Ecuación diferencial

La trayectoria de un proyectil lanzado desde un cañón sigue una curva definida por una ecuación diferencial ordinaria que se obtiene a partir de la segunda ley de Newton.

Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) es una ecuación que contiene una función de una variable independiente y sus derivadas. El adjetivo «ordinaria» se usa en contraste con la ecuación en derivadas parciales, la cual puede ser respecto a «más de» una variable independiente.

Las ecuaciones diferenciales lineales, las cuales tienen soluciones que pueden sumarse y ser multiplicadas por coeficientes, están bien definidas y comprendidas, y tienen soluciones exactas que pueden hallarse. En contraste, las EDO cuyas soluciones no pueden sumarse son no lineales, y su solución es más intrincada, y muy pocas veces pueden hallarse en forma exacta de funciones elementales: las soluciones suelen obtenerse en forma de series o forma integral. Los métodos numéricos y gráficos para EDO pueden realizarse manualmente o mediante computadoras u ordenadores, se pueden aproximar las soluciones de las EDO y su resultado puede ser muy útil, muchas veces suficientes como para prescindir de la solución exacta y analítica.

Variación del perfil de temperaturas solución de la ecuación del calor en un problema bidimensional.

Una ecuación en derivadas parciales (EDP) es una ecuación diferencial que contiene una función multivariable y sus derivadas parciales. Estas ecuaciones se utilizan para formular problemas que involucran funciones de varias variables, y pueden resolverse manualmente, para crear una simulación por computadora.

Las EDP se pueden usar para describir una amplia variedad de fenómenos tal como el sonido, el calor, la electroestática, la electrodinámica, la fluidodinámica, la elasticidad, o la mecánica cuántica. Estos distintos fenómenos físicos se pueden formalizar en términos de EDP. Con ecuaciones diferenciales ordinarias es muy común realizar modelos unidimensionales de sistemas dinámicos, y las ecuaciones diferenciales parciales se pueden utilizar para modelos de sistemas multidimensionales. Las EDP tienen una generalización en las ecuaciones en derivadas parciales estocásticas.

Una ecuación diferencial es lineal cuando sus soluciones pueden obtenerse a partir de combinaciones lineales de otras soluciones. Si es lineal, la ecuación diferencial tiene sus derivadas con máxima potencia de 1 y no existen términos en donde haya productos entre la función desconocida y/o sus derivadas. La propiedad característica de las ecuaciones lineales es que sus soluciones tienen la forma de un subespacio afín de un espacio de soluciones apropiados, cuyo resultado se desarrolla en la teoría de ecuaciones diferenciales lineales.

Las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas son una subclase de las ecuaciones diferenciales lineales para la cual el espacio de soluciones es un subespacio lineal, es decir, la suma de cualquier conjunto de soluciones o múltiplos de soluciones, es también una solución. Los coeficientes de la función desconocida, y sus derivadas en una ecuación diferencial lineal pueden ser funciones de la variable o variables independientes, si estos coeficientes son constantes, entonces se habla de ecuaciones diferenciales lineales a coeficientes constantes.

Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma:

${\displaystyle \,a_{n}(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\dots +a_{1}(x)y'+a_{0}(x)y=g(x)}$

Es decir:

1. Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.
2. En cada coeficiente que aparece multiplicándolas solo interviene la variable independiente.
3. Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.

Ejemplos:

• ${\displaystyle \,y'-y=0}$ es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones ${\displaystyle y=f(x)=k\cdot e^{x}}$, con k un número real cualquiera.
• ${\displaystyle \,y''+y=0}$ es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones ${\displaystyle y=f(x)=a\cos(x)+b\operatorname {sen}(x)\,}$, con a y b reales.
• ${\displaystyle \,y''-y=0}$ es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones ${\displaystyle \,a\cdot e^{x}+b\cdot 1/(e^{x})}$, con a y b reales.

