Integración por sustitución trigonométrica

Para calcular la integral

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}}$

se puede realizar el cambio de variable

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\operatorname {sen} \theta \\dx&=a\cos \theta \;d\theta \\\theta &={\text{arcsen}}\left({\frac {x}{a}}\right)\end{aligned}}}$

entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}&=\int {\frac {a\cos \theta }{\sqrt {a^{2}-a^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta }}}\;d\theta \\[6pt]&=\int {\frac {a\cos \theta }{\sqrt {a^{2}(1-\operatorname {sen} ^{2}\theta )}}}\;d\theta \\[6pt]&=\int {\frac {a\cos \theta }{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\theta }}}\;d\theta \\[6pt]&=\int d\theta \\[6pt]&=\theta +C\\[6pt]&={\text{arcsen}}\left({\frac {x}{a}}\right)+C\end{aligned}}}$

Los pasos anteriores requirieron que ${\displaystyle a>0}$ y ${\displaystyle \cos \theta >0}$.

Es posible escoger ${\displaystyle a}$ para que sea la raíz principal de ${\displaystyle a^{2}}$ e imponer la restricción ${\displaystyle -\pi /2<\theta <\pi /2}$ utilizando la función arco seno.

Para una integral definida, se debe averiguar cómo cambian los límites de la integración. Por ejemplo, cuando ${\displaystyle x}$ va de ${\displaystyle 0}$ a ${\displaystyle a/2}$, entonces ${\displaystyle \operatorname {sen} \theta }$ va de ${\displaystyle 0}$ a ${\displaystyle 1/2}$, y ${\displaystyle \theta }$ va de ${\displaystyle 0}$ a ${\displaystyle \pi /6}$. En consecuencia,

${\displaystyle \int _{0}^{a/2}{\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\int _{0}^{\pi /6}d\theta ={\frac {\pi }{6}}.}$

Se necesita elegir los límites con cuidado. Debido a que la integración anterior requiere que ${\displaystyle -\pi /2<\theta <\pi /2}$, ${\displaystyle \theta }$ solo puede pasar de ${\displaystyle 0}$ a ${\displaystyle \pi /6}$. Si se ignora esta restricción, se podría haber elegido ${\displaystyle \theta }$ para pasar de ${\displaystyle \pi }$ a ${\displaystyle 5\pi /6}$, lo que habría resultado en un valor real negativo.

Alternativamente, se deben evaluar completamente las integrales indefinidas antes de aplicar las condiciones de contorno. En ese caso, la antiderivada da

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{a/2}{\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}&=\operatorname {arcsen} \left({\frac {x}{a}}\right){\Biggl |}_{0}^{a/2}\\&=\operatorname {arcsen} \left({\frac {1}{2}}\right)-\operatorname {arcsen} (0)\\&={\frac {\pi }{6}}\end{aligned}}}$

como antes.

La integral

${\displaystyle \int {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,dx}$

puede ser evaluada haciendo el cambio de variable

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\operatorname {sen} \theta \\dx&=a\cos \theta \;d\theta \\\theta &={\text{arcsen}}\left({\frac {x}{a}}\right)\end{aligned}}}$

donde ${\displaystyle a>0}$ de modo que ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}}}=a}$ y

${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}}$

por que ${\displaystyle \cos \theta \geq 0}$ y ${\displaystyle {\sqrt {\cos ^{2}\theta }}=\cos \theta }$

Luego

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,dx&=\int {\sqrt {a^{2}-a^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta }}\,(a\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int {\sqrt {a^{2}(1-\operatorname {sen} ^{2}\theta )}}\,(a\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int {\sqrt {a^{2}(\cos ^{2}\theta )}}\,(a\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int (a\cos \theta )(a\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=a^{2}\int \cos ^{2}\theta \,d\theta \\[6pt]&=a^{2}\int \left({\frac {1+\cos 2\theta }{2}}\right)\,d\theta \\[6pt]&={\frac {a^{2}}{2}}\left(\theta +{\frac {1}{2}}\operatorname {sen} 2\theta \right)+C\\[6pt]&={\frac {a^{2}}{2}}(\theta +\operatorname {sen} \theta \cos \theta )+C\\[6pt]&={\frac {a^{2}}{2}}\left({\text{arcsen}}\left({\frac {x}{a}}\right)+{\frac {x}{a}}{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}\right)+C\\[6pt]&={\frac {a^{2}}{2}}\;{\text{arcsen}}\left({\frac {x}{a}}\right)+{\frac {x}{2}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C\end{aligned}}}$

Para una integral definida, los límites de integración cambian una vez que se realiza la sustitución y estos están determinados por

