Théorème d'Ascoli

Supposons que A est inclus dans un compact B de C(K, E) et fixons un élément x de K.

Pour montrer que A(x) est relativement compact dans E, il suffit de remarquer qu'il est inclus dans B(x) qui est compact, comme image du compact B par l'application continue de C(K, E) dans E qui à f associe f(x) (en fait, la réunion des A(x) est elle-même relativement compacte, par continuité de l'application qui au couple (f, x) associe f(x)).

Montrons maintenant l'équicontinuité de B au point x (qui entraînera celle de A). Soit ε un réel strictement positif.

Par précompacité de B, il existe un nombre fini d'éléments f₀, … , f_p dans B tels que toute fonction f dans B se trouve à une distance au plus ε de l'un des f_j.

Par continuité en x de f₀, … , f_p, il existe un voisinage V de x tel que

${\displaystyle \forall j\leq p,\forall y\in V,d(f_{j}(x),f_{j}(y))<\varepsilon }$.

Pour toute fonction f dans B et tout point y dans V, l'inégalité triangulaire donne :

${\displaystyle d(f(x),f(y))\leq d(f(x),f_{j}(x))+d(f_{j}(x),f_{j}(y))+d(f_{j}(y),f(y))<\varepsilon +\varepsilon +\varepsilon =3\varepsilon ,}$

d'où l'équicontinuité de B.

La réciproque est le sens le plus souvent utilisé et demande plus d'attention. On souhaite démontrer qu'une partie équicontinue A de C(K, E) telle que A(x) soit inclus dans un compact B(x) pour tout x, est incluse dans un compact de C(K, E).

Notons C l'adhérence de A dans l'espace E^K des applications de K dans E muni de la topologie de la convergence simple (autrement dit, E^K est muni de la topologie produit). D'après les propriétés de l'équicontinuité, C est encore équicontinu, et les deux topologies sur C induites par son inclusion dans C(K, E) et dans E^K coïncident. Il suffit donc de prouver que C est un compact de E^K.

Introduisons le sous-espace de E^K

${\displaystyle D=\prod _{x\in K}B(x).}$

D'après le théorème de Tychonov, D est compact, or C est un fermé de D, ce qui conclut.

Une alternative à l'utilisation du théorème de Tychonov est de prouver élémentairement que l'adhérence B de A dans C(K, E) est précompacte et complète (donc compacte), de la façon suivante[2].

Montrons d'abord que A est précompact (donc B aussi). Soit ε > 0, montrons que A est recouvert par une famille finie d'ensembles C_j de diamètres majorés par 4ε. Pour tout élément x de K, il existe (par équicontinuité de A) un voisinage ouvert O_x de x tel que

${\displaystyle \forall y\in O_{x},\forall f\in A,d(f(y),f(x))<\varepsilon .}$

Par compacité de K, il existe alors une partie finie {x₁, … , x_n} de K telle que les ouverts correspondants O₁, … , O_n recouvrent K.

Posons ${\displaystyle \scriptstyle L=A(x_{1})\cup \ldots \cup A(x_{n})}$ : L est relativement compact dans E donc il existe une partie finie J de E telle que les boules B_{(j, ε)} quand j parcourt J recouvrent L.

Notons enfin, pour tout ${\displaystyle \scriptstyle j=(j_{1},\ldots ,j_{n})\in J^{n}}$, l'ensemble (de diamètre majoré par 4ε)

${\displaystyle C_{j}=\{f\in C(K,E)\ |\ \forall i=1,\ldots ,n,\forall y\in O_{i},d(f(y),j_{i})<2\varepsilon \}.}$

Il reste à prouver que les C_j recouvrent A. Soit f un élément de A ; comme chaque f(x_i) appartient à L, il appartient à une boule de rayon ε centrée en un certain élément j_i de J, ce qui implique

${\displaystyle \forall y\in O_{i},d(f(y),j_{i})\leq d(f(y),f(x_{i}))+d(f(x_{i}),j_{i})<2\varepsilon ,}$

si bien que f appartient à C_j.

Montrons ensuite que B est complet. Il suffit pour cela de prouver que toute suite de Cauchy d'éléments f_n de A converge dans C(K, E). Pour tout point x de K, la suite (f_n(x)) est de Cauchy et à valeurs dans A(x), dont l'adhérence dans E est compacte donc complète, donc cette suite admet dans E une limite, f(x). Par équicontinuité, la convergence simple de (f_n) vers f est uniforme sur le compact K.