Existen muy pocos métodos para resolver ecuaciones diferenciales no lineales en forma exacta; aquellas que se conocen es muy común que dependan de la ecuación teniendo simetrías particulares. Las ecuaciones diferenciales no lineales pueden exhibir un comportamiento muy complicado en intervalos grandes de tiempo, característica del caos. Cada una de las cuestiones fundamentales de la existencia, unicidad, y extendibilidad de las soluciones para ecuaciones diferenciales no lineales, y el problema bien definido de los problemas de condiciones iniciales y de contorno para EDP no lineales son problemas difíciles y su resolución en casos especiales se considera que es un avance significativo en la teoría matemática (por ejemplo la existencia y suavidad de Navier-Stokes). Sin embargo, si la ecuación diferencial es una representación de un proceso físico significativo formulado correctamente, entonces se espera tener una solución. [11]

Las ecuaciones diferenciales no lineales suelen aparecer por medio de aproximaciones a ecuaciones lineales. Estas aproximaciones son válidas únicamente bajo condiciones restringidas. Por ejemplo, la ecuación del oscilador armónico es una aproximación de la ecuación no lineal de un péndulo que es válida para pequeñas amplitudes de oscilación (ver más adelante).

No existe un procedimiento general para resolver ecuaciones diferenciales no lineales. Sin embargo, algunos casos particulares de no linealidad sí pueden ser resueltos. Son de interés el caso semilineal y el caso cuasilineal.

Una ecuación diferencial ordinaria de orden n se llama cuasilineal si es «lineal» en la derivada de orden n. Más específicamente, si la ecuación diferencial ordinaria para la función ${\displaystyle \scriptstyle y(x)}$ puede escribirse en la forma:

${\displaystyle f(y^{(n)},y^{(n-1)},\dots ,y'',y',y,x)=0,\qquad \qquad f_{1}(z):=f(z,\alpha _{n-1},\dots ,\alpha _{2},\alpha _{1},\alpha _{0},\beta _{0})}$

Se dice que dicha ecuación es cuasilineal si ${\displaystyle \scriptstyle f_{1}(\cdot )}$ es una función afín, es decir, ${\displaystyle \scriptstyle f_{1}(z)=az+b}$.

Una ecuación diferencial ordinaria de orden n se llama semilineal si puede escribirse como suma de una función «lineal» de la derivada de orden n más una función cualquiera del resto de derivadas. Formalmente, si la ecuación diferencial ordinaria para la función ${\displaystyle \scriptstyle y(x)}$ puede escribirse en la forma:

${\displaystyle f(y^{(n)},y^{(n-1)},\dots ,y'',y',y,x)={\hat {f}}(y^{(n)},x)+g(y^{(n-1)},\dots ,y',y,x)\qquad \qquad f_{2}(z):={\hat {f}}(z,\beta _{0})}$

Se dice que dicha ecuación es semilineal si ${\displaystyle \scriptstyle f_{2}(\cdot )}$ es una función lineal.

Las ecuaciones diferenciales se describen por su orden, determinado por el término con derivadas de mayor orden. Una ecuación que contiene solo derivadas simples es una ecuación diferencial de primer orden, una ecuación que contiene hasta derivadas segundas es una ecuación diferencial de segundo orden, y así sucesivamente.[12][13]

Ejemplos de orden en ecuaciones:

• Ecuación diferencial de primer orden: ${\displaystyle y'+y(x)=f(x)}$
• Ecuación diferencial de segundo orden: ${\displaystyle y''+4y=0}$
• Ecuación diferencial de tercer orden: ${\displaystyle xy'''-2xy''+4y'=0}$
• Ecuación de segundo orden de coeficiente variable:

${\displaystyle y''+2xy'+4y=0}$

Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación esté en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.

A lo largo de esta sección, se encontrarán ecuaciones diferenciales escritas como: ${\displaystyle P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0}$ y ${\displaystyle y'=-{P(x,y) \over Q(x,y)}}$ sin aplicar ninguna distinción entre la primera y segunda ecuación.

Se supondrá que P y Q son funciones definidas en un rectángulo abierto ${\displaystyle R}$ en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ no nulas a la vez.

La importancia de la exactitud reside en que ${\displaystyle F(x,y)=c}$ es una familia de curvas integrales deduciéndose derivando implícitamente respecto a x: ${\displaystyle F_{x}+F_{y}y'=0}$, por tanto, ${\displaystyle F(x,y)=c}$ satisface ${\displaystyle y'=-{P(x,y) \over Q(x,y)}}$.

