Mathématiques de la relativité générale

Une distinction importante en physique consiste à considérer la différence entre les structures locale et globale. Les mesures en physique sont effectuées dans une région de l'espace-temps relativement petite. On comprend alors pourquoi étudier la structure locale de l'espace-temps en relativité générale, alors que déterminer la topologie de l'espace-temps a du sens, spécialement en cosmologie afin de déterminer la structure globale de l'espace-temps.

Certaines quantités physiques peuvent être représentées par des tenseurs dont tous les composants ne sont pas indépendants. On peut notamment citer les exemples des tenseurs symétriques et antisymétriques. Les tenseurs antisymétriques sont couramment utilisés pour représenter des rotations (par exemple, le tenseur de vorticité).

Bien qu'un tenseur générique de rang ${\displaystyle R}$ et de dimension 4 ait ${\displaystyle 4^{R}}$ composants, des contraintes sur ce tenseur telles que la symétrie ou l'antisymétrie permettent de réduire le nombre de composants distincts. Par exemple, un tenseur de rang 2 ${\displaystyle T}$ symétrique vérifie ${\displaystyle T_{ab}=T_{ba}}$ et possède 10 composants indépendants, alors qu'un tenseur de rang 2 ${\displaystyle P}$ antisymétrique vérifie ${\displaystyle P_{ab}=-P_{ba}}$ et possède 6 composants indépendants. Pour des rangs supérieurs à 2, les paires d'index symétriques et antisymétriques doivent être explicitement identifiés.

Les tenseurs antisymétriques de rang 2 jouent des rôles importants en théorie de la relativité. L'ensemble de tous ces tenseurs – souvent appelés bivecteurs – forment un espace vectoriel de dimension 6, parfois appelé espace bivectoriel.

Le tenseur métrique est un objet central en relativité générale. Il décrit la géométrie locale de l'espace-temps (en tant que résultat de la résolution de l'équation d'Einstein). En utilisant l'approximation des champs faibles, la métrique peut aussi être considérée comme la représentation d'un potentiel gravitationnel.

Bien que comparer des vecteurs en différents points ne soit généralement pas un processus bien défini, une connexion affine ${\displaystyle \nabla }$ est une règle qui décrit comment déplacer de manière légitime un vecteur le long d'une courbe de la variété sans changer sa direction (en le gardant parallèle à lui-même), d'où la terminologie de transport parallèle.

La connexion affine est une application linéaire faisant correspondre à deux champs de vecteurs (${\displaystyle {\vec {X}}}$et ${\displaystyle {\vec {Y}}}$) un troisième champ. Si ce champ s'annule, ${\displaystyle {\vec {X}}}$est dit être transporté parallèlement le long de ${\displaystyle {\vec {Y}}}$ – ceci exprime que le vecteur pointe toujours dans la même direction le long d'une courbe intégrale du champ ${\displaystyle {\vec {Y}}}$. Cette connexion affine ainsi permet de définir la notion de transport parallèle. La torsion d'une connexion est un champ de vecteurs continu. Si la torsion s'annule, la connexion est dite sans torsion ou plus communément symétrique.

Une connexion affine importante est la connexion de Levi-Civita, qui est une connexion symétrique qui résulte du transport parallèle d'un vecteur tangent le long d'une courbe tout en conservant la norme de ce vecteur le long de la courbe. Les coefficients de connexion résultant sont appelés symboles de Christoffel et peuvent être calculés directement à partir de la métrique. Pour cette raison, ce type de connexion est souvent appelé une connexion métrique.

Le champ de vecteurs ${\displaystyle \nabla _{\vec {Y}}{\vec {X}}}$ est appelé la dérivée covariante de ${\displaystyle {\vec {X}}}$ le long de ${\displaystyle {\vec {Y}}}$ et peut être exprimé dans n'importe quel système de coordonnées en définissant au préalable les fonctions ${\displaystyle \Gamma _{ji}^{k}}$, appelées les coefficients de connexion :

${\displaystyle \nabla _{e_{i}}e_{j}=\Gamma _{ji}^{k}e_{k}}$

Malgré la première apparence, les coefficients de connexion ne sont pas les composants d'un tenseur.

