Trapèze

Un trapèze est un quadrilatère possédant deux côtés opposés parallèles. Ces deux côtés parallèles sont appelés bases.

Exemple de trapèze.

Avec cette définition, les quadrilatères ABCD et ABDC de la figure sont tous deux des trapèzes (dont les côtés (AB) et (CD) sont parallèles).

Certains auteurs imposent comme condition supplémentaire la convexité du quadrilatère, ce qui revient à exclure les « trapèzes croisés » tels que ABDC.

Propriétés

Un quadrilatère convexe est un trapèze si et seulement s’il possède une paire d’angles consécutifs de somme égale à 180°, soit $π$ radians. La somme des deux autres angles est alors la même. Par exemple dans la figure ci-dessus, les deux paires d'angles ont pour sommets (A,D) et (B,C).

Attention : dans un trapèze, la somme de deux angles consécutifs n'est pas toujours égale à 180° (exemple ici : les angles de sommets A et B).

Cas particuliers

Un trapèze rectangle.

Un trapèze est qualifié de trapèze rectangle s’il possède au moins un angle droit (il en possède alors au moins deux, consécutifs).

Un trapèze isocèle.

Un trapèze est qualifié d’isocèle[1] lorsqu'il vérifie l'une des propriétés équivalentes suivantes :
- deux angles adjacents à une même base sont égaux ;
- les deux bases du trapèze ont la même médiatrice, et celle-ci est un axe de symétrie du trapèze ;
- c'est un quadrilatère inscriptible (c'est-à-dire dont les sommets sont cocycliques).
Un trapèze (non croisé) dont les bases ont même longueur est un parallélogramme, c'est-à-dire que ses deux autres côtés sont aussi parallèles.
Les trapèzes dont les deux côtés qui ne sont pas les bases ont même longueur sont les trapèzes isocèles et les parallélogrammes.
Les quadrilatères qui sont à la fois des trapèzes isocèles et des parallélogrammes sont les rectangles.
Un trapèze qui est un quadrilatère circonscriptible (c'est-à-dire qui possède un cercle inscrit) est appelé trapèze circonscriptible.

Aire du trapèze

Découpage du trapèze en 2 triangles

En fonction des bases et de la hauteur

L’aire du trapèze vaut le produit de sa hauteur $h$ par la demi-somme de ses bases $a$ et $c$ , c'est-à-dire

S={\dfrac {(a+c)}{2}}h

.

On obtient ce résultat [2]^,[3] en découpant le trapèze en deux triangles le long d'une diagonale, lesquels ont pour hauteur $h$ , et chacun une des deux bases $a$ et $c$ . Donc $S={\dfrac {ah}{2}}+{\dfrac {ch}{2}}={\dfrac {(a+c)}{2}}h$

On peut aussi considérer le rectangle construit à partir des milieux des côtés, qui a même aire que le trapèze (cf. figure ci-contre). Comme $IJ={\frac {a+c}{2}}$ (car ${\overrightarrow {IJ}}={\frac {{\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {DC}}}{2}}$ ), $S=IJ.h={\dfrac {(a+c)}{2}}h$ .

Autre démonstration en considérant le parallélogramme obtenu après symétrie de centre le milieu d'un des côtés non parallèles.

Le trapèze ABCD et son symétrique A’CBD’ par rapport à I.

ABCD est un trapèze de grande base a = AB et de petite base c = CD.

Les points A, B et D’ sont alignés comme les points D, C et A’.

(BD’) est parallèle à (A’C). BD’A’C est un trapèze de même aire que ABCD et l'on a : grandes bases : a = AB = A’C, petites bases : c = CD = BD’, hauteur : h = CH.

(AD) est parallèle à (A’D’). AD’A’D est un parallélogramme de base AD’ = a + c. Aire(AD’A’D) = AD’ × DH = (a + c) × h.

Or Aire(AD’A’D) = Aire(ABCD) + Aire(BD’A’C) = 2 Aire(ABCD), soit 2 Aire(ABCD) = (a + c) × h.

On retrouve Aire(ABCD) = ${\dfrac {(a+c)h}{2}}$ .

En fonction des longueurs des côtés

L'aire du trapèze est égale à l'aire d'un triangle de côtés de longueurs $|a-c|,b,d$ , multipliée par ${\frac {a+c}{a-c}}$ , ce qui, compte tenu de la formule de Héron, donne une formule de l'aire du trapèze lorsque ne sont connues que les quatre longueurs a, b, c, d des quatre côtés [4]^,[5] :

S={\frac {a+c}{|a-c|}}.{1 \over 4}{\sqrt {(|a-c|+b+d)(|a-c|+b-d)(|a-c|-b+d)(-|a-c|+b+d)}}

,

où $a$ et $c$ représentent les longueurs (supposées distinctes) des deux bases.

