[1]. Si deux espaces ont même type d'homotopie, leurs suspensions aussi.

La suspension peut être utilisée pour construire un morphisme entre groupes d'homotopie, auquel s'applique le théorème de suspension de Freudenthal. En théorie de l'homotopie, les phénomènes préservés par suspension, en un sens approprié, conduisent à la théorie de l'homotopie stable.

La suspension réduite d'un espace pointé (X, x₀) est

${\displaystyle \Sigma X=(X\times I)/(X\times \{0\}\cup X\times \{1\}\cup \{x_{0}\}\times I),}$

ce qui revient à quotienter SX en écrasant tout le segment {x₀} × I sur un seul point, qui devient le point base de ΣX.

La suspension réduite de X est homéomorphe au smash-produit de X par le cercle unité S¹ :

${\displaystyle \Sigma X=S^{1}\wedge X}$

d'où, en itérant :

${\displaystyle \Sigma ^{n}X=S^{n}\wedge X.}$

Pour des espaces convenables, comme les CW-complexes, la suspension réduite est homotopiquement équivalente à la suspension libre.

Σ est un foncteur de la catégorie des espaces pointés dans elle-même. Il est adjoint à gauche du foncteur espace des lacets Ω, c'est-à-dire qu'on a un isomorphisme naturel :

${\displaystyle {\text{Hom}}_{*}\left(\Sigma X,Y\right)\simeq {\text{Hom}}_{*}\left(X,\Omega Y\right).}$

En particulier,

${\displaystyle \pi _{n+1}(Y)=\pi _{n}(\Omega Y).}$

Dans la catégorie des espaces non pointés, le foncteur espace des lacets libres (en) n'est pas adjoint à droite de la suspension libre mais simplement du produit par S¹.