Logaritmo

Entre los logaritmos más utilizados se encuentra el logaritmo natural, cuya base es e, base 10 (logaritmo común), base 2 (logaritmo binario), o en base indefinida (logaritmo indefinido). La elección de un determinado número como base de los logaritmos no es crucial, ya que, todos son proporcionales entre sí. Es útil la siguiente fórmula que define al logaritmo de x en base b (suponiendo que b, x, y k son números reales positivos y que tanto b como k son diferentes de 1):

${\displaystyle \log _{b}(x)={\frac {\log _{k}(x)}{\log _{k}(b)}}\,\!\,}$

en la que k es cualquier base válida. Si hacemos k=x, obtendremos:

${\displaystyle \log _{b}(x)={\frac {1}{\log _{x}(b)}}.}$

El logaritmo más ampliamente utilizado es el natural, ya que tiene multitud de aplicaciones en física, matemáticas, ingeniería y en ciencias en general. También es bastante utilizado el logaritmo decimal, que se indica como ${\displaystyle \log(x)\,\!\,}$, en ciencias que hacen uso de las matemáticas, como la química en la medida de la acidez (denominada pH) y en física en magnitudes como la medida de la luminosidad (candela), de intensidad de sonido (dB), de la energía de un terremoto (escala sismológica de Richter), etc. En informática se usa el logaritmo en base 2 la mayoría de veces.

Para garantizar la definición de logaritmos, es necesario demostrar que para la ecuación exponencial

${\displaystyle b^{x}=y\,}$

existe una única solución x , asumiendo que y es positivo y que b es positivo y distinto de 1. Una demostración de este hecho requiere del teorema del valor intermedio del cálculo elemental.[5] Este teorema establece que una función continua que produce dos valores m y n también produce cualquier valor que se encuentre entre m y n. Una función es continua si esta no «salta», esto es, si su gráfico puede ser escrito sin levantar el lápiz del papel.

Esta propiedad se puede demostrar que se cumple para la función f(x) = b^x. Puesto que f toma arbitrariamente valores grandes positivos y valores pequeños positivos, cualquier número y > 0 que se encuentra entre f(x₀) y f(x₁) para un adecuado x₀ y x₁. Por lo tanto, el teorema del valor intermedio asegura que la ecuación f(x) = y tiene una solución. Más aún, hay únicamente una solución para esta ecuación, puesto que la función f es estrictamente creciente (para b > 1), o estrictamente decreciente (para 0 < b < 1).[6]

La única solución x es el logaritmo de y en la base b, log_b(y). La función que asigna a cada y su logaritmo se llama función logaritmo o función logarítmica (o logaritmo a secas).

Gráfico de la función logarítmica log_b(x) (azul) se obtiene mediante reflexión del gráfico de la función b^x (roja) sobre la línea diagonal ( x = y).

La fórmula para el logaritmo de una potencia dice en particular que para cualquier número x,

${\displaystyle \log _{b}\left(b^{x}\right)=x\log _{b}(b)=x.}$

En lenguaje llano, tomando la x-ésima potencia de b y luego el base-b logaritmo se vuelve a obtener x. De modo contrario, dado un número positivo y, la fórmula

${\displaystyle b^{\log _{b}(y)}=y}$

dice que tomando primero el logaritmo y después exponenciando se vuelve a obtener y. Así, las dos maneras posibles de combinar (o componer) logaritmos y exponenciales vuelve a dar el número original. Por lo tanto, el logaritmo en base b es la función inversa de f(x) = b^x.[7]

Las funciones inversas están íntimamente relacionadas con las funciones originales. Sus gráficos se corresponden el uno con el otro mediante el intercambio de las coordenadas x e y (o por reflexión sobre la línea diagonal x = y), como se muestra en la figura de la derecha: un punto (t, u = b^t) sobre el gráfico de f proporciona un punto (u, t = log_bu) sobre el gráfico del logaritmo y viceversa.

Como consecuencia, log_b(x) tiende a + infinito (se hace más grande que cualquier número dado) si x aproxima a + infinito, siempre que b sea mayor que 1. En ese caso, log_b(x) es un función creciente. Para b < 1, log_b(x) tiende a menos infinito en lugar de a infinito. Cuando x se aproxima a cero, log_b(x) tiende a menos infinito para b > 1 (a más infinito cuando b < 1, respectivamente). En cualquier caso, y para todo valor apropiado de la base b, la gráfica de la función logarítmica corta al eje de las abscisas en el punto (1,0).