Démonstration

Dans le cas $a>c$ , avec les notations de la figure ci-contre, l’aire du parallélogramme EBCD est le double de celle du triangle EBD. Or les aires de EBD et de AED, triangles de même hauteur, sont proportionnelles à leurs bases.

Ainsi ${\text{Aire}}(EBCD)=2{\frac {c}{a-c}}{\text{Aire}}(AED)$

et ${\text{Aire}}(ABCD)=\left(1+{\frac {2c}{a-c}}\right){\text{Aire}}(AED)={\frac {a+c}{a-c}}{\text{Aire}}(AED)$ .

La hauteur peut donc être exprimée en fonction des longueurs des côtés par la relation :

h^{2}={\frac {(|a-c|+b+d)(|a-c|+b-d)(|a-c|-b+d)(-|a-c|+b+d)}{4(a-c)^{2}}}

.

Barycentre du trapèze

Construction du centre de masse G du trapèze et de la "centroidal mean" (moyenne barycentrique des bases) MN

Le centre de masse d'un trapèze de bases $a$ et $b$ et de hauteur $h$ est situé sur la médiane joignant les deux bases et à une distance ${\frac {h}{3}}\times {\frac {a+2b}{a+b}}$ de la base de longueur $a$ . C'est le barycentre des milieux $I=I_{a}$ et $J=I_{b}$ pondérés respectivement par $2a+b$ et $2b+a$ .

La droite passant par le centre de masse du trapèze et parallèle aux bases découpe un segment dont la longueur correspond à la centroidal mean (moyenne barycentrique) des deux bases[6] : $MN=CM(a,b)={\frac {2(a^{2}+ab+b^{2})}{3(a+b)}}$ .

L'isobarycentre des quatre sommets du trapèze est, quant à lui, situé au milieu de la médiane. Et le segment découpé sur la parallèle aux bases passant par cet isobarycentre a pour longueur la moyenne arithmétique des deux bases.

Diagonales

En supposant à nouveau que les deux bases $a$ et $c$ sont distinctes[7], les diagonales p et q sont liées aux quatre côtés par les formules[4]^,[8] :

p^{2}=ac+{\frac {ad^{2}-cb^{2}}{a-c}},\quad q^{2}=ac+{\frac {ab^{2}-cd^{2}}{a-c}}

,

équivalentes à

2ac=p^{2}+q^{2}-b^{2}-d^{2},\quad a(p^{2}-q^{2}+b^{2}-d^{2})=c(p^{2}-q^{2}+d^{2}-b^{2})

.

Ces deux formules permettent de retrouver les deux bases du trapèze précédent, s'il n'est ni isocèle, ni réduit à un triangle, connaissant les deux autres côtés et les diagonales[9]. En effet, dans ce cas, les formules sont équivalentes à

a^{2}={\frac {(p^{2}-b^{2})^{2}-(q^{2}-d^{2})^{2}}{2(p^{2}+b^{2}-q^{2}-d^{2})}},\quad c^{2}={\frac {(p^{2}-d^{2})^{2}-(q^{2}-b^{2})^{2}}{2(p^{2}+d^{2}-q^{2}-b^{2})}}

.

Le segment découpé par les côtés sur la parallèle aux bases passant par l'intersection des diagonales a pour longueur la moyenne harmonique des deux bases[10].

Théorème du trapèze

La droite (OP) passe par I et J.

Dans un trapèze, la droite joignant le point d'intersection des côtés non parallèles au point d'intersection des diagonales, passe par les milieux des côtés parallèles.

Plus précisément : soit ABCD un quadrilatère dont les côtés (AD) et (BC) se coupent en P et les diagonales (AC) et (BD) en O, et soient I et J les milieux respectifs de [AB] et [CD]. Alors, le quadrilatère est un trapèze si et seulement si I appartient à (OP) (ou, ce qui est donc équivalent : si J appartient à cette droite). De plus, les quatre points (O, P, I, J) sont alors en division harmonique[11]^,[12].

