Espace de Sobolev

Soient Ω un ouvert quelconque de ℝⁿ, p ∈ [1, +∞] et m un entier naturel. On définit l'espace de Sobolev W^m,p(Ω) par

${\displaystyle W^{m,p}(\Omega )=\{u\in \mathrm {L} ^{p}(\Omega )~|~\forall \alpha {\text{ tel que }}|\alpha |\leq m,~D^{\alpha }u\in \mathrm {L} ^{p}(\Omega )\}}$

où α est un multi-indice, D^αu est une dérivée partielle de u au sens faible (au sens des distributions) et L^p désigne un espace de Lebesgue.

On munit cet espace vectoriel W^m,p de la norme suivante :

${\displaystyle \|u\|_{W^{m,p}}={\begin{cases}\left(\sum \limits _{|\alpha |\leq m}\|D^{\alpha }u\|_{\mathrm {L} ^{p}}^{p}\right)^{1/p}&{\text{si }}1\leq p<+\infty ,\\\max \limits _{|\alpha |\leq m}\|D^{\alpha }u\|_{\mathrm {L} ^{\infty }}&{\text{si }}p=+\infty ,\end{cases}}}$

où ║ ║_L^p désigne la norme des espaces de Lebesgue.

Dans le cas où p est un réel, le théorème de Meyers-Serrin donne une définition équivalente, par complétion de l'espace vectoriel normé

${\displaystyle \{u\in C^{\infty }(\Omega )~|~\|u\|_{H^{m,p}}<\infty \}}$

avec

${\displaystyle \|u\|_{H^{m,p}}:=\left(\sum _{|\alpha |\leq m}\|D^{\alpha }u\|_{\mathrm {L} ^{p}}^{p}\right)^{1/p}}$

où D^αu est une dérivée partielle de u au sens classique (u ∈ C^∞(Ω)).

On a le même résultat en remplaçant C^∞(Ω) par C^m(Ω).

• Muni de cette norme, W^m,p(Ω) est un espace de Banach[1].

• Dans le cas où p est fini, c'est aussi un espace séparable.
• On montre aisément que l'application${\displaystyle u\mapsto \sum \limits _{|\alpha |\leq m}\|D^{\alpha }u\|_{\mathrm {L} ^{p}}}$est une norme équivalente à la précédente (que p soit fini ou pas). Ces normes sont notées indifféremment ║ ║_W^m,p ou ║ ║_m,p.

Dans le cas p = 2, les espaces de Sobolev ont un intérêt particulier car il s'agit alors d'espaces de Hilbert. Leur norme est induite par le produit intérieur suivant :

${\displaystyle \left(u,v\right)_{m}=\sum \limits _{0\leq |\alpha |\leq m}\left(D^{\alpha }u,D^{\alpha }v\right),}$

où${\displaystyle \left(u,v\right)=\int _{\Omega }u(x){\overline {v(x)}}~\mathrm {d} x}$ est le produit intérieur dans L²(Ω), produit scalaire dans le cas réel, hermitien dans le cas complexe. Dans ce cas, pour désigner l'espace de Sobolev, on utilise une notation spéciale :

${\displaystyle H^{m}(\Omega )=W^{m,2}(\Omega ).}$

De plus, dans le cas où la transformation de Fourier peut être définie dans L²(Ω), l'espace H^m(Ω) peut être défini de façon naturelle à partir de la transformée de Fourier.

• Par exemple si Ω = ℝⁿ, grâce à l'identité de Parseval, on vérifie aisément que si ${\displaystyle \scriptstyle {\widehat {u}}}$ est la transformée de Fourier de u :${\displaystyle H^{m}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)=\left\lbrace u\in \mathrm {L} ^{2}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)~\left|~\int _{\mathbb {R} ^{n}}|{\hat {u}}(\xi )|\xi |^{\alpha }|^{2}\mathrm {d} \xi \;<\infty {\text{ pour }}|\alpha |\leq m\right.\right\rbrace }$ou ce qui est équivalent :${\displaystyle H^{m}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)=\left\lbrace u\in \mathrm {L} ^{2}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)~\left|~\int _{\mathbb {R} ^{n}}|{\hat {u}}(\xi )|^{2}\left(1+|\xi |^{2}\right)^{m}\mathrm {d} \xi \;<\infty \right.\right\rbrace }$et que${\displaystyle \left(u,v\right)_{m}:=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {u}}\left(\xi \right){\overline {{\hat {v}}(\xi )}}\left(1+|\xi |^{2}\right)^{m}\mathrm {d} \xi }$est un produit hermitien équivalent à celui défini plus haut.
• Ou encore si Ω = ]0, 1[, on vérifie que :${\displaystyle H^{m}(\left]0,1\right[)=\left\{u\in \mathrm {L} ^{2}(]0,1[)~\left|~\sum _{n\in \mathbb {Z} }(1+n^{2})^{m}|{\widehat {u}}_{n}|^{2}<\infty \right.\right\}}$où ${\displaystyle \scriptstyle {\widehat {u}}_{n}}$ est la série de Fourier de u.
  Là encore, le résultat se déduit aisément de l'identité de Parseval et du fait que la dérivation revient à multiplier le coefficient de Fourier par in.
  On voit qu'une fonction de H^m(Ω) est caractérisée par une décroissance suffisamment rapide de ses coefficients de Fourier.