El gráfico del logaritmo natural (verde) y su tangente en x = 1.5 (negro)

Las propiedades analíticas de las funciones pasan a sus inversas.[5] Así, como f(x) = b^x es una función continua y diferenciable, también lo será log_b(y). Toscamente hablando, una función continua es diferenciable si su gráfico no tiene «trazos puntiagudos». Más aún, como la derivada de f(x) evaluada en ln(b)b^x por las propiedades de la función exponencial, la regla de la cadena implica que la derivada de log_b(x) es dada por[6][8]

${\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\log _{b}(x)={\frac {1}{x\ln(b)}}.}$

Esto es, la pendiente de la tangente que toca el gráfico del logaritmo en base-b en el punto (x, log_b(x)) es igual a 1/(x ln(b)). En particular, la derivada de ln(x) es 1/x, lo que implica que la integral indefinida de 1/x es ln(x) + C.La derivada con un argumento funcional generalizado f(x) es

${\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\ln(f(x))={\frac {f'(x)}{f(x)}}.}$

El cociente del miembro derecho es denominado derivada logarítmica de f. Calcular f'(x) por medio de la derivada de ln(f(x)) se conoce como diferenciación logarítmica.[9] La integral indefinida del logaritmo natural ln(x) es:[10]

${\displaystyle \int \ln(x)\,{\text{d}}x=x\ln(x)-x+C.}$

Fórmulas relacionadas, tales como integrales indefinidas de logaritmos en otras bases pueden ser obtenidas de esta ecuación usando el cambio de bases.[11]

El logaritmo natural de t es el área sombreada bajo el gráfico de la función f(x) = 1/x (inversa de x).

El logaritmo natural de t concuerda con la integral de 1/x dx desde 1 a t:

${\displaystyle \ln(t)=\int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,dx.}$

En otras palabras, ln(t) es igual al área entre el eje x y el gráfico de la función 1/x, recorrido desde x = 1 a x = t (figura a la derecha). Esto es una consecuencia del teorema fundamental del cálculo y del hecho de que la derivada de ln(x) sea 1/x. El miembro de la derecha de esta ecuación puede servir con una definición para el logaritmo natural. Las fórmulas del producto y potencias de logaritmo pueden ser obtenidas de esta definición.[12] Por ejemplo, la fórmula del producto ln(tu) = ln(t) + ln(u) se deduce como:

${\displaystyle \ln(tu)=\int _{1}^{tu}{\frac {1}{x}}\,dx\ {\stackrel {(1)}{=}}\int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{t}^{tu}{\frac {1}{x}}\,dx\ {\stackrel {(2)}{=}}\ln(t)+\int _{1}^{u}{\frac {1}{w}}\,dw=\ln(t)+\ln(u).}$

La igualdad (1) descompone la integral en dos partes, mientras que la igualdad (2) es un cambio de variable ( w = x/t). En la ilustración de abajo, la descomposición corresponde a dividir el área en las partes azul y amarilla. Reescalando el área azul de la izquierda verticalmente mediante el factor t y contrayendo esta por el mismo factor horizontalmente no se cambia su tamaño. Moviéndola apropiadamente, el área de la gráfica se ajusta a la función f(x) = 1/x de nuevo. Por lo tanto, el área azul del término izquierdo, que es la integral de f(x) desde t a tu es la misma que la de la integral desde 1 a u. Esto justifica la igualdad (2) con otra demostración geométrica más.

Una demostración visual de la fórmula del producto del logaritmo natural.

La fórmula de la potencia ln(t^r) = r ln(t) puede ser obtenida de manera similar:

${\displaystyle \ln(t^{r})=\int _{1}^{t^{r}}{\frac {1}{x}}dx=\int _{1}^{t}{\frac {1}{w^{r}}}\left(rw^{r-1}\,dw\right)=r\int _{1}^{t}{\frac {1}{w}}\,dw=r\ln(t).}$

La segunda igualdad usa los cambios de variable (integración por sustitución), w := x^1/r.

La suma sobre los inversos de los números naturales,

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},}$

es llamada serie armónica. Está estrechamente vinculada al logaritmo natural: cuando n tiende a infinito, la diferencia,

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n),}$

converge (es decir, se aproxima arbitrariamente cerca) a un número conocido como constante de Euler-Mascheroni. Esta relación ayuda a analizar el rendimiento de algoritmos, como quicksort.[13]

El logaritmo es un ejemplo de función trascendente y desde un punto de vista teórico, el teorema de Gelfond-Schneider afirma que los logaritmos suelen tomar valores «difíciles». La declaración formal se basa en la noción de números algebraicos, que incluye a todos los números racionales, pero también números tales como la raíz cuadrada de 2 o

${\displaystyle {\sqrt {-5+{\sqrt[{3}]{\cfrac {3}{13}}}}}}$

Números complejos que no son algebraicos son llamados transcendentes;[14] por ejemplo, π y e son dos de esos números. Casi todos los números complejos son trascendentes. Usando estas nociones, el teorema de Gelfond–Scheider declara que dados dos números algebraicos a y b, log_b(a) es, o un número trascendente, o un número racional p / q (en cuyo caso a^q = b^p, de manera que, para empezar, a y b estaban estrechamente relacionados).[15]

Serie de Taylor de  ln(z) at z = 1. La animación muestra las primeras  10 aproximaciones junto con las aproximaciones 99 y 100.