Démonstration

Si (AB) et (CD) sont parallèles alors, l'homothétie de centre P qui envoie A sur D envoie {B} = (AB)∩(PB) sur (DC)∩(PB) = {C}. Par conséquent, elle transforme le milieu I du segment [AB] en le milieu J de [DC] et donc P, I et J sont alignés. On montre de même que O, I et J sont alignés.
Réciproquement, si I appartient à la droite (OP) alors la symétrie par rapport à cette droite et parallèlement à (AB) envoie (AO)∩(BP) = {C} sur (BO)∩(AP) = {D}, donc (CD) est parallèle à (AB).
Enfin, lorsque toutes ces conditions sont réalisées, le théorème de Thalès permet d'affirmer que ${{\overline {PJ}} \over {\overline {PI}}}={{\overline {DJ}} \over {\overline {AI}}}=-{{\overline {OJ}} \over {\overline {OI}}}.$

Méthode des trapèzes

La méthode de calcul intégral approché dite « des trapèzes », décrite par Isaac Newton et son élève Roger Cotes, consiste à remplacer les arcs de courbe successifs M_iM_i+1 par les segments [M_iM_i+1] : c'est une interpolation linéaire.

La méthode des trapèzes est plus précise que la méthode élémentaire, dite des rectangles, correspondant aux sommes de Riemann, consistant à remplacer la fonction donnée par une fonction en escalier.

Notes et références

Voir l'article Isosceles trapezoid de Wikipédia en anglais.
S.-F. Lacroix, Éléments de géométrie, Mallet-Bachelier, 1855, 17^e éd. (lire en ligne), p. 85.
Eugène Rouché et Charles de Comberousse, Éléments de géométrie, Gauthier-Villars, 1867 (lire en ligne), p. 177.
(en) Eric W. Weisstein, « Trapezoid », sur MathWorld.
« Exercice 485-1 : une formule du grimoire ? », Bulletin de l'APMEP,‎ mars avril 2010 (lire en ligne)
(en) Claudi Alsina et Roger B. Nelsen, A Cornucopia of Quadrilaterals, AMS, 2020, p. 108 et p. 112.
Si le trapèze est un parallélogramme (c = a, d = b), la connaissance des quatre côtés ne suffit pas à déterminer les diagonales. La règle du parallélogramme donne seulement : p² + q² = 2a² + 2b².
Georges Dostor, Propriétés nouvelles des quadrilatères en général, Gauthier-Villars, 1868 (lire en ligne), p. 93 (CCCXIII).
Pour un trapèze isocèle (d = b, q = p), les deux formules deviennent respectivement ac = p² – b² et 0 = 0, et la connaissance de p et b ne suffit pas à déterminer a et c. Pour un triangle (c = 0, p = d, q = b), les deux formules deviennent 0 = 0, et les deux côtés d'un triangle ne déterminent pas le troisième.
« Base « moyenne » d’un trapèze et moyenne harmonique », sur http://mathematiques.ac-dijon.fr (consulté le 25 juillet 2022).
Dany-Jack Mercier, L'épreuve d'exposé au CAPES mathématiques, vol. 1, Publibook, 2004 (lire en ligne), p. 143.
Voir animation GeoGebra.

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[1] Voir l'article Isosceles trapezoid de Wikipédia en anglais.

[2] S.-F. Lacroix, Éléments de géométrie, Mallet-Bachelier, 1855, 17^e éd. (lire en ligne), p. 85.

[3] Eugène Rouché et Charles de Comberousse, Éléments de géométrie, Gauthier-Villars, 1867 (lire en ligne), p. 177.

[MathWorld-4] (en) Eric W. Weisstein, « Trapezoid », sur MathWorld.

[5] « Exercice 485-1 : une formule du grimoire ? », Bulletin de l'APMEP,‎ mars avril 2010 (lire en ligne)

[6] (en) Claudi Alsina et Roger B. Nelsen, A Cornucopia of Quadrilaterals, AMS, 2020, p. 108 et p. 112.

[7] Si le trapèze est un parallélogramme (c = a, d = b), la connaissance des quatre côtés ne suffit pas à déterminer les diagonales. La règle du parallélogramme donne seulement : p² + q² = 2a² + 2b².

[8] Georges Dostor, Propriétés nouvelles des quadrilatères en général, Gauthier-Villars, 1868 (lire en ligne), p. 93 (CCCXIII).

[9] Pour un trapèze isocèle (d = b, q = p), les deux formules deviennent respectivement ac = p² – b² et 0 = 0, et la connaissance de p et b ne suffit pas à déterminer a et c. Pour un triangle (c = 0, p = d, q = b), les deux formules deviennent 0 = 0, et les deux côtés d'un triangle ne déterminent pas le troisième.

[10] « Base « moyenne » d’un trapèze et moyenne harmonique », sur http://mathematiques.ac-dijon.fr (consulté le 25 juillet 2022).

[11] Dany-Jack Mercier, L'épreuve d'exposé au CAPES mathématiques, vol. 1, Publibook, 2004 (lire en ligne), p. 143.

[12] Voir animation GeoGebra.