Un criterio que puede emplearse para saber con exactitud cuando una ecuación es diferencial exacta es partiendo que P y Q son funciones continuas y tienen derivadas parciales primeras continuas en R. Si la ecuación ${\displaystyle P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0}$ es diferencial exacta, entonces, se demuestra que ${\displaystyle P_{y}=Q_{x}}$ en R.

Suponiendo que ${\displaystyle P_{y}=Q_{x}}$ en R y buscamos F tal que ${\displaystyle F_{x}=}$ P y ${\displaystyle F_{y}=Q}$. Integrando la ecuación ${\displaystyle F_{x}=}$ P respecto a x: ${\displaystyle F(x,y)=\int P(x,y)dx+C(y)}$ donde C(y) es la constante de integración dependiente de y.

Imponiendo la condición ${\displaystyle F_{y}=Q}$ se obtiene: ${\displaystyle C'(y)=Q(x,y)-{\partial \over \partial y}\int P(x,y)dx}$ donde, aplicando ${\displaystyle P_{y}=Q_{x}}$, la parte derecha de la igualdad es una función de la variable y independiente de x.

Finalmente:

${\displaystyle F(x,y)=\int P(x,y)dx+\int (Q(x,y)-{\partial \over \partial y}\int P(x,y)dx)dy}$

De esta manera se ha obtenido un método tras calcular las curvas integrales de una ecuación diferencial exacta ${\displaystyle F(x,y)=c}$ demostrando el teorema enunciado anteriormente.

En el primer grupo de ejemplos, sea u una función desconocida que depende de x, y c y ω son constantes conocidas. Observar que tanto las ecuaciones diferenciales ordinarias como parciales pueden clasificarse como lineales y no lineales.

• Ecuación diferencial ordinaria lineal a coeficientes constantes de primer orden:

${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=cu+x^{2}.}$

• Ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea de segundo orden:

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}-x{\frac {du}{dx}}+u=0.}$

La masa colgada del resorte forma un oscilador armónico, una ecuación diferencial permite expresar las relaciones que debe obedecer el movimiento de la masa.

Una solución esta dada por ${\displaystyle y=f(x)=AX}$

• Ecuación diferencial ordinaria lineal a coeficientes constantes homogénea de segundo orden que describe un oscilador armónico:

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+\omega ^{2}u=0.}$

• Ecuación diferencial ordinaria no lineal inhomogénea de primer orden:

${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=u^{2}+4.}$

• Ecuación diferencial ordinaria no lineal (debido a la función seno) de segundo orden, que describe el movimiento de un péndulo de longitud L:

${\displaystyle L{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+g\operatorname {sen} u=0.}$

En el siguiente grupo de ejemplos, la función desconocida u depende de dos variables x y t o x e y.

• Ecuación en derivadas parciales lineal homogénea de primer orden, entonces:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+t{\frac {\partial u}{\partial x}}=0.}$

Ecuación de Laplace sobre una corona (r=2 y R=4) con condiciones de contorno de Dirichlet: u(r=2)=0 y u(r=4)=4sen(5*θ).

• Ecuación en derivadas parciales lineal homogénea a coeficientes constantes de segundo orden del tipo elíptico, la ecuación de Laplace:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0.}$

• Ecuación en derivadas parciales no lineal de tercer orden, la ecuación de Korteweg-de Vries:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=6u{\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}.}$

Sea la ecuación diferencial de primer orden ${\displaystyle P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0}$ ${\displaystyle \forall (x,y)\in B}$ donde P y Q son dos funciones continuas en el abierto ${\displaystyle B\subset \mathbb {R} ^{2}}$.

