Dualidad (matemática)

Una dualidad simple, quizás la más simple, surge de considerar subconjuntos de un conjunto fijo S. Para cualquier subconjunto A ⊆ S, su complemento A^c[5] consta de todos los elementos en S que no están contenidos en A. El resultado es nuevamente un subconjunto de S. Tomar el complemento tiene las siguientes propiedades:

• Al aplicarlo dos veces, se obtiene el conjunto original, es decir, (A^c)^c = A. Esto se menciona diciendo que la operación de tomar el complemento es una involución.
• Una inclusión de conjuntos A ⊆ B se convierte en una inclusión en la dirección opuesta B^c ⊆ A^c.
• Dado dos subconjuntos A y B de S, A está contenido en B^c si y solo si B está contenido en A^c.

Esta relación aparece en topología como una dualidad entre subconjuntos abiertos y cerrados de un espacio topológico fijo X: un subconjunto U de X es cerrado si y solo si su complemento en X es abierto. Debido a esto, muchos teoremas sobre conjuntos cerrados son duales a teoremas sobre conjuntos abiertos. Por ejemplo, cualquier unión de conjuntos abiertos es abierta, por lo que cualquier intersección de conjuntos cerrados es cerrada. El interior de un conjunto es el conjunto abierto más grande que contiene, y el cierre del conjunto es el conjunto cerrado más pequeño que contiene. Debido a la dualidad, el complemento del interior de cualquier conjunto U es igual al cierre del complemento de U.

Un conjunto C (azul) y su cono dual C^* (rojo)

En geometría existe una construcción denominada cono dual: dado un conjunto ${\displaystyle C}$ de puntos en el plano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ (o más generalmente, puntos en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$), su cono dual se define como el conjunto ${\displaystyle C^{*}\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$ que consiste en sus puntos ${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$ tales que satisfacen la condición

${\displaystyle x_{1}c_{1}+x_{2}c_{2}\geq 0}$

para todos los puntos ${\displaystyle (c_{1},c_{2})}$ en ${\displaystyle C}$, como se ilustra en el diagrama. A diferencia del complemento de conjuntos mencionado anteriormente, en general no es cierto que la aplicación dos veces de la construcción del cono dual, devuelva el conjunto original ${\displaystyle C}$. En cambio, ${\displaystyle C^{**}}$ es el cono[6] más pequeño que contiene ${\displaystyle C}$, que puede ser más grande que ${\displaystyle C}$. Por lo tanto, esta dualidad es más débil que la anterior, verificándose que

• La aplicación de la operación dos veces devuelve un conjunto posiblemente más grande: para todos los ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle C}$ está contenido en ${\displaystyle C^{**}}$. (Para algunos ${\displaystyle C}$, es decir, para los propios conos, los dos son en realidad iguales).

Las otras dos propiedades se transfieren sin cambios:

• Todavía es cierto que una inclusión ${\displaystyle C\subseteq D}$ se convierte en una inclusión en la dirección opuesta (${\displaystyle D^{*}\subseteq C^{*}}$).
• Dados dos subconjuntos ${\displaystyle C}$ y ${\displaystyle D}$ del plano, ${\displaystyle C}$ está contenido en ${\displaystyle D^{*}}$ si y solo si ${\displaystyle D}$ está contenido en ${\displaystyle C^{*}}$.

Un ejemplo muy importante de dualidad surge en el álgebra lineal al asociar a cualquier espacio vectorial V su espacio dual V^*. Sus elementos son las k-aplicaciones lineales ${\displaystyle \varphi :V\to k}$, donde k es el campo sobre el cual se define V. Las tres propiedades del cono dual se transfieren a este tipo de dualidad al reemplazar los subconjuntos de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ por el espacio vectorial y las inclusiones de dichos subconjuntos por aplicaciones lineales. Es decir:

• La aplicación de la operación de tomar dos veces el espacio vectorial dual produce otro espacio vectorial V^**. Siempre existe una aplicación V → V^**. Para algunos V, concretamente los espacios vectoriales de dimensión finita, esta aplicación es un isomorfismo.
• Una aplicación lineal V → W da lugar a una aplicación en la dirección opuesta (W^* → V^*).
• Dados dos espacios vectoriales V y W, las aplicaciones de V a W^* se corresponden con las aplicaciones de W a V^*.