Une première approche pour définir les espaces de Sobolev d'ordre fractionnaire consiste à utiliser la méthode d'interpolation complexe. (Ci-dessous une autre méthode, dite d'interpolation réelle sera utilisée pour la caractérisation des traces des espaces de Sobolev.)

L'interpolation complexe est une technique générale qui permet, à partir de deux espaces de Banach, d'en construire un troisième par interpolation. Plus précisément, soient deux espaces de Banach X et Y qui sont tous les deux inclus par injection continue dans un autre espace de Banach, alors, pour tout t tel que 0 ≤ t ≤ 1, on peut construire un espace interpolé noté : [X,Y]_t. (Les espaces X et Y forment la « paire d'interpolation ».)

Pour s non entier, compris entre deux entiers l et m, l < s < m, on définit l'espace de Sobolev

${\displaystyle W^{s,p}=\left[W^{l,p},W^{m,p}\right]_{\frac {s-l}{m-l}}.}$

Nous devons vérifier que cette définition est cohérente, ce qui est assuré par le résultat suivant :

On a ainsi construit de façon cohérente un continuum d'espaces entre les W^m,p. En fait, on utilise cette méthode pour définir les espaces W^s,p(ℝⁿ). Pour un domaine quelconque suffisamment régulier, on procède ensuite à partir de W^s,p(ℝⁿ) grâce à des opérateurs de prolongement.

• On s'intéresse d'abord ici au cas où p = 2 et Ω = ℝⁿ.

Dans ce cas, l'espace de Sobolev H^s(ℝⁿ), s ≥ 0, peut être défini grâce à la transformée de Fourier :

${\displaystyle H^{s}(\mathbb {R} ^{n})=\left\{u\in \mathrm {L} ^{2}(\mathbb {R} ^{n})\left|\int _{\mathbb {R} ^{n}}(1+|\xi |^{2})^{s}|{\hat {u}}(\xi )|^{2}\,\mathrm {d} \xi <+\infty \right.\right\}.}$

H^s(ℝⁿ) est un espace de Hilbert muni de la norme :

${\displaystyle \|u\|_{H^{s}}^{2}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}(1+|\xi |^{2})^{s}|{\hat {u}}(\xi )|^{2}\,\mathrm {d} \xi .}$

On montre que l'espace obtenu est le même que par la méthode d'interpolation. Cette définition peut être utilisée pour tout domaine sur lequel la transformée de Fourier peut être définie. Pour un domaine quelconque suffisamment régulier, on procède ensuite à partir de H^s(ℝⁿ) grâce à des opérateurs de prolongement.

• Cas où p = 2 et Ω ⊂ ℝⁿ quelconque.

On peut alors caractériser les espaces de Sobolev d'ordre fractionnaire H^s(Ω) grâce au produit intérieur donné par : ${\displaystyle (u,v)_{H^{s}(\Omega )}=(u,v)_{H^{k}((\Omega )}+\sum _{|\alpha |=k}\int _{\Omega }\int _{\Omega }{\frac {(D^{\alpha }u(x)-D^{\alpha }u(y))(D^{\alpha }v(x)-D^{\alpha }v(y))}{|x-y|^{n+2T}}}\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y,}$

où s = k + T, k est un entier tel que 0 < T < 1 et n est la dimension du domaine ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$. La norme induite est essentiellement l'analogue pour L² de la continuité au sens de Hölder. Ici encore cette définition est équivalente aux définitions précédentes.

• Cas où p est différent de 2 et Ω = ]0, 1[.

Dans ce cas, l'égalité de Parseval ne tient plus, mais la dérivation correspond à une multiplication de la transformée de Fourier et peut être généralisée à des ordres non entiers. Dans ce but, on définit un opérateur D^s de dérivation d'ordre fractionnaire s par :

${\displaystyle D^{s}u=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(\mathrm {i} n)^{s}{\widehat {u}}(n)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} nt}.}$

En d'autres termes, il s'agit de prendre la transformée de Fourier, de la multiplier par (in)^s et de prendre la transformée de Fourier inverse (les opérateurs définis par la séquence : transformation de Fourier – multiplication – transformation inverse de Fourier sont appelés des multiplicateurs de Fourier (en) et sont actuellement un sujet de recherches en eux-mêmes). Cet opérateur nous permet alors de définir la norme de Sobolev de H^s(]0, 1[) par :

${\displaystyle \|u\|_{s,p}=\|u\|_{p}+\|D^{s}u\|_{p}}$

et de définir l'espace de Sobolev H^s(]0, 1[) comme l'espace des fonctions pour lesquelles cette norme est finie.