Se dice que la ecuación ${\displaystyle P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0}$ es una ecuación diferencial exacta si existe una función potencial ${\displaystyle F(x,y)}$ definida en B tal que:

${\displaystyle {\partial F \over \partial x}(x,y)=P(x,y)}$ ${\displaystyle ,}$${\displaystyle {\partial F \over \partial y}(x,y)=Q(x,y)}$${\displaystyle ,}$${\displaystyle \forall (x,y)\in B}$

Sea además ${\displaystyle P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0}$ una ecuación diferencial exacta ${\displaystyle \forall (x,y)\in B\subset \mathbb {R} ^{2}}$ abierto y ${\displaystyle F(x,y)}$ una función potencial de ésta, entonces, toda solución ${\displaystyle y=\phi (x)}$ de la ecuación cuyo grafo esté en B satisface la ecuación

1° Paso: La resolución de ecuaciones diferenciales no es como aquellas resoluciones de las ecuaciones algebraicas. Puesto que a pesar de que en ocasiones sus soluciones son poco claras, también puede ser de interés si estas son únicas o existen.

Para problemas de primer orden con valores iniciales, el teorema de existencia de Peano nos da un conjunto de condiciones en el cual la solución existe. Para cualquier punto dado ${\displaystyle (a,b)}$ en el plano xy, y definida una región rectangular ${\displaystyle Z}$, tal que ${\displaystyle Z=[l,m]\times [n,p]}$ y ${\displaystyle (a,b)}$ está en el interior de ${\displaystyle Z}$. Si tenemos una ecuación diferencial ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=g(x,y)}$ y la condición que ${\displaystyle y=b}$ cuando ${\displaystyle x=a}$, entonces hay una solución local a este problema si ${\displaystyle g(x,y)}$ y ${\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial x}}}$ son ambas continuas en ${\displaystyle Z}$. La solución existe en algún intervalo con su centro en ${\displaystyle a}$. La solución puede no ser única. (Ver Ecuación diferencial ordinaria para otros resultados.)

Sin embargo, esto solo nos ayuda con problemas de primer orden con condiciones iniciales. Supongamos que tenemos un problema lineal con condiciones iniciales de orden enésimo:

${\displaystyle f_{n}(x){\frac {\mathrm {d} ^{n}y}{\mathrm {d} x^{n}}}+\cdots +f_{1}(x){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+f_{0}(x)y=g(x)}$

tal que

${\displaystyle y(x_{0})=y_{0},y'(x_{0})=y'_{0},y''(x_{0})=y''_{0},\cdots }$

Para cualquier ${\displaystyle f_{n}(x)}$ no nulo, si ${\displaystyle \{f_{0},f_{1},\cdots \}}$ y ${\displaystyle g}$ son continuos sobre algún intervalo conteniendo ${\displaystyle x_{0}}$, ${\displaystyle y}$ es único y existe.[14]

Una solución de una ecuación diferencial es una función que al reemplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es decir, la convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones:

La solución general es una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. Es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de ${\displaystyle y(x)}$ ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa

Si fijando cualquier punto ${\displaystyle P(X_{0},Y_{0})}$ por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, este recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto ${\displaystyle P(X_{0},Y_{0})}$, que recibe el nombre de condición inicial.

Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico.

La solución singular es una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene particularizando la solución general. Es solución de la ecuación no consistente en una particular de la general, en otras palabras, esta solución no pertenece a la solución general pero aun así verifica la ecuación diferencial.

Sea la ecuación diferencial ordinaria de orden n ${\displaystyle f(y^{(n)},y^{(n-1)},\dots ,y'',y',y,x)=0}$, es fácil verificar que la función y= f(x) es su solución. Basta calcular sus derivadas de f(x), luego reemplazarlas en la ecuación , junto con f(x) y probar que se obtiene una identidad en x.

Las soluciones de E.D.O. se presentan en forma de funciones implícitamente definidas, y a veces imposibles de expresar de manera explícita. Por ejemplo[15]

${\displaystyle xy=\ln y+c}$, que es solución de: ${\displaystyle {\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}={\frac {y^{2}}{1-xy}}}$

La forma más simple de todas las ecuaciones diferenciales es ${\displaystyle {\text{d}}y/{\text{d}}x=f(x)}$ cuya solución es ${\displaystyle y=\int {f(x)\ {\text{d}}x}+c}$ En algunos casos es posible resolverla por métodos elementales del cálculo. Sin embargo, en otros casos, la solución analítica requiere técnicas de variable compleja o más sofisticadas como sucede con las integrales:

${\displaystyle y=\int {\exp(x^{2})\ {\text{d}}x}}$    y en la integral    ${\displaystyle y=\int {{\frac {\operatorname {sen} x}{x}}\ {\text{d}}x}}$

no puede estructurase mediante un número finito de funciones elementales.[15]

Un ejemplo de solución para las ecuaciones en un atractor de Lorenz para el caso ρ = 28, σ = 10, y β = 8/3.