Una característica particular de esta dualidad es que V y V^* son isomórficos para ciertos objetos, a saber, espacios vectoriales de dimensión finita. Sin embargo, esto es, en cierto sentido, una coincidencia afortunada, porque dar un isomorfismo de este tipo requiere una cierta elección, por ejemplo, la elección de una base de V. Esto también es cierto en el caso de que V sea un espacio de Hilbert, a través del teorema de representación de Riesz.

En todas las dualidades discutidas anteriormente, el dual de un objeto es del mismo tipo que el objeto mismo. Por ejemplo, el dual de un espacio vectorial es nuevamente un espacio vectorial. Muchas declaraciones de dualidad no son de este tipo. En cambio, tales dualidades revelan una relación cercana entre objetos de naturaleza aparentemente diferente. Un ejemplo de tal dualidad más general es el de la teoría de Galois. Para una extensión de Galois K / F fija, se puede asociar el grupo de Galois Gal(K/E) a cualquier campo intermedio E (es decir, F ⊆ E ⊆ K). Este grupo es un subgrupo del grupo de Galois G = Gal(K/F). Por el contrario, para cualquier subgrupo H ⊆ G existe el campo fijo K^H que consiste en elementos fijados por los elementos en H.

Comparado con lo anterior, esta dualidad tiene las siguientes características:

• Una extensión F ⊆ F′ de campos intermedios da lugar a una inclusión de grupos de Galois en la dirección opuesta: Gal(K/F′) ⊆ Gal(K/F).
• La asociación de Gal(K/E) a E y K^H a H es inversa entre sí. Este es el contenido del teorema fundamental de la teoría de Galois.

La construcción del espacio dual de vectores

${\displaystyle V^{*}=\operatorname {Hom} (V,K)}$

mencionado en la introducción es un ejemplo de tal dualidad. De hecho, el conjunto de morfismos, es decir, las aplicaciones lineales, forma un espacio vectorial en sí mismo. La aplicación V → V^** mencionada anteriormente siempre es inyectiva. Es suprayectiva, y por lo tanto un isomorfismo, si y solo si la dimension de V es finita. Este hecho caracteriza los espacios vectoriales de dimensión finita sin referirse a una base.

Un espacio vectorial V es isomorfo a V^∗ precisamente si V es de dimensión finita. En este caso, tal isomorfismo es equivalente a una forma bilineal no degenerada

${\displaystyle \varphi :V\times V\to K}$

En este caso, V se llama espacio prehilbertiano. Por ejemplo, si K es el campo de los números reales o de los números complejos, cualquier forma bilineal positiva definida da lugar a dicho isomorfismo. En geometría de Riemann, se toma V como el espacio tangente de una variedad y tales formas bilineales positivas se llaman variedades de Riemann. Su propósito es medir ángulos y distancias. Por lo tanto, la dualidad es una base fundamental de esta rama de la geometría. Otra aplicación de espacios con producto interno es el dual de Hodge, que proporciona una correspondencia entre los elementos del álgebra exterior. Para un espacio vectorial de dimensión n, el operador en estrella de Hodge aplica k-formas en (n − k)-formas. Esta propiedad se puede usar por ejemplo para formular las ecuaciones de Maxwell. De esta forma, la dualidad inherente a un espacio con producto interno permite intercambiar los roles del campo magnético y del campo eléctrico.

Un cuadrángulo completo, configuración de cuatro puntos y seis rectas en el plano proyectivo (izquierda) y su configuración dual, el cuadrilátero completo, con cuatro líneas y seis puntos (derecha).

En algunos planos proyectivos, es posible encontrar transformaciones geométricas que apliquen cada punto del plano proyectivo a una línea, y cada línea del plano proy.ectivo a un punto, de forma que se conservan las relaciones de incidencia.[9] Para tales planos surge un principio general de dualidad proyectiva: dado cualquier teorema en dicha geometría proyectiva plana, el intercambio de los términos «punto» y «recta» en todas partes da como resultado un nuevo teorema igualmente válido.[10] Un ejemplo simple es que la afirmación «dos puntos determinan una recta única, que pasa por estos puntos», tiene la declaración dual de que «dos rectas determinan un punto único, el punto de intersección de estas dos líneas rectas». Para ver más ejemplos, véase teoremas duales.

