Teselado cuadrado

Hay 9 coloreados uniformes distintos de un teselado cuadrado. Nombrando los colores por índices en los 4 cuadrados alrededor de un vértice, se obtienen las combinaciones siguientes: 1111, 1112(i), 1112(ii), 1122, 1123(i), 1123(ii), 1212, 1213, 1234. Los casos marcados con (i) tienen simetría de reflexión simple, y los marcados con (ii) poseen simetría de reflexión deslizada. Se pueden ver tres en el mismo dominio de simetría como colores reducidos: 1112_i de 1213, 1123_i de 1234 y 1112_ii reducido de 1123_ii.

9 coloreados uniformes
1111	1212	1213	1112i	1122
p4m (*442)		p4m (*442)		pmm (*2222)
1234	1123i	1123ii	1112ii
pmm (*2222)		cmm (2*22)

Este mosaico está relacionado topológicamente como parte de una secuencia de poliedros y mosaicos regulares, que se extiende hasta plano hiperbólico: {4,p}, p=3,4,5...

*n42 mutación de simetría de teselados regulares: {4,n}
Esférico	Euclídeo	Hiperbólico compacto				Paracompacto
{4,3}	{4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8}...	{4,∞}

Este mosaico también está relacionado topológicamente como parte de la secuencia de poliedros regulares y mosaicos con cuatro caras por vértice, comenzando con octaedro, con Símbolo de Schläfli {n,4} y el diagrama de Coxeter , con n progresando hasta el infinito.

*n42 mutación de simetría de teselados regulares: {n,4}
Esférico		Euclídeo	Teselados hiperbólicos
24	34	44	54	64	74	84	...∞4

*n42 mutaciones de simetría de teselados duales cuasiregulares: V(4.n)2
Simetría *4n2 [n,4]	Esférico	Euclídeo	Hiperbólico compacto				Paracompacto	No compacto
	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]	[iπ/λ,4]
Tiling   Conf.	V4.3.4.3	V4.4.4.4	V4.5.4.5	V4.6.4.6	V4.7.4.7	V4.8.4.8	V4.∞.4.∞	V4.∞.4.∞

*n42 mutación de simetría de teselados expandidos: n.4.4.4
Simetría [n,4], (*n42)	Esférico	Euclídeo	Hiperbólico compacto				Paracompacto
	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]	*∞42 [∞,4]
Figuras expandidas
Configuración	3.4.4.4	4.4.4.4	5.4.4.4	6.4.4.4	7.4.4.4	8.4.4.4	∞.4.4.4
Configuración de figuras rómbica	V3.4.4.4	V4.4.4.4	V5.4.4.4	V6.4.4.4	V7.4.4.4	V8.4.4.4	V∞.4.4.4

Al igual que los poliedros uniformes, hay ocho teselados uniformes que se pueden basar en el teselado cuadrado regular.

Dibujando los teselados coloreados como rojo en las caras originales, amarillo en los vértices originales y azul en los bordes originales, las 8 formas son distintas. Sin embargo, al tratar las caras de manera idéntica, solo hay tres formas topológicamente distintas: el teselado cuadrado, el teselado cuadrado truncado y el teselado cuadrado achatado.

Teselados uniformes basados en la simetría de teselados cuadrados
Simetría: [4,4], (*442)							[4,4]+, (442)	[4,4+], (4*2)
{4,4}	t{4,4}	r{4,4}	t{4,4}	{4,4}	rr{4,4}	tr{4,4}	sr{4,4}	s{4,4}
Duales uniformes
V4.4.4.4	V4.8.8	V4.4.4.4	V4.8.8	V4.4.4.4	V4.4.4.4	V4.8.8	V3.3.4.3.4

Una variación isogonal con dos tipos de caras, visto como un teselado cuadrado achatado con pares de triángulos combinados en rombos

Los teselados topológicamente cuadrados se pueden hacer con formas cóncavas y más de una arista compartida entre dos caras. Esta variación tiene 3 bordes compartidos

Se pueden hacer otros teselados con cuadriláteros que son topológicamente equivalentes al mosaico cuadrado (con 4 cuadrángulos alrededor de cada vértice).

Una variación de 2 isoedros con caras rómbicas

Los mosaicos isoédricos tienen caras idénticas (face-transitivity) y vertex-transitivity, hay 18 variaciones, con 6 identificadas como triángulos que no se conectan de borde a borde, o como cuadrilátero con dos bordes colineales. La simetría dada asume que todas las caras son del mismo color.[1]

Teselaciones de cuadriláteros isoédricos

Cuadrado p4m, (*442)	Cuadrilátero p4g, (4*2)	Rectángulo pmm, (*2222)	Paralelogramo p2, (2222)	Paralelogramo pmg, (22*)	Rombo cmm, (2*22)	Rombo pmg, (22*)
Trapecio cmm, (2*22)		Cuadrilátero pgg, (22×)	Cometa pmg, (22*)	Cuadrilátero pgg, (22×)	Cuadrilátero p2, (2222)

Cuadriláteros degenerados o triángulos sin borde a borde

Isósceles pmg, (22*)	Isósceles pgg, (22×)		Escaleno pgg, (22×)		Escaleno p2, (2222)

El teselado cuadrado se puede usar como un empaquetamiento de círculos, colocando círculos de igual diámetro en el centro de cada cuadrado. De esta forma, cada círculo está en contacto con otros 4 círculos en el empaquetamiento (número de osculación).[2] La densidad de empaquetamiento tiene una cobertura de π/4=78,54%. Hay 4 colores uniformes de los empaquetamientos circulares.

Hay 3 apeirógonos complejos regulares que comparten los vértices del teselado cuadrado. Los apeirogonos complejos regulares tienen vértices y aristas, donde las aristas pueden contener 2 o más vértices. Los apeirógonos regulares p{q}r están restringidos por: 1/p + 2/q + 1/r = 1. Las aristas tienen p vértices, y las figuras de vértice son r-gonales.[3]

Autodual	Duales
4{4}4 o	2{8}4 o	4{8}2 o

• Tablero de damas
• Retícula cuadrada
• Teselado regular
• Anexo:Politopos regulares
• Anexo:Teselados uniformes

• Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes, (3ra edición, 1973), edición de Dover, ISBN 0-486-61480-8 p. 296, Tabla II: Panales regulares
• Klitzing, Richard. «2D Euclidean tilings o4o4x - squat - O1».

• Williams, Robert (1979). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. p36
• Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1987). Tilings and Patterns. New York: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-1193-1. (Capítulo 2.1: Alicatados regulares y uniformes, p. 58-65)
• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, Las simetrías de las cosas 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 asp?ProdCode=2205

• Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Teselado cuadrado.
• Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.
• Portal:Geometría. Contenido relacionado con Geometría.
• Weisstein, Eric W. «Square Grid». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric W. «Regular tessellation». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric W. «Uniform tessellation». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.