• Ecuaciones de Euler-Lagrange en mecánica clásica
• Ecuaciones de Hamilton en mecánica clásica
• Radiactividad en física nuclear
• Ley de enfriamiento de Newton en termodinámica
• Ecuación de onda
• Ecuación de calor en termodinámica
• Ecuación de Laplace, que define las funciones armónicas
• Ecuación de Poisson
• Ecuación geodésica
• Ecuaciones de Navier-Stokes en fluidodinámica
• Ecuación de difusión en procesos estocásticos
• Ecuación de convección-difusión en fluidodinámica
• Ecuaciones de Cauchy-Riemann en análisis complejo
• Ecuación de Poisson-Boltzmann en dinámica molecular
• Ecuaciones de Saint-Venant
• Ecuación diferencial universal
• Ecuaciones de Lorenz cuyas soluciones exhiben un flujo caótico.

Siempre que se conozca la fuerza actuante sobre una partícula, la Segunda ley de Newton es suficiente para describir el movimiento de una partícula. Una vez que están disponibles las relaciones independientes para cada fuerza que actúa sobre una partícula, se pueden sustituir en la segunda ley de Newton para obtener una ecuación diferencial ordinaria, la cual se denomina ecuación de movimiento.

Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales que, junto con la ley de la fuerza de Lorentz , forman los fundamentos de la electrodinámica clásica, óptica clásica, y la teoría de los circuitos eléctricos. Estos campos se volvieron fundamentales en las tecnologías eléctricas, electrónicas y de comunicaciones. Las ecuaciones de Maxwell describen cómo los campos eléctrico y magnético se generan alterando uno y otro por cargas y corrientes eléctricas. Estas ecuaciones deben su nombre al físicomatemático escocés James Clerk Maxwell, quien publicó sus trabajos sobre estas ecuaciones entre 1861 y 1862.

Representación de la curvatura dada por la ecuación de campo de Einstein sobre el plano de la eclíptica de una estrella esférica: Dicha ecuación relaciona la presencia de materia con la curvatura adquirida por el espacio-tiempo.

Las ecuaciones de campo de Einstein (conocidas también como "ecuaciones de Einstein") son un conjunto de diez ecuaciones en derivadas parciales de la teoría de la relatividad general donde se describe la interacción fundamental de la gravitación como un resultado de que el espacio-tiempo es curvado por la materia y la energía.[16] Publicado por primera vez por Einstein en 1915[17] como una ecuación tensorial, las ecuaciones equiparan una curvatura espacio-tiempo local (expresada por el tensor de Einstein) con la energía y momentum local dentro del espacio-tiempo (expresado por el tensor de energía-impulso).[18]

En la mecánica cuántica, el análogo a la ley de Newton es la Ecuación de Schrödinger (una ecuación en derivadas parciales) para un sistema cuantificado (usualmente átomos, moléculas, y partículas subatómicas que pueden estar libres, ligadas, o localizadas). No es una ecuación algebraica simple, pero es, en general, una ecuación en derivadas parciales y lineal, que describe la evolución en el tiempo de una función de onda (también llamada una "función de estado").[19]

• Ecuación de Verhulst – para el crecimiento de población biológica.
• Modelo de von Bertalanffy – para el crecimiento individual biológico.
• Dinámica de replicación – en teoría biológica.
• Modelo de Hodgkin y Huxley – potenciales de acción neuronal.

Las ecuaciones Lotka–Volterra, también conocidas como las ecuaciones predador-presa, son un par de ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden frecuentemente utilizadas para describir la dinámica de sistemas biológicos en los cuales interactúan dos especies, una el predador, y la otra, la presa.

Entorno al siglo XVIII se quería conocer el modo en que la población variaba para predecir posibles cambios. Es por ello que el economista T. Malthus propone lo siguiente:

Se impone que ${\displaystyle {\text{nacimientos}}=\alpha \Delta tN(t)}$ y ${\displaystyle {\text{muertes}}=\beta \Delta tN(t)}$ con ${\displaystyle N(t)=}$ tamaño de la población en el tiempo t.