Dans un système de coordonnées, la dérivée covariante de X le long de Y est alors

${\displaystyle \nabla _{\vec {Y}}{\vec {X}}=X^{a}{}_{;b}Y^{b}{\frac {\partial }{\partial x^{a}}}=(X^{a}{}_{,b}+\Gamma _{bc}^{a}X^{c})Y^{b}{\frac {\partial }{\partial x^{a}}}}$

L'expression entre parenthèses, appelée la dérivée covariante de ${\displaystyle X}$ relativement à la connexion et notée ${\displaystyle \nabla {\vec {X}}}$ est plus souvent utilisée dans les calculs :

${\displaystyle \nabla {\vec {X}}=X^{a}{}_{;b}{\frac {\partial }{\partial x^{a}}}\otimes \mathrm {d} x^{b}=(X^{a}{}_{,b}+\Gamma _{bc}^{a}X^{c}){\frac {\partial }{\partial x^{a}}}\otimes \mathrm {d} x^{b}}$

La dérivée covariante de X peut ainsi être vue comme un opérateur différentiel agissant sur un champ de vecteurs et lui faisant correspondre un champ de tenseurs de type (1,1) (augmentant l'index de covariance de 1). Elle peut être généralisée pour agir sur des champs de tenseurs de type ${\displaystyle (r,s)}$ et lui faisant correspondre un champ de tenseurs de type ${\displaystyle (r,s+1)}$. La notion de transport parallèle peut alors être définie de la même manière que dans le cas des champs vectoriels.

La dérivée de Lie est une autre dérivée de tenseur importante. Tandis que la dérivée covariante nécessite une connexion affine pour permettre la comparaison entre des vecteurs en différents points, la dérivée de Lie utilise la congruence d'un champ de vecteurs pour répondre au même besoin. L'idée de faire glisser une fonction le long d'une congruence amène à la définition de la dérivée de Lie, où une fonction « glissée » est comparée à la valeur de la fonction originale en un point donné. La dérivée de Lie peut être définie pour des champs de tenseurs de type ${\displaystyle (r,s)}$ et peut être vue comme une carte qui associe un tenseur type ${\displaystyle (r,s)}$ à un autre tenseur de type ${\displaystyle (r,s)}$.

La dérivée de Lie est généralement notée ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$, où ${\displaystyle X}$ est le champ de vecteurs dont la congruence de la dérivée de Lie est extraite.

En relativité générale on peut exprimer une forme locale de la conservation de l'énergie-impulsion. Elle est exprimée sous forme condensée par l'équations suivante

${\displaystyle T^{ab}{}_{;b}=0}$

L'équation analogue dans le cadre de la relativité restreinte s'écrit quant à elle

${\displaystyle T^{ab}{}_{,b}=0}$

Ce qui illustre la règle selon laquelle en relativité générale les dérivées partielles correspondent à des dérivées covariantes.

Mathématiquement, la force de gravitation de Newton dérive d'une énergie potentielle. Le potentiel de gravitation associé à cette énergie potentielle obéit à l'équation de Poisson, qui n'est pas covariante sous transformation de Lorentz. La théorie de la gravitation de Newton n'est donc pas compatible avec le principe fondamental de relativité restreinte énoncé par Einstein en 1905.

Ce principe étant supposé avoir une validité universelle, Einstein va chercher une théorie de la gravitation qui soit compatible avec lui. Le résultat de sa quête est la théorie de la relativité générale.

Notre perception intuitive nous indique que l'espace-temps apparait régulier et continu, c'est-à-dire « sans trous ». Mathématiquement, ces propriétés vont se traduire par le fait que l'espace-temps sera modélisé par une variété différentielle lisse[2] à 4 dimensions ${\displaystyle M_{4}}$, c'est-à-dire un espace à 4 dimensions pour lequel le voisinage de chaque point ressemble localement à un espace euclidien à 4 dimensions.

La variété différentielle[4] ${\displaystyle M}$ est munie d'une métrique lorentzienne définie par un tenseur métrique ${\displaystyle \mathbf {g} }$, et constitue ainsi une variété lorentzienne, qui constitue un cas particulier de variété pseudo-riemannienne (le qualificatif « lorentzienne » sera précisé plus loin dans le texte ; cf. métrique lorentzienne).

Soit un système de coordonnées quelconque ${\displaystyle x^{\mu }}$ autour d'un point ${\displaystyle P}$, et soient ${\displaystyle {\mathbf {e} }_{\mu }(x)}$ une base locale de ${\displaystyle T_{x}M}$, espace tangent à la variété au point ${\displaystyle x\in M}$. Un vecteur tangent ${\displaystyle \mathbf {w} \in T_{x}M}$ s'écrit alors comme la combinaison linéaire :

${\displaystyle \mathbf {w} \ =\ w^{\mu }\ \mathbf {e} _{\mu }}$

Les ${\displaystyle w^{\mu }}$ sont appelée les composantes contravariantes du vecteur ${\displaystyle \mathbf {w} }$. Le tenseur métrique ${\displaystyle \mathbf {g} }$ est la forme bilinéaire symétrique :

${\displaystyle \mathbf {g} \ =\ g_{\mu \nu }(x)\ \mathrm {d} x^{\mu }\ \otimes \mathrm {d} x^{\nu }}$

où ${\displaystyle \mathrm {d} x^{\mu }}$ désigne la base duale de ${\displaystyle {\mathbf {e} }_{\mu }(x)}$ dans l'espace cotangent ${\displaystyle T_{x}^{*}M}$, c'est-à-dire la forme linéaire sur ${\displaystyle T_{x}M}$ telle que :

${\displaystyle \mathrm {d} x^{\nu }({\mathbf {e} }_{\mu })\ =\ \delta _{\mu }^{\nu }}$

Les composantes ${\displaystyle g_{\mu \nu }(x)}$ du tenseur métrique varient de manière continue dans l'espace-temps[5].