• Cas des espaces H^s
  Soit s > 1/2. Si Ω est un ouvert dont la frontière ∂Ω est suffisamment régulière, alors on peut définir un opérateur de trace T qui à une fonction u de H^s(Ω) associe sa trace, sa restriction sur la frontière de Ω : ${\displaystyle Tu=u|_{\partial \Omega }.}$

Une hypothèse simple qui satisfasse la condition de régularité est que ∂Ω soit uniformément C^m pour m ≥ s. Ainsi défini, cet opérateur de trace T a pour domaine de définition H^s(Ω) et son image est précisément H^s–1/2(∂Ω). En fait, T est d'abord défini pour les fonctions indéfiniment dérivables et cette définition est ensuite étendue par continuité à tout l'ensemble H^s(Ω). De façon informelle, on peut dire que l'on perd en régularité « une demi-dérivée » en prenant la trace d'une fonction de H^s(Ω).

• Cas des espaces W^s,p, pour p différent de 2
  Définir la trace d'une fonction de W^s,p est un travail considérablement plus difficile et demande d'utiliser la technique d'interpolation réelle. Les espaces images obtenus sont des espaces de Besov.

De façon informelle, on peut dire que l'on perd en régularité 1/p^ème de dérivée en prenant la trace d'une fonction de W^s,p(Ω).

Soit Ω un ouvert de ℝⁿ suffisamment régulier (par exemple Ω est borné et sa frontière est localement Lipschitz), alors il existe un opérateur de prolongement P qui applique les fonctions définies sur Ω en fonctions définies sur ℝⁿ de telle sorte que :

1. Pu(x) = u(x) pour presque tout x de Ω et
2. P est un opérateur continu de W^m,p(Ω) dans W^m,p(ℝⁿ), pour tout p ∈ [1, ∞] et tout entier m.

P est appelé opérateur de prolongement de Ω. Comme nous l'avons vu ci-dessus, les opérateurs de prolongement sont utiles pour définir les espaces W^s,p(Ω) et H^s(Ω). En effet, une fois W^s,p(ℝⁿ) et H^s(ℝⁿ) définis, on pose alors ${\displaystyle W^{s,p}(\Omega )=\{u\in \mathrm {L} ^{p}(\Omega )\mid Pu\in W^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})\}}$ et ${\displaystyle H^{s}(\Omega )=\{u\in \mathrm {L} ^{2}(\Omega )\mid Pu\in H^{s}(\mathbb {R} ^{n})\}.}$

Soit Ω un ouvert de ℝⁿ et soit C^∞
_c(Ω) l'espace des fonctions C^∞ à support compact dans Ω.

Dans le cas particulier Ω = ℝⁿ, ce sous-espace de W^m,p(Ω) est dense pour tout p ∈ [1, +∞[[2].

On note W^s,p
₀(Ω) (respectivement H^s
₀(Ω)) l'adhérence de C^∞
_c(Ω) pour la norme de W^s,p(Ω) (respectivement, celle de H^s(Ω)).

Quand Ω a une frontière régulière, H¹
₀(Ω) peut donc être décrit comme l'espace des fonctions de H¹(Ω) qui s'annulent au sens des traces. En dimension 1 (n = 1), si Ω = ]a, b[ est un intervalle borné, alors H¹
₀(]a, b[) est l'ensemble des fonctions u continues sur [a, b] de la forme : ${\displaystyle u(x)=\int _{a}^{x}u'(t)\,\mathrm {d} t,\quad x\in [a,b]}$ dont la dérivée généralisée u' appartient à L²(]a, b[) et a une intégrale nulle de telle sorte que u(a) = u(b) = 0.

Si Ω  est borné, l'inégalité de Poincaré dit qu'il existe une constante C = C(Ω) telle que ${\displaystyle \int _{\Omega }|u|^{2}\leq C^{2}\,\int _{\Omega }|\nabla u|^{2},\quad u\in H_{0}^{1}(\Omega ).}$

Lorsque Ω est borné, l'injection de H¹
₀(Ω) dans L²(Ω) est compacte, ce qui joue un rôle dans l'étude du problème de Dirichlet, et dans le fait qu'il existe une base orthonormée de L²(Ω) formée de vecteurs propres de l'opérateur de Laplace (avec des conditions aux limites de Dirichlet).

