El área de la superficie de un cono es la suma del área de la superficie lateral y el de la superficie de la base. Si sabes el radio de la base y la generatriz del cono, puedes encontrar fácilmente el área total de la superficie con una fórmula estándar. Sin embargo, a veces puedes tener el radio y alguna otra medida, como la altura o el volumen del cono. En esos casos, puedes usar el teorema de Pitágoras y la fórmula del volumen para obtener la generatriz y así el área de la superficie del cono.

Método 1
Método 1 de 3:
Si sabes el radio y la generatriz

  1. 1
    Establece la fórmula para el área de la superficie del cono. La fórmula , donde equivale al área de la superficie del cono, equivale a la longitud del radio de la base del cono, y equivale a la generatriz del cono.[1]
    • El área de la superficie de un cono equivale a la suma del área de la superficie lateral () y al área de la base (), ya que la base de un cono es un círculo.
    • La generatriz es la distancia diagonal desde el vértice superior del cono hasta el borde la base.[2]
    • Asegúrate de no confundir la “generatriz” con la “altura”, que es la distancia perpendicular entre el vértice superior hasta la base.[3]
  2. 2
    Agrega el valor del radio en la fórmula. Te deben dar esta longitud o debes ser capaz de medirla. Asegúrate de sustituir ambas variables en la fórmula.
    • Por ejemplo, si el radio de la base de un cono es 5 cm, la fórmula lucirá de la siguiente manera: .
  3. 3
    Agrega el valor de la generatriz a la fórmula. Te deben dar esta longitud o debes ser capaz de medirla.
    • Por ejemplo, si la generatriz de un cono es 10 cm, la fórmula lucirá de la siguiente manera: .
  4. 4
    Calcular el área de la superficie lateral del cono (). Para hacerlo, multiplica el radio, la generatriz y . Si no usas una calculadora, utiliza 3,14 como el valor de .
    • Por ejemplo:


  5. 5
    Calcular el área de la base del cono (). Para hacerlo, eleva al cuadrado el radio de la base, después multiplica por . Si no usas una calculadora, usa 3,14 como el valor de .
    • Por ejemplo:


      .
  6. 6
    Agrega el área de la superficie lateral y el área de la base del cono. Esto te dará el área total de la superficie del cono en unidades cuadradas.
    • Por ejemplo:

      De esta forma, el área de la superficie de un cono con un radio de 5 cm y una generatriz de 10 cm es 235,5 centímetros cuadrados.

Método 2
Método 2 de 3:
Si sabes el radio y la altura perpendicular

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    Establece la fórmula para el teorema de Pitágoras. La fórmula es , donde y equivalen a las alturas de los lados de un triángulo rectángulo, y equivale a la altura de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto).[4]
    • Asegúrate de no confundir la altura del cono con la generatriz, que es la distancia diagonal desde el vértice superior del cono hasta el borde de la base.[5]
    • La altura es la distancia perpendicular entre el vértice superior hasta la base.[6]
  2. 2
    Agrega la longitud del radio y la altura a la fórmula. Usarás el radio y la altura del cono como los dos lados de un triángulo rectángulo. Reemplaza la variable por el radio y la variable por la altura.
    • Por ejemplo, si la radio de un cono es 5 cm y la altura es 12 cm, tu fórmula lucirá de la siguiente manera: .
  3. 3
    Eleva al cuadrado las longitudes del radio y de la altura, después suma. Recuerda que elevar al cuadrado un número significa multiplicarlo por sí mismo.
    • Por ejemplo:


  4. 4
    Toma la raíz cuadrada de cada lado de la ecuación. Esto te dará la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo, lo que equivale a la generatriz del cono.[7]
    • Por ejemplo:



