Comment calculer le périmètre d'un trapèze

Décomposez votre trapèze en trois figures plus simples. Soit ABCD un trapèze dont vous connaissez la hauteur, les dimensions de la petite base [AB] ainsi que des côtés non parallèles [AD] et [BC]. La longueur de la grande base [DC] est donc l'inconnue que vous devez trouver. Pour cela, il faut décomposer le polygone. Le trapèze est un quadrilatère particulier, car ses bases sont parallèles. Il est ainsi possible de le diviser en trois figures simples, à savoir un rectangle encadré par deux triangles rectangles. Pour les figurer, tracez les deux hauteurs issues des sommets A et B ^[3] .

• Pour calculer le périmètre d'un trapèze rectangle, divisez‑le en deux figures simples. En effet, il dispose d'au minimum un angle droit et peut être décomposé en un rectangle et un triangle rectangle ^[4] .

Nommez les sommets de votre figure. Outre les points A, B, C et D du trapèze initial, ajoutez les points H₁ et H₂. Ils représentent les intersections entre les hauteurs et la grande base. Vous obtenez ainsi les triangles BCH₂ et ADH₁.

• Les bases du trapèze étant parallèles, les deux hauteurs ont la même longueur. Celle‑ci est également la largeur du rectangle. Supposons que la hauteur du trapèze mesure 6 cm. Vous avez donc AH₁ = BH₂ = 6.

Notez les dimensions du rectangle ABH₂H₁. Le découpage du trapèze permet de les déduire aisément. La longueur du rectangle est égale à celle de la petite base du trapèze et sa largeur équivaut à la hauteur.

• Supposons que la petite base mesure 6 cm. La longueur du rectangle est également de 6 cm, ce qui donne AB = H₂H₁ = 6. Dans ce cas particulier, notez que le polygone ABH₂H₁ est un carré. Ceci dit, cette observation n'impacte pas le calcul.

Utilisez le théorème de Pythagore pour calculer les dimensions des triangles BCH₂ et ADH₁. Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit, lequel est défini par une hauteur et la base associée ^[5] . Le théorème de Pythagore énonce que, dans le cas d'un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés ^[6] . Notez que, par abus de langage, la longueur du côté est assimilée audit côté.

Appliquez le théorème de Pythagore au triangle BCH₂. Soit [BC] son hypoténuse [BH₂] sa hauteur et [CH₂] sa base. Selon le théorème de Pythagore, le rapport des longueurs donne BC² = BH₂² + CH₂².

• Notez que l'hypoténuse du triangle BCH₂ est également le côté [BC] du trapèze. Vous disposez donc des longueurs de l'hypoténuse et d'un des côtés du triangle.

Isolez la dimension inconnue du triangle. Pour cela, affinez la formule du théorème de Pythagore. Vous avez donc CH₂² = BC² - BH₂². Donc CH₂ = √(BC² - BH₂²).

• Supposons BH₂ = 6 et BC = 9. En insérant ces données dans la formule précédente, vous obtenez CH₂² = (9² - 6²) = 45.

Calculez la longueur de la base du triangle BCH₂. Reprenez la formule établie à l'étape précédente. En intégrant les données numériques, vous obtenez CH₂² = 45 soit CH₂ = √45. Il faut ensuite simplifier ce résultat.

• Hormis les carrés parfaits, la racine carrée d'un nombre est rarement un entier. Par exemple, la racine carrée de 45 vaut 6,71. Le résultat simplifié donne donc √45 = √(9 x 5) = √9 x √5 = 3√5.

Calculez la longueur de la base du triangle ADH₁. Soit [AH₁] sa hauteur [AD] son hypoténuse et [DH₁] sa base. Pour calculer la longueur de la base, appliquez à nouveau la formule du théorème de Pythagore. Pour le triangle ADH₁, vous avez AD² = AH₁² + DH₁². En isolant la base, vous obtenez DH₁² = AD² - AH₁², ce qui donne DH₁ = √(AD² - AH₁²). Notez que, si vous cherchez le périmètre d'un trapèze isocèle, les côtés latéraux ont la même longueur. En décomposant cette figure, vous obtenez deux triangles identiques, ce qui facilite les calculs.

• Supposons AH₁ = 6 et AD = 7. Cela donne DH₁ = √(7² - 6²) = √13.

Calculez le périmètre de votre trapèze. Calculez la longueur de la grande base. Compte tenu des résultats précédents, vous avez DC = DH₁ + H₁H₂ + H₂C. La formule du périmètre P est donc P = DH₁ + H₁H₂ + H₂C + AB + BC + AD. Il est préférable de garder vos valeurs, notamment les racines carrées, sous forme d'entier.

• En remplaçant par les valeurs numériques, vous obtenez DC = √13 + 6 + 3√5 et P = √13 + 6 + 3√5 + 6 + 9 + 7 = 28 + 3√5 + √13. Le périmètre du trapèze est donc de 38,3 cm (arrondi au dixième près).

Divisez le trapèze en trois figures simples. Soit un trapèze ABCD dont vous connaissez la hauteur, la dimension de la petite base [AB] et la valeur des angles définis par la grande base. Comme dans la méthode précédente, la décomposition du trapèze facilite le calcul. Tracez les hauteurs issues des sommets A et B de votre trapèze.