La variación de la población en un intervalo de tiempo ${\displaystyle {\ce {\Delta t}}}$ es ${\displaystyle \Delta N(t)=\gamma N(t)\Delta t}$ con ${\displaystyle \gamma =\alpha -\beta }$.

Empleando el límite cuando ${\displaystyle \Delta t\rightarrow 0}$ se obtiene el modelo matemático: ${\displaystyle {dN \over dt}=\gamma N}$

Al resolver la ecuación anterior de variables separadas, considerando que en ${\displaystyle t=0}$ el tamaño de la población es ${\displaystyle N_{0}}$, se obtiene que la población en el instante t está dada por ${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{\gamma t}}$. Esta equivalencia informa que, si ${\displaystyle \gamma <0}$ la población se va extinguiéndose, si ${\displaystyle \gamma =0}$ la población se mantiene constante y si ${\displaystyle \gamma >0}$ la población crece exponencialmente.

Los valores ${\displaystyle {\ce {N_0}}}$ y ${\displaystyle \gamma }$ se calculan para cada población tomando dos medidas en dos instantes de tiempo distintos. Es importante observar que un pequeño error en el recuento de los datos nos lleva a distintos valores de las constantes ${\displaystyle \gamma }$ o ${\displaystyle N_{0}}$ que pueden ser significativos y cambiar de forma considerable los resultados del modelo para tiempos grandes.

Tomando un ejemplo real. para la población en USA se obtiene:

Año	Población USA
1790	${\displaystyle N(t)=3.9\times 10^{6}e^{0.307t}}$
1800	${\displaystyle N(t)=5.3\times 10^{6}e^{0.307t}}$
1810	${\displaystyle N(t)=7.2\times 10^{6}e^{0.307t}}$
1820	${\displaystyle N(t)=9.6\times 10^{6}e^{0.307t}}$
1830	${\displaystyle N(t)=12.9\times 10^{6}e^{0.307t}}$
1840	${\displaystyle N(t)=17.1\times 10^{6}e^{0.307t}}$
1850	${\displaystyle N(t)=23.2\times 10^{6}e^{0.307t}}$
1860	${\displaystyle N(t)=31.4\times 10^{6}e^{0.307t}}$
1870	${\displaystyle N(t)=38.6\times 10^{6}e^{0.307t}}$
1880	${\displaystyle N(t)=50.2\times 10^{6}e^{0.307t}}$
1890	${\displaystyle N(t)=62.9\times 10^{6}e^{0.307t}}$
1900	${\displaystyle N(t)=76\times 10^{6}e^{0.307t}}$
1910	${\displaystyle N(t)=92\times 10^{6}e^{0.307t}}$
1920	${\displaystyle N(t)=106.5\times 10^{6}e^{0.307t}}$
1930	${\displaystyle N(t)=123.2\times 10^{6}e^{0.307t}}$

${\displaystyle N(t)=}$Verhulst propone unas modificaciones al modelo de Malthus:

Por tanto, el modelo matemático tiende a ser: ${\displaystyle {dN \over dt}=\gamma N\left(1-{N \over N_{\infty }}\right)}$ y, tras realizar una integración de este modelo, se obtiene el tamaño de la población el cual es:

${\displaystyle N(t)=}$ ${\displaystyle N_{0}N_{\infty } \over {N_{0}+(N_{\infty }-N_{0})e^{-\gamma t}}}$

Para la población de USA se calculan de forma aproximada los valores de Verhulst:

${\displaystyle N(t)=3.9\times 10^{6}e^{0.307t}}$, ${\displaystyle N_{\infty }=197\times 10^{6}}$ y ${\displaystyle \gamma =0.3134}$.

Tras comparar los valores obtenidos con el modelo de Verhulst con la población real se aprecia que esta supera ligeramente a la cantidad predicha por el modelo y, por tanto, exista la posibilidad de tener que realizar alguna modificación en dicho modelo para poder predecir adecuadamente el tamaño de la población para tiempos futuros.