      De esta manera, la generatriz del cono es 13 cm.
  5. 5
    Establece la fórmula para el área de la superficie del cono. La fórmula es , donde equivale al área de la superficie del cono, equivale a la longitud del radio de la base del cono, y equivale a la generatriz del cono.[8]
    • El área total de la superficie de un cono es igual a la suma del área de la superficie lateral () y del área de la base (, ya que la base de un cono es un círculo).
  6. 6
    Agrega todos los valores conocidos a la fórmula. Te deben dar el radio y ya haber calculado la generatriz. Asegúrate de usar la generatriz en la fórmula del área de la superficie, no la altura (perpendicular). Si no usas una calculadora, usa 3,14 para .
    • Por ejemplo, para un cono con un radio de 5 cm y una generatriz de 13 cm, la fórmula lucirá de la siguiente manera: .
  7. 7
    Multiplica para encontrar el área lateral y el área de la base. Después, suma todos estos productos. La suma te dará el área total de la superficie del cono en unidades cuadradas.
    • Por ejemplo:




      De esta manera, el área de la superficie de un cono con un radio de 5 cm y una altura de 12 cm es 282,6 centímetros cuadrados.

Método 3
Método 3 de 3:
Si sabes el radio y el volumen

  1. 1
    Establece la fórmula para el volumen de un cono. La fórmula es , donde equivale al volumen del cono, equivale al radio de la base del cono, y equivale a la altura perpendicular del cono.[9]
    • Asegúrate de no confundir la altura del cono con la generatriz, que es la distancia diagonal desde el vértice superior del cono hasta el borde de la base.[10]
    • La altura es la distancia perpendicular entre el vértice superior hasta la base.[11]
  2. 2
    Agrega los valores conocidos a la fórmula. Debes saber el volumen y la longitud del radio. Si no los sabes, no puedes usar este método. Si no usas una calculadora, utiliza 3,14 para .
    • Por ejemplo, si sabes que un cono tiene un volumen de 950 centímetros cúbicos y un radio de 6 cm, la fórmula lucirá de la siguiente manera: .
  3. 3
    Completa la multiplicación. Primero, eleva al cuadrado el radio, después multiplica ese valor por . Después, multiplica ese producto por . Esto te dará el coeficiente para la variable .
    • Por ejemplo:



  4. 4
    Divide cada lado entre el coeficiente . Esto te dará la valor de , que es la altura perpendicular del cono. Necesitarás esta información para encontrar la generatriz del cono, que se necesita saber al momento de resolver el área de la superficie.
    • Por ejemplo:



      De esta manera, la altura del cono es 25,21 cm.
  5. 5
    Establece la fórmula para el teorema de Pitágoras. La fórmula es , donde y equivalen a las longitudes de los lados de un triángulo recto, y equivale a la longitud de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto).[12]
  6. 6
    Agrega la longitud del radio y la altura a la fórmula. Usarás el radio y la altura del cono como los dos lados de un triángulo recto. Reemplaza la variable por el radio y la variable por la altura.
    • Por ejemplo: si el radio de un cono es 6 cm y la altura es 25,21 cm, la fórmula lucirá de la siguiente manera: .
  7. 7
    Calcula . Esto te dará la longitud de la hipotenusa del triángulo recto, que también es la generatriz del cono.
    • Por ejemplo:





      De esta manera, la generatriz del cono es 25,91 cm.
  8. 8
    Establece la fórmula para el área de la superficie del cono. La fórmula es , donde equivale al área de la superfície del cono, equivale a la altura del radio de la base del cono, y equivale a la generatriz del cono.[13]
    • El área total de la superficie de un cono es igual a la suma del área de la superficie lateral () y el área de la base (, ya que la base de un cono es un círculo).
  9. 9
    Agrega todos los valores conocidos a la fórmula. Asegúrate de usar la generatriz en la fórmula del área de la superficie, no la altura (perpendicular). Si no usas una calculadora, utiliza 3,14 para .
    • Por ejemplo, para un cono con un radio de 6 cm y una generatriz de 25,91 cm, la fórmula lucirá de la siguiente manera: .
  10. 10
    Multiplica para encontrar el área lateral y el área de la base. Después, suma todos estos productos. La suma te dará el área total de la superficie del cono en unidades cuadradas.
    • Por ejemplo:




      De esta manera, el área de la superficie de un cono con un radio de 6 cm y un volume de 950 centímetros cúbicos es 601,18 centímetros cuadrados.

Consejos

  • El teorema de Pitágoras utiliza al radio, la altura perpendicular y a la generatriz, donde la generatriz actúa como la hipotenusa: 2(radio) + 2(altura perpendicular) = 2(generatriz).

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Categorías: Geometría