El espacio vectorial dual ofrece una explicación conceptual de este fenómeno en algunos planos (especialmente en los planos de campo). De hecho, los puntos en el plano proyectivo ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}}$ corresponden a subespacios vectoriales unidimensionales,${\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{3}}$[11] mientras que las líneas en el plano proyectivo corresponden a subespacios vectoriales ${\displaystyle W}$ de dimensión 2. La dualidad en tales geometrías proyectivas se deriva de la asignación a un ${\displaystyle V}$ unidimensional del subespacio de ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{3})^{*}}$ que consiste en esas aplicaciones lineales ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$ que satisfacen ${\displaystyle f(V)=0}$. Como consecuencia de la fórmula de dimensión del álgebra lineal, este espacio es bidimensional, es decir, corresponde a una línea recta en el plano proyectivo asociado a ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{3})^{*}}$.

La forma bilineal (definida positiva)

${\displaystyle \langle -,-\rangle$ :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ,\langle x,y\rangle =\sum _{i=1}^{3}x_{i}y_{i}}

produce una identidad de este plano proyectivo con el ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}}$. Concretamente, la dualidad asigna a ${\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{3}}$ su ortogonal ${\displaystyle \{w\in \mathbb {R} ^{3},\langle v,w\rangle =0{\text{ for all }}v\in V\}}$. Las fórmulas explícitas de la dualidad en la geometría proyectiva surgen por medio de esta identidad.

En el ámbito de los espacios vectoriales topológicos, existe una construcción similar, reemplazando el dual por el espacio vectorial dual topológico. Un espacio vectorial topológico que es canónicamente isomorfo a su bidual se llama espacio reflexivo. Por ejemplo, el dual de un espacio-L^p es L^q donde 1/p + 1/q = 1 proporciona ese 1 ≤ p < ∞, pero el dual de L^∞ es más grande que L¹. Por lo tanto, L¹ no es reflexivo.

Los espacios de Hilbert H están equipados con un producto interno 〈-, -〉. Como en el caso de dimensiones finitas, permite definir una aplicación

${\displaystyle H\to H^{*},v\mapsto (w\mapsto \langle v,w\rangle ).}$

El teorema de representación de Riesz afirma que esta aplicación es un isomorfismo, es decir, cada espacio de Hilbert es isomorfo a su dual.

Las distribuciones son funcionales lineales sobre espacios de funciones apropiados. Son un medio técnico importante en la teoría de ecuaciones en derivadas parciales: en lugar de resolverlas directamente, puede ser más fácil primero hallar soluciones en el "sentido débil", es decir, encontrar una distribución que las satisfaga y, segundo, demostrar que la solución debe ser, de hecho, una función.[12]

La red recíproca de una retícula L viene dada por

${\textstyle \operatorname {Hom} (L,\mathbf {Z} )}$,

que se usa en la construcción de variedades tóricas.[13] La dualidad de Pontryagin de compacidad local sobre grupos topológicos G viene dada por

${\textstyle \operatorname {Hom} (G,S^{1})}$,

homomorfismo de grupos continuo con valores en el círculo (con la multiplicación de números complejos como operación de grupo).

En otro grupo de dualidades, los objetos de una teoría se traducen en objetos de otra teoría y las aplicaciones entre objetos en la primera teoría se traducen en morfismos en la segunda teoría, pero con la dirección invertida. Usando el lenguaje de la teoría de categorías, esto equivale a un funtor entre dos categorías C y D:

F: C → D

que para dos objetos cualesquiera X e Y de C da una aplicación

Hom_C(X, Y) → Hom_D(F(Y), F(X))

Ese funtor puede ser o no ser una equivalencia de categorías. Hay varias situaciones, donde dicho funtor es una equivalencia entre una categoría opuesta C^op de C y D. Utilizando una dualidad de este tipo, cada enunciado de la primera teoría puede traducirse en una declaración dual en la segunda teoría, donde la dirección de todas las flechas debe invertirse.[14] Por lo tanto, cualquier dualidad entre las categorías C y D es formalmente la misma que una equivalencia entre C y D^op (C^op y D). Sin embargo, en muchas circunstancias, las categorías opuestas no tienen un significado inherente, lo que hace que la dualidad sea un concepto adicional separado.[15]