Para cualquier número real z que satisfaga 0 < z < 2, la siguiente serie de potencias se cumple:[nb 1][21]

${\displaystyle \ln(z)=(z-1)-{\frac {(z-1)^{2}}{2}}+{\frac {(z-1)^{3}}{3}}-{\frac {(z-1)^{4}}{4}}+\cdots }$

Esta es una manera rápida de decir que ln(z) puede ser aproximado a un valor más y más preciso mediante las siguientes expresiones:

${\displaystyle {\begin{array}{lllll}(z-1)&&\\(z-1)&-&{\frac {(z-1)^{2}}{2}}&\\(z-1)&-&{\frac {(z-1)^{2}}{2}}&+&{\frac {(z-1)^{3}}{3}}\\\vdots &\end{array}}}$

Por ejemplo, con z = 1.5 la tercera aproximación obtiene 0.4167, que es alrededor de 0.011 mayor que ln(1.5) = 0.405465. Esta serie aproxima ln(z) con precisión arbitraria, siempre que el número de sumandos sea lo suficientemente grande. En cálculo elemental, ln(z) es por tanto, el límite de la serie. Esta es la serie de Taylor del logaritmo natural en z = 1. La serie de Taylor de ln z proporciona una particular aproximación útil de ln(1+z) cuando z es pequeño, |z| << 1, puesto que

${\displaystyle \ln(1+z)=z-{\frac {z^{2}}{2}}+\cdots \approx z.}$

Por ejemplo, con z = 0,1 el primer orden de aproximación da ln(1,1) ≈ 0.1, que es menor del 5 % del valor correcto 0,0953.

Otra serie está basada en la función argumento de tangente hiperbólica:

${\displaystyle \ln(z)=2\cdot \operatorname {artanh} \,{\frac {z-1}{z+1}}=2\left({\frac {z-1}{z+1}}+{\frac {1}{3}}{\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)}^{3}+{\frac {1}{5}}{\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)}^{5}+\cdots \right),}$

para cualquier número real z > 0.[nb 2][21] Usando la notación sumatorio esta también puede ser escrita como

${\displaystyle \ln(z)=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{2k+1}.}$

Esta serie se puede obtener de la serie de Taylor anterior. Converge más rápido que la serie de Taylor, especialmente si z es cercano a 1. Por ejemplo, para  , los tres primeros términos de la segunda serie aproximan ln(1,5) con un error del entorno de 3×10⁻⁶. La rápida convergencia para z cercano a 1 puede ser tomada como una ventaja de la siguiente manera.: da una aproximación de baja exactitud y ≈ ln(z) y calculando

${\displaystyle A={\frac {z}{\exp(y)}},\,}$

el logaritmo de z es:

${\displaystyle \ln(z)=y+\ln(A).\,}$

Cuando mejor es la aproximación inicial y, más cerca está A de 1, así que su logaritmo puede ser calculado eficientemente. A puede ser calculado usando la serie exponencial, que converge rápidamente siempre que y no sea demasiado grande. Calculando el logaritmo de un z mayor, puede ser reducido a valores más pequeños que z mediante la escritura z = a · 10^b, así que ln(z) = ln(a) + b · ln(10).

Un método íntimamente relacionado puede ser utilizado para calcular el logaritmo de enteros. De la serie anterior, se deduce que:

${\displaystyle \ln(n+1)=\ln(n)+2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}\left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{2k+1}.}$

Si el logaritmo de un entero grande n es conocido, entonces esta serie obtiene una veloz serie convergente para log(n+1).

La media aritmético-geométrica da aproximaciones con gran precisión del logaritmo natural. ln(x) es aproximado con una precisión de 2^−p (o p bits precisos) mediante la siguiente fórmula (dada por Carl Friedrich Gauss):[22][23]

${\displaystyle \ln(x)\approx {\frac {\pi }{2M(1,2^{2-m}/x)}}-m\ln(2).}$

Aquí M denota la media aritmético-geométrica. Se puede obtener mediante el cálculo repetido de la media (media aritmética) y de la raíz cuadrada del producto de dos números (media geométrica). Más aún, m es escogido tal que

${\displaystyle x\,2^{m}>2^{p/2}.\,}$

Ambas, media aritmético-geométrica y las constantes π y ln(2) pueden ser calculadas mediante series convergentes muy rápidas.