Si ${\displaystyle u\in H_{0}^{s}(\Omega )}$, de façon naturelle, on peut définir son extension par zéro en dehors de Ω, notée ${\displaystyle {\tilde {u}}\in \mathrm {L} ^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$, de la façon suivante : ${\displaystyle {\tilde {u}}(x)=u(x)}$ si ${\displaystyle x\in \Omega }$, et 0 sinon.

Notons C^m,p(M) l'espace des fonctions u : M → ℝ de classe C^m telles que ∇^ku ∈ L^p(M) pour 0 ≤ k ≤ m. L'espace de Sobolev W^m,p(M) est la complétion de C^m,p(M) pour la norme :

${\displaystyle \|u\|_{m,p}=\sum _{k=0}^{m}\|\nabla ^{k}u\|_{p}.}$

Cette définition est cohérente avec celle donnée par le théorème de Meyers-Serrin. En effet, un ouvert Ω de ℝⁿ est muni de la métrique riemannienne induite par la structure euclidienne naturelle de ℝⁿ.

• Pour une variété riemannienne complète, les fonctions C^∞ à support compact sont denses dans W^1,p(M)[3].
• Pour une variété riemannienne complète de rayon d'injectivité strictement positif et de courbure sectionnelle bornée, les fonctions C^∞ à support compact sont denses dans W^m,p(M) pour m ≥ 2[3].

L'espace de Sobolev W^s,∞ est par définition identique à l'espace de Hölder C^n,α où s = n + α, n ∈ ℕ et 0 < α ≤ 1. C'est donc une algèbre normée.

Nous sommes ici dans le cas d'une variété de dimension 1, le cercle unité, noté S¹. Dans ce cas, l'espace de Sobolev W^s,p est défini comme étant le sous-ensemble des fonctions u de L^p telles que u et ses dérivées au sens faible jusqu'à un ordre k ont une norme L^p, pour p donné, p ≥ 1. Comme nous sommes en dimension 1, cela revient à dire que les k – 1 premières dérivées de la fonction u, notées u^{k – 1}, sont dérivables presque partout et sont égales à l'intégrale au sens de Lebesgue de leur dérivée. Cet espace de Sobolev admet une norme naturelle : ${\displaystyle \|u\|_{k,p}=\left(\sum _{i=0}^{k}\|u^{(i)}\|_{p}^{p}\right)^{1/p}=\left(\sum _{i=0}^{k}\int |u^{(i)}(t)|^{p}\,\mathrm {d} t\right)^{1/p}.}$ L'espace W^k,p(S¹), équipé de cette norme ${\displaystyle \|\cdot \|_{k,p}}$, est un espace de Banach. De fait, il suffit de prendre en compte le premier et le dernier terme de la somme, ce qui veut dire que la norme : ${\displaystyle \|u^{(k)}\|_{p}+\|u\|_{p}}$ est équivalente à la norme ci-dessus.

• Cas de la dimension 1
  W^1,1(]0, 1[) est l'espace des fonctions absolument continues sur l'intervalle ]0, 1[.
• Cas de la dimension n
  En dimension supérieure à 1, il n'est plus vrai que W^1,1 contient seulement des fonctions continues. Par exemple, ${\displaystyle {\frac {1}{|x|}}\in W^{1,1}(B^{3})}$ où B³ est la boule unité de ℝ³.

• (en) Mikhail S. Agranovich (en), Sobolev Spaces, Their Generalizations and Elliptic Problems in Smooth and Lipschitz Domains, Springer, 2015 (DOI 10.1007/978-3-319-14648-5, lire en ligne)
• (en) L. C. Evans, Partial Differential Equations, AMS, 1998
• (en) S. M. Nikol'skii, « Imbedding theorems », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
• (en) S. M. Nikol'skii, « Sobolev space », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
• Jean-Michel Kantor, « Mathématiques d’Est en Ouest – Théorie et pratique : l’exemple des distributions », dans Gazette de la SMF, n° 100, avril 2004, p. 33-43
• (en) S. L. Sobolev, « On a theorem of functional analysis », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 2, n° 34, 1963, p. 39–68 – Mat. Sb., vol. 4, 1938, p. 471-497
• (en) S. L. Sobolev, Some Applications of Functional Analysis in Mathematical Physics, AMS, 1963 (lire en ligne)
• (en) E. Stein, Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, PUP, 1970 (ISBN 0-691-08079-8), aperçu sur Google Livres
• (en) Luc Tartar, An Introduction to Sobolev Spaces and Interpolation, Springer, 2007 (ISBN 978-3-540-71482-8) DOI:10.1007/978-3-540-71483-5, aperçu sur Google Livres

• Espace d'interpolation
• Espaces de Sobolev pour des domaines du plan (en)
• Formulation faible
• Inégalité d'interpolation de Gagliardo-Nirenberg

Jérôme Droniou, « Quelques résultats sur les espaces de Sobolev », sur HAL (Hyperarticles en ligne), 2001

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