Una categoría que es equivalente a su dual se llama auto-dual. Un ejemplo de categoría autodual es la categoría de los espacios de Hilbert.[16]

Muchas nociones de teoría de categorías vienen en pares en el sentido de que se corresponden entre sí al considerar la categoría opuesta. Por ejemplo, el producto cartesiano Y₁ × Y₂ y la unión disjunta Y₁ ⊔ Y₂ de conjuntos son duales entre sí en el sentido de que

Hom (X, Y₁ × Y₂) = Hom (X, Y₁) × Hom (X, Y₂)

y

Hom (Y₁ ⊔ Y₂, X) = Hom (Y₁, X) × Hom (Y₂, X)

para cualquier conjunto X. Este es un caso particular de un fenómeno de dualidad más general, según el cual los límites en una categoría C corresponde al límite en la categoría opuesta C^op; otros ejemplos concretos de esto son los epimorfismo frente a los monomorfismos; el módulo factor en relación con el módulo; el producto directo frente a la suma directa (también llamado coproducto para enfatizar el aspecto de dualidad). Por lo tanto, en algunos casos, las pruebas de ciertas declaraciones se pueden reducir a la mitad, utilizando dicho fenómeno de dualidad. Otras nociones que muestran una dualidad categórica relacionada son el módulo proyectivo y el módulo inyectivo en álgebra homológica,[17] la fibración y la cofibración en topología y, en general, a la categoría de modelos.[18]

Dos funtores F: C → D y G: D → C son adjuntos si para todos los objetos c en C y d en D

Hom_D(F(c), d) ≅ Hom_C(c, G(d)),

de forma natural. En realidad, la correspondencia de límites y colímites es un ejemplo de adjuntos, ya que hay una adjunción

colim: C^I ↔ C: Δ

del funtor colímite que asigna a cualquier diagrama en C indexado por alguna categoría I su colímite y el funtor diagonal que asigna cualquier objeto c de C al diagrama constante que tiene c en todos los lugares. Dualmente,

Δ: C ↔ C^I: lim.

La dualidad de Gelfand es una dualidad entre C*-álgebras conmutativas A y espacios de Hausdorff compactos X con las mismas características: asigna a X el espacio de funciones continuas (que desaparecen en el infinito) de X a C, los números complejos. Por el contrario, el espacio X se puede reconstruir a partir de A como el espectro de A. Tanto la dualidad de Gelfand como la de Pontryagin se pueden deducir de una manera en gran parte formal, principalmente teórica, por categorías.[19]

En una línea similar hay una dualidad en geometría algebraica entre anillos conmutativos y sus espectros: para cada anillo conmutativo A hay un espectro afín, Espec A. Por el contrario, dado un esquema afín S, se recupera un anillo tomando secciones globales del espacio localmente anillado O_S. Además, los homomorfismo de anillos están en correspondencia uno a uno con morfismos de esquemas afines, y por lo tanto hay una equivalencia

(Anillos conmutativos)^op ≅ (esquemas afines)[20]

Los esquemas de afinidad son los componentes locales de estos esquemas. El resultado anterior, por lo tanto, dice que la teoría local de los esquemas es la misma que el álgebra conmutativa, el estudio de los anillos conmutativos.

La geometría no conmutativa se inspira en la dualidad de Gelfand y estudia las C*-algebras no conmutativas como si fueran funciones en un espacio imaginario. La dualidad de Tannaka-Krein es un análogo no-conmutativo de la dualidad de Pontryagin.[21]

En una serie de situaciones, las dos categorías que son duales entre sí surgen realmente de los conjuntos parcialmente ordenados, es decir, existe una noción de que un objeto es "más pequeño" que otro. Una dualidad que respeta los citados conceptos se conoce como una conexión de Galois. Un ejemplo es la dualidad estándar en la teoría de Galois mencionada en la introducción: una extensión de campo más grande corresponde -bajo la aplicación que asigna a cualquier extensión L ⊃ K (dentro de un campo fijo más grande Ω) el grupo de Galois Gal (Ω/L) - a un grupo más pequeño.[22]

La colección de todos los subconjuntos abiertos de un espacio topológico X forma un álgebra de Heyting completa. Existe una dualidad, conocida como dualidad de Stone, que conecta espacios sobrios y espacios locales.