Para enteros b y x, el número ${\displaystyle \log _{b}(x)\,}$ es irracional (no puede representarse como el cociente de dos enteros) si b o x tienen un factor primo que el otro no tiene.

El logaritmo natural de un número real positivo está bien definido y es un número real. Sin embargo, generalizar el logaritmo natural a números reales negativos solo puede hacerse introduciendo números complejos.

Sin embargo, al igual que sucede el logaritmo de números complejos la elección de logaritmo de un número negativo no es única, aunque la elección hecha es la más frecuentemente usada para extender el logaritmo a números reales negativos.

Principal rama del logaritmo complejo, Log(z).

El logaritmo natural de un número complejo z es otro número complejo b = ln(z) que sea solución de la ecuación:

(*)${\displaystyle z=e^{b}\;\,}$

La ecuación anterior no tiene solución única. De hecho, tiene un número infinito de soluciones, aunque todas ellas son fáciles de encontrar. Dado un número complejo z escrito en forma polar, una solución posible de la ecuación (*) es b₀:

${\displaystyle b_{0}=\ln \rho +i\theta \qquad {\mbox{con}}\ z=\rho e^{i\theta }\,}$

Puede comprobarse que esta no es la única solución, sino que para cualquier valor ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} \,}$ resulta que el número complejo b_k, definido a continuación, también es solución:

${\displaystyle b_{k}=\ln \rho +i\theta +2\pi ki\qquad \Rightarrow e^{b_{k}}=\rho e^{i\theta }\cdot e^{2\pi ki}=z\,}$

De hecho cada valor particular de k define una superficie de Riemann.

Un logaritmo en base imaginaria es un logaritmo que tiene como base i (la unidad imaginaria). Este tipo de logaritmos se puede resolver fácilmente con la fórmula:

${\displaystyle \log _{i}(z)={{2\ln(z)} \over i\pi }.\,}$

Dónde z es cualquier número complejo excepto 0. Sin embargo, cabe señalar que la fórmula anterior solo es una de las posibles soluciones ya que la ecuación:

${\displaystyle i^{\lambda }=z\,}$

admite no solo la solución dada anteriormente sino que cualquier x de la forma:

${\displaystyle \lambda ={\frac {2}{i\pi }}\ln(z)+4k=\log _{i}(z)+4k,\qquad k\in \mathbb {Z} \,}$

también es solución.

Una matriz B es logaritmo de una matriz dada A si la exponenciación de B es A:

${\displaystyle e^{B}=A\,}$

A diferencia de la exponenciación de matrices, el logaritmo de una matriz real puede no estar definido siempre. En el caso de una matriz diagonalizable es necesario que logaritmo esté definido para todos y cada uno de los autovalores o valores propios de la matriz. En ese caso el logaritmo de la matriz está definido y es logaritmo de una matriz con autovalores positivos es otra matriz real. Si el 0 es un autovalor de la matriz, entonces su logaritmo no está definido.

Si el logaritmo está definido sobre el espectro o conjunto de autovalores y estos incluyen algún número negativo, aun así es posible definir una matriz logaritmo (en forma similar a como se definen los logaritmos de números negativos o complejos), aunque no resulta única.

En el caso de una matriz no diagonalizable, este proceso es más complicado, ya que requiere encontrar primero su forma canónica de Jordan.

Los logaritmos discretos son los análogos en teoría de grupos de los logaritmos ordinarios. En particular, un logaritmo ordinario log_a(b) es una solución de la ecuación a^x = b sobre números reales o números complejos. De manera similar, si g y h son elementos de un grupo cíclico finito G, entonces una solución x de la ecuación g^x = h es llamada logaritmo discreto en la base g de h en el grupo G.

Si (G,·) es un grupo cíclico finito de orden n, donde · es el operador multiplicación, si se escoge un generador g de G, entonces cada elemento h de G puede ser escrito como h = g^k para algún entero k, de manera que la función

${\displaystyle \operatorname {log} _{g}:G\rightarrow \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

asigna a cada h la clase de equivalencia módulo n de k, esto es, todos los k que cumplan que h ≡ g^k mod n.

Este logaritmo tiene aplicaciones en criptografía, en especial en el método de intercambio de claves de Diffie-Hellman o en el sistema de ElGamal.