• Notez H₁ et H₂ les points d'intersection entre les hauteurs et la grande base. Votre trapèze est ainsi divisé en un rectangle ABH₂H₁ et deux triangles rectangles, notés BCH₂ et ADH₁.

Déduisez la largeur du rectangle. Dans la mesure où les bases du trapèze sont parallèles, les deux hauteurs ont la même longueur. Elle est également la largeur du rectangle.

• Supposons que la hauteur mesure 6 cm. Vous avez donc AH₁ = BH₂ = 6.

Déduisez la longueur du rectangle ABH₂H₁. Elle est égale à celle de la petite base [AB].

• Supposons que la petite base mesure 6 cm. Vous avez donc AB = H₁H₂ = 6. Dans ce cas particulier, la largeur et la longueur du rectangle sont identiques, ce qui en fait un carré.

Calculez les dimensions des côtés non parallèles du trapèze. Compte tenu de vos données, vous pouvez les trouver grâce à la trigonométrie. En effet, les côtés non parallèles du trapèze se confondent avec l'hypoténuse des triangles rectangles qui le composent. Or, dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle est égal au rapport entre les longueurs du côté opposé à l'angle et de l'hypoténuse ^[7] .

• Vous disposez de la valeur des angles en C et en D ainsi que de la hauteur du trapèze. Or, dans les triangles BCH₂ et ADH₁, les segments [BH₂] et [AH₁] sont respectivement les côtés opposés à ces angles. Vous pouvez donc calculer la longueur de leur hypoténuse grâce à la formule du sinus.
• La trigonométrie est un outil intéressant dans les calculs géométriques. Outre le sinus, vous pouvez également utiliser le cosinus ^[8] ou la tangente ^[9] d'un angle pour trouver une dimension dans un triangle rectangle.

Calculez la longueur de l'hypoténuse du triangle BCH₂. Soit [BC] l'hypoténuse du triangle α₂ l'angle en C et [BH₂] le côté opposé à cet angle. En reprenant la relation trigonométrique, vous avez sin α₂ = BH₂ / BC.

• Supposons que l'angle en C mesure 35°. Cela donne sin 35 = BH₂ / BC.

Calculez le sinus de l'angle en C. Il n'existe que quelques valeurs remarquables en trigonométrie. Pour les autres, vous devez utiliser une calculatrice scientifique.

• Dans notre exemple, le sinus de l'angle en C vaut 0,57. Vous pouvez conserver la valeur entière comportant le sinus ou l'arrondir. La précision de l'arrondi dépend de celle requise par votre travail.

Calculez la valeur numérique de l'hypoténuse du triangle BCH₂. En reprenant la formule trigonométrique précédente, vous obtenez BC = BH₂ / sin α₂.

• Avec les données numériques, vous obtenez BC = 6 / sin 35 = 10,46. Le côté [BC] du trapèze mesure donc 10,5 cm (arrondi au dixième près).

Procédez de même pour le triangle ADH₁. Le sinus de l'angle en D, noté α₁, correspond au rapport entre les longueurs du côté opposé [AH₁] et de l'hypoténuse [AD]. En reprenant la formule trigonométrique, vous obtenez donc sin α₁ = AH₁ / AD soit AD = AH₁ / sin α₁.

• Supposons que l'angle en D mesure 45°. Vous avez donc AD = 6 / sin 45 = 8,49. Le côté [AD] du trapèze mesure 8,5 cm (arrondi au dixième près).

Calculez la longueur de la base des triangles. Cela vous permettra de déterminer la longueur de la grande base du trapèze. Grâce à vos précédents calculs, vous pouvez utiliser le théorème de Pythagore. Dans un triangle rectangle, le rapport des longueurs est particulier. Selon le théorème de Pythagore, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Notez que, par abus de langage, la longueur d'un côté est désignée par ledit côté.

Calculez la longueur de la base du triangle BCH₂. Il s'agit du segment [CH₂]. En reprenant la formule du théorème de Pythagore et les notations précédentes, BC² = BH₂² + CH₂². En isolant la longueur de la base, vous obtenez CH₂ = √(BC² - BH₂²).

• Avec les données numériques, vous avez CH₂ = √(10,5² - 6²) = 8,56. Le segment [CH₂] mesure 8,6 cm (arrondi au dixième près).

Procédez de même pour le triangle ADH₁. En appliquant la formule du théorème de Pythagore, vous avez AD² = AH₁² + DH₁². En isolant la longueur de la base, vous obtenez DH₁ = √(AD² - AH₁²).

• En incluant les données numériques, la longueur de la base du triangle vaut 6 cm. Le calcul est DH₁ = √(8,5² - 6²) = 6,02. Le segment [DH₁] mesure donc 6 cm (arrondi au dixième près).

Calculez la longueur de la grande base. Elle est la somme de la longueur du rectangle et des bases des triangles que vous avez calculées. En reprenant les notations précédentes, vous avez DC = DH₁ + H₁H₂ + CH₂.

• En intégrant les données numériques, vous obtenez DC = 6 + 6 + 8,6 = 20,6. La grande base de trapèze mesure 20,6 cm.