${\displaystyle \theta ={\text{arcsen}}\left({\frac {x}{a}}\right)}$

con valores para ${\displaystyle \theta }$ en el rango

${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}}$

Considérese la integral definida

${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\sqrt {4-x^{2}}}\,dx}$

que puede ser evaluada haciendo el cambio de variable

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=2\operatorname {sen} \theta \\dx&=2\cos \theta \,d\theta \end{aligned}}}$

y en este caso, los límites de integración estarán determinados por

${\displaystyle \theta ={\text{arcsen}}\left({\frac {x}{2}}\right)}$

Tenemos que

si ${\displaystyle x=-1}$ entonces ${\displaystyle \theta ={\text{arcsen}}\left(-{\frac {1}{2}}\right)=-{\frac {\pi }{6}}}$

y si ${\displaystyle x=1}$ entonces ${\displaystyle \theta ={\text{arcsen}}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {\pi }{6}}}$

entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\sqrt {4-x^{2}}}\,dx&=\int _{-\pi /6}^{\pi /6}{\sqrt {4-4\operatorname {sen} ^{2}\theta }}\,(2\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int _{-\pi /6}^{\pi /6}{\sqrt {4(1-\operatorname {sen} ^{2}\theta )}}\,(2\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int _{-\pi /6}^{\pi /6}{\sqrt {4(\cos ^{2}\theta )}}\,(2\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int _{-\pi /6}^{\pi /6}(2\cos \theta )(2\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=4\int _{-\pi /6}^{\pi /6}\cos ^{2}\theta \,d\theta \\[6pt]&=4\int _{-\pi /6}^{\pi /6}\left({\frac {1+\cos 2\theta }{2}}\right)\,d\theta \\[6pt]&=2\left[\theta +{\frac {1}{2}}\operatorname {sen} 2\theta \right]_{-\pi /6}^{\pi /6}\\[6pt]&=[2\theta +\operatorname {sen} 2\theta ]{\Biggl |}_{-\pi /6}^{\pi /6}\\[6pt]&=\left({\frac {\pi }{3}}+\operatorname {sen} {\frac {\pi }{3}}\right)-\left(-{\frac {\pi }{3}}+\operatorname {sen} \left(-{\frac {\pi }{3}}\right)\right)\\[6pt]&={\frac {2\pi }{3}}+{\sqrt {3}}\end{aligned}}}$

Por otro lado, si aplicamos directamente los límites de integración para la fórmula de la antiderivada obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\sqrt {4-x^{2}}}\,dx&=\left[2\;{\text{arcsen}}\left({\frac {x}{2}}\right)+{\frac {x}{2}}{\sqrt {4-x^{2}}}\right]_{-1}^{1}\\[6pt]&=\left(2\;{\text{arcsen}}\left({\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}\right)-\left(2\;{\text{arcsen}}\left(-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}\right)\\[6pt]&=\left(2\cdot {\frac {\pi }{6}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)-\left(2\cdot \left(-{\frac {\pi }{6}}\right)-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)\\[6pt]&={\frac {2\pi }{3}}+{\sqrt {3}}\end{aligned}}}$

En la integral

${\displaystyle \int {\frac {dx}{a^{2}+x^{2}}}}$

hacemos el cambio de variable

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\tan \theta \\dx&=a\sec ^{2}\theta \;d\theta \\\theta &=\arctan \left({\frac {x}{a}}\right)\end{aligned}}}$

de modo que la integral se convierte en

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{a^{2}+x^{2}}}&=\int {\frac {a\sec ^{2}\theta }{a^{2}+a^{2}\tan ^{2}\theta }}\,d\theta \\[6pt]&=\int {\frac {a\sec ^{2}\theta }{a^{2}(1+\tan ^{2}\theta )}}\;d\theta \\[6pt]&=\int {\frac {a\sec ^{2}\theta }{a^{2}\sec ^{2}\theta }}\,d\theta \\[6pt]&={\frac {1}{a}}\int d\theta \\[6pt]&={\frac {\theta }{a}}+C\\[6pt]&={\frac {1}{a}}\arctan \left({\frac {x}{a}}\right)+C\end{aligned}}}$

para ${\displaystyle a\neq 0}$.

La integral

${\displaystyle \int {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\,{dx}}$

puede ser evaluada haciendo el cambio de variable

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\tan \theta \\dx&=a\sec ^{2}\theta \,d\theta \\\theta &=\arctan \left({\frac {x}{a}}\right)\end{aligned}}}$

donde ${\displaystyle a>0}$ de modo que ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}}}=a}$ y

${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<\theta <{\frac {\pi }{2}}}$

por lo que ${\displaystyle \sec \theta >0}$ y ${\displaystyle {\sqrt {\sec ^{2}\theta }}=\sec \theta }$.

Entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\,dx&=\int {\sqrt {a^{2}+a^{2}\tan ^{2}\theta }}\,(a\sec ^{2}\theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int {\sqrt {a^{2}(1+\tan ^{2}\theta )}}\,(a\sec ^{2}\theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int {\sqrt {a^{2}\sec ^{2}\theta }}\,(a\sec ^{2}\theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int (a\sec \theta )(a\sec ^{2}\theta )\,d\theta \\[6pt]&=a^{2}\int \sec ^{3}\theta \,d\theta .\\[6pt]\end{aligned}}}$

La integral de la secante cúbica puede ser evaluada utilizando integración por partes, dando como resultado

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\,dx&={\frac {a^{2}}{2}}(\sec \theta \tan \theta +\ln |\sec \theta +\tan \theta |)+C\\[6pt]&={\frac {a^{2}}{2}}\left({\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}\cdot {\frac {x}{a}}+\ln \left|{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}+{\frac {x}{a}}\right|\right)+C\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\left(x{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}+a^{2}\ln \left|x+{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\right|\right)+C.\end{aligned}}}$

Para una integral definida, los límites de integración cambian una vez que se hace la sustitución y estos están determinados por

${\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {x}{a}}\right)}$

con valores para ${\displaystyle \theta }$ en el rango

${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<\theta <{\frac {\pi }{2}}}$

Considérese la integral definida

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {4}{1+x^{2}}}\,dx}$

esta puede ser evaluada haciendo el cambio de variable

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\tan \theta \\dx&=\sec ^{2}\theta \,d\theta \end{aligned}}}$

con los límites de integración determinados por ${\displaystyle \theta =\arctan x}$.

Tenemos que

si ${\displaystyle x=0}$ entonces ${\displaystyle \theta =\arctan(0)=0}$

y si ${\displaystyle x=1}$ entonces ${\displaystyle \theta =\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}}$

de modo que

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\frac {4}{1+x^{2}}}\;dx&=4\int _{0}^{\pi /4}{\frac {\sec ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\;d\theta \\[6pt]&=4\int _{0}^{\pi /4}{\frac {\sec ^{2}\theta }{\sec ^{2}\theta }}\;d\theta \\[6pt]&=4\int _{0}^{\pi /4}d\theta \\[6pt]&=4\theta {\Bigg |}_{0}^{\pi /4}\\&=4\left({\frac {\pi }{4}}\right)\\&=\pi \end{aligned}}}$

Construcción geométrica para Caso ${\displaystyle {\text{III}}}$

La integral

${\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}}$

también puede ser evaluada utilizando fracciones parciales en lugar de utilizar sustitución trigonométrica. Sin embargo, la integral

${\displaystyle \int {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\,dx}$

no. En este caso, una sustitución apropiada es

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\sec \theta \\dx&=a\sec \theta \tan \theta \,d\theta \\\theta &=\operatorname {arcsec} \left({\frac {x}{a}}\right)\end{aligned}}}$

donde ${\displaystyle a>0}$ de modo que ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}}}=a}$ y

${\displaystyle 0\leq \theta <{\frac {\pi }{2}}}$

suponiendo que ${\displaystyle x>0}$, de modo que ${\displaystyle \tan \theta \geq 0}$ y ${\displaystyle {\sqrt {\tan ^{2}\theta }}=\tan \theta }$.

Entonces,

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\,dx&=\int {\sqrt {a^{2}\sec ^{2}\theta -a^{2}}}\cdot a\sec \theta \tan \theta \,d\theta \\&=\int {\sqrt {a^{2}(\sec ^{2}\theta -1)}}\cdot a\sec \theta \tan \theta \,d\theta \\&=\int {\sqrt {a^{2}\tan ^{2}\theta }}\cdot a\sec \theta \tan \theta \,d\theta \\&=\int a^{2}\sec \theta \tan ^{2}\theta \,d\theta \\&=a^{2}\int (\sec \theta )(\sec ^{2}\theta -1)\,d\theta \\&=a^{2}\int (\sec ^{3}\theta -\sec \theta )\,d\theta \end{aligned}}}$

Uno puede evaluar la integral de la función secante multiplicando tanto el numerador como el denominador por ${\displaystyle (\sec \theta +\tan \theta )}$ y evaluar la integral de la secante cúbica integrando por partes.[3] Como resultado,

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\,dx&={\frac {a^{2}}{2}}(\sec \theta \tan \theta +\ln |\sec \theta +\tan \theta |)-a^{2}\ln |\sec \theta +\tan \theta |+C\\[6pt]&={\frac {a^{2}}{2}}(\sec \theta \tan \theta -\ln |\sec \theta +\tan \theta |)+C\\[6pt]&={\frac {a^{2}}{2}}\left({\frac {x}{a}}\cdot {\sqrt {{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-1}}-\ln \left|{\frac {x}{a}}+{\sqrt {{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-1}}\right|\right)+C\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\left(x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}-a^{2}\ln \left|{\frac {x+{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}{a}}\right|\right)+C.\end{aligned}}}$

Considérese la integral

${\displaystyle \int {\frac {4\cos x}{(1+\cos x)^{3}}}\;dx}$

Si utilizamos la sustitución de Weierstrass entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {4\cos x}{(1+\cos x)^{3}}}\,dx&=\int {\frac {2}{1+u^{2}}}{\frac {4\left({\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\right)}{\left(1+{\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\right)^{3}}}\,du\\&=\int (1-u^{2})(1+u^{2})\,du\\&=\int (1-u^{4})\,du\\&=u-{\frac {u^{5}}{5}}+C\\&=\tan \left({\frac {x}{2}}\right)-{\frac {1}{5}}\tan ^{5}\left({\frac {x}{2}}\right)+C\end{aligned}}}$