Valuation

Lorsque le groupe G est ℤ, v est dite valuation de Dedekind ou valuation discrète. Deux valuations discrètes v et v' sur A sont équivalentes si et seulement si elles sont proportionnelles, c'est-à-dire s'il existe un rationnel k non nul tel que

${\displaystyle \forall x\in A^{*},\ v'(x)=kv(x).}$

Les classes d'équivalence des valuations discrètes sur un anneau sont appelées ses places.

La seule valuation discrète correspondant au groupe trivial est appelée la valuation triviale :

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}v:&A&\longrightarrow &\{0,\infty \}\\&x&\longmapsto &{\begin{cases}\infty &\mathrm {si} \ x=0\\0&\mathrm {sinon.} \end{cases}}\end{array}}}$

Soit A un anneau commutatif unitaire non nul muni d'une valuation v. Alors :

• ${\displaystyle v(1)=v(-1)=0}$ ;
• ${\displaystyle \forall x,y\in A,\ v(x-y)\geqslant \min(v(x),v(y))}$ ;
• ${\displaystyle \forall x,y\in A,\ v(x)\neq v(y)\Rightarrow v(x+y)=\min(v(x),v(y))}$ ;
• A est intègre ;
• il existe une unique valuation w sur le corps des fractions Frac(A) qui prolonge v :

${\displaystyle \forall p/q\in \mathrm {Frac} (A),\ w(p/q)=v(p)-v(q)}$.

Les places de ℚ, c'est-à-dire les valuations discrètes sur ℚ à un facteur de proportionnalité près, sont celles de :

• la valuation triviale ;
• les valuations p-adiques (voir infra).

Soit v une valuation sur A à valeurs réelles, et ρ ∈ ]0, 1[. On associe à v une valeur absolue ultramétrique (la notion de valeur absolue est usuellement définie sur un corps, mais parfaitement définissable sur un anneau quelconque, et elle induit toujours une distance sur son ensemble sous-jacent; voir infra) | ∙ |_v en posant

${\displaystyle \forall x\in A^{*},\ |x|_{v}=\rho ^{v(x)}}$.

La distance associée à cette valeur absolue (${\displaystyle d(x,y)=|x-y|_{v}}$) fait de A un anneau topologique dont la topologie se déduit d'une distance ultramétrique.

Si A est un corps alors ${\displaystyle (A,|\cdot |_{v})}$ est un corps valué donc son anneau complété (pour ${\displaystyle d}$) est un corps valué complet. Par prolongement des inégalités, la valeur absolue sur ce complété est encore ultramétrique. Par exemple, les corps ℚ_p et k((T)) peuvent être obtenus par cette construction.

Soient K un corps commutatif, K[X] l'anneau des polynômes à coefficients dans K et a un élément de K. On définit l'application « ordre d'annulation en a »

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}v_{a}:&K[X]&\longrightarrow &\mathbb {Z} \cup \{\infty \}\\&P&\longmapsto &\sup \left\{k\in \mathbb {N} \ |\ \exists R\in K[X],\ P(X)=(X-a)^{k}R(X)\right\}\end{array}}}$

qui à un polynôme P non nul associe l'ordre de multiplicité de la racine a dans P (ordre qui vaut 0 si a n'est pas racine, et l'infini si P est nul).

Si P est non nul, v_a(P) est égal au degré du plus petit monôme non nul de P(a + X).

Note : Si a appartient à une extension L de K (par exemple à la clôture algébrique de K), la valuation v_a sur L[X] se restreint en une valuation sur K[X].

Soient K un corps commutatif, K(X) le corps des fractions rationnelles à coefficients dans K et a un élément de K. On définit l'application

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}v_{a}:&K(X)&\longrightarrow &\mathbb {Z} \cup \{\infty \}\\&P/Q&\longmapsto &v(P)-v(Q)\end{array}}}$

qui à une fraction rationnelle associe la différence des ordres d'annulation du numérateur et du dénominateur en a. Si v(R) est positif, il s'agit de l'ordre d'annulation de R en a, si v(R) est strictement négatif, il s'agit de l'ordre du pôle de R en a.

Soient K un corps commutatif et K[X] l'anneau des polynômes à coefficients dans K. On définit l'application

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}v_{\infty }:&K[X]&\longrightarrow &\mathbb {Z} \cup \{\infty \}\\&P&\longmapsto &-\deg P\end{array}}}$

qui à un polynôme P associe l'opposé de son degré, avec la convention que le degré du polynôme nul est –∞.

Sur le corps k((T)) des séries formelles de Laurent sur un corps commutatif k, on a une valuation en associant à toute série de Laurent son ordre.

Si U est un ouvert connexe non vide du corps des nombres complexes et si a est un point de U, on a une valuation sur le corps des fonctions méromorphes sur U en associant à toute fonction méromorphe son ordre au point a.

Pour p un nombre premier, on définit l'application

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}v_{p}:&\mathbb {Z} &\longrightarrow &\mathbb {N} \cup \{\infty \}\\&n&\longmapsto &{\begin{cases}\infty &{\mbox{ si }}n=0\\\max\{k\in \mathbb {N} \ |\ p^{k}{\mbox{ divise }}n\}&{\mbox{ sinon}}\end{cases}}\end{array}}}$

qui à un entier n associe l'exposant de p dans la décomposition de n en facteurs premiers, avec la convention v_p(0) = ∞. L'application v_p est appelée valuation p-adique sur ℤ et se prolonge sur le corps des fractions ℚ. Cette valuation définit la valeur absolue p-adique, pour laquelle le complété de ℚ est le corps ℚ_p des nombres p-adiques.