• El teorema de representación de Birkhoff está relacionado con retículos distributivos y con conjuntos parcialmente ordenados.

La dualidad de Pontryagin se aplica sobre la categoría de grupos abelianos de compacidad local: dado cualquier grupo G de ese tipo, el grupo carácter

χ (G) = Hom (G, S¹)

dado por los homomorfismos grupales continuos de G sobre el grupo circular S¹ puede ser dotado con una topología abierta compacta. La dualidad de Pontryagin afirma que el grupo de caracteres es de nuevo localmente compacto abeliano y que

G ≅ χ (χ (G)).[23]

Además, los grupos discretos corresponden a grupos compactos abelianos; los grupos finitos corresponden a grupos finitos. Por un lado, la dualidad de Pontryagin es un caso especial de dualidad de Gelfand. Por otro lado, es la razón conceptual del análisis de Fourier, que figura a continuación.

La dualidad de Poincaré de una variedad compleja compacta y uniforme X está dada por un emparejamiento de cohomología singular con C-coeficientes (equivalentemente, el haz cohomólogo del haz constante C)

Hⁱ (X) ⊗ H²ⁿ⁻ⁱ (X) → C,

donde n es la dimensión (compleja) de X.[24] La dualidad de Poincaré también se puede expresar como una relación de homología singular y de cohomología de De Rham, al afirmar que la aplicación

${\displaystyle (\gamma ,\omega )\mapsto \int _{\gamma }\omega }$

(integrando una forma diferencial k sobre un ciclo 2n−k-(real)-dimensional) es un emparejamiento perfecto.

La dualidad de Poincaré también invierte dimensiones; corresponde al hecho de que, si una variedad topológica se representa como un cW-complejo, entonces el dual del complejo (una generalización de mayor dimensión del gráfico planar dual) representa la misma variedad. En la dualidad de Poincaré, este homeomorfismo se refleja en un isomorfismo del grupo homología y del grupo cohomología.

El mismo patrón de dualidad se cumple para una variedad projectiva uniforme sobre una clausura algebraica, utilizando una cohomología l-ádica con coeficientes Q_ℓ en su lugar.[25] Esto se generaliza más en las variedades singulares, usando cohomología de intersección, una dualidad llamada dualidad de Verdier.[26] La dualidad de Serre o dualidad coherente son similares a las declaraciones anteriores, pero se aplica a la cohomología de haces coherentes en su lugar.[27]

Con el aumento del nivel de generalidad, resulta que una cantidad cada vez mayor de conocimientos técnicos es útil o necesaria para comprender estos teoremas: la formulación moderna de estas dualidades se puede llevar a cabo utilizando categorías derivadas y ciertos funtores de haces directos e inversos (con respecto a la topología analítica clásica de variedades para la dualidad de Poincaré, haces l-ádicos y topología de propagación en el segundo caso, y con respecto a haces coherentes para la dualidad coherente).

Otro grupo de declaraciones de dualidad similares se encuentra en la aritmética: la cohomología de propagación finita, local y de campos globales (también conocida como cohomología de Galois, ya que la cohomología de propagación sobre un campo es equivalente a la cohomología de grupo del campo del grupo de Galois absoluto) admite emparejamientos similares. El grupo de Galois absoluto G (F _q) de un campo finito, por ejemplo, es isomorfo a ${\displaystyle {\hat {\mathbf {Z} }}}$, el grupo profinito de Z, los números enteros. Por lo tanto, el emparejamiento perfecto (para cualquier G-módulo M)

Hⁿ (G, M) × H¹⁻ⁿ (G, Hom (M, Q/Z)) → Q/Z [28]

es una consecuencia directa de la dualidad de Pontryagin de grupos finitos. Para los campos locales y globales, existen sentencias similares (como la dualidad local de Tate y la dualidad de Poitou-Tate).[29]

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