Le tenseur métrique peut ainsi être représenté par une matrice 4×4 réelle symétrique :

${\displaystyle g_{\mu \nu }\ =\ g_{\nu \mu }}$

Or, toute matrice 4×4 réelle possède a priori 4 × 4 = 16 éléments indépendants. La condition de symétrie réduit ce nombre à 10 : il reste en effet les 4 éléments diagonaux, auxquels il faut ajouter (16 − 4)/2 = 6 éléments non diagonaux. Le tenseur ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ possède donc seulement 10 composantes indépendantes.

Le tenseur métrique définit pour chaque point ${\displaystyle x\in M}$ de la variété un pseudo-produit scalaire (pseudo au sens où l'hypothèse de positivité est retirée ; cf. métrique lorentzienne) dans l'espace ${\displaystyle T_{x}M}$ euclidien tangent à ${\displaystyle M}$ au point ${\displaystyle x}$. Si ${\displaystyle \mathbf {u} }$ et ${\displaystyle \mathbf {v} }$ sont deux vecteurs de ${\displaystyle T_{x}M}$, leur produit scalaire s'écrit :

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} \ =\ \mathbf {g} (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )\ =\ g_{\mu \nu }\ u^{\mu }\ v^{\nu }}$

En particulier, en prenant deux vecteurs de base, on obtient les composantes :

${\displaystyle g_{\mu \nu }\ =\ \mathbf {g} ({\mathbf {e} }_{\mu },{\mathbf {e} }_{\nu })\ =\ {\mathbf {e} }_{\mu }\cdot {\mathbf {e} }_{\nu }}$

Remarque : ${\displaystyle w^{\mu }}$ désignant les composantes contravariantes du vecteur ${\displaystyle \mathbf {w} }$, on peut définir de même ses composantes covariantes par :

${\displaystyle w_{\mu }\ =\ \mathbf {w} \ \cdot \mathbf {e} _{\mu }}$

Considérons le vecteur déplacement élémentaire ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {P} \ =\ \epsilon ^{\mu }\ \mathbf {e} _{\mu }}$ entre le point ${\displaystyle P}$ et un point infiniment voisin : ${\displaystyle |\epsilon ^{\mu }|\ll 1}$. Sa norme infinitésimale invariante est le nombre réel noté ${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}}$, et on a :

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}\ =\ g_{\mu \nu }(x)\ \epsilon ^{\mu }\ \epsilon ^{\nu }}$

Si l'on note « à la physicienne » ${\displaystyle \epsilon ^{\mu }=\mathrm {d} x^{\mu }}$ les composantes du vecteur déplacement élémentaire, la longueur infinitésimale s'écrit formellement :

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}\ =\ g_{\mu \nu }(x)\ \mathrm {d} x^{\mu }\ \mathrm {d} x^{\nu }}$

Attention : dans cette formule, ${\displaystyle \mathrm {d} x^{\mu }}$ représente un nombre réel qui s'interprète physiquement comme la « variation infinitésimale » de la coordonnée ${\displaystyle x^{\mu }}$, et non une forme différentielle !

Précisons maintenant l'expression lorentzienne, qui signifie que le tenseur métrique est de signature (1,3). Le principe d'équivalence assure qu'on peut effacer localement un champ de gravitation en prenant un système de coordonnées localement inertiel bien choisi. Dans un tel système de coordonnées localement inertiel ${\displaystyle X^{\alpha }}$ autour du point ${\displaystyle P}$ précédent, l'invariant ${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}}$ s'écrit :

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}\ =\ \eta _{\alpha \beta }\ \mathrm {d} X^{\alpha }\ \mathrm {d} X^{\beta }\ =\ -\ c^{2}\,\mathrm {d} T^{2}\,+\,\mathrm {d} X^{2}\,+\,\mathrm {d} Y^{2}\,+\,\mathrm {d} Z^{2}}$

où ${\displaystyle \eta _{\alpha \beta }}$ est la métrique plate de Minkowski. On adopte ici la convention de signe MTW[3] :

${\displaystyle \eta _{\alpha \beta }\ =\ \mathrm {diag} \ (-,\,+,\,+,\,+\,)}$

On utilisera ici les conventions usuelles suivantes :

• un indice grec varie de 0 à 3. Il est associé à une grandeur dans l'espace-temps.
• un indice latin varie de 1 à 3. Il est associé aux composantes spatiales d'une grandeur dans l'espace-temps.

Par exemple, le 4-vecteur position s'écrit dans un système de coordonnées localement inertiel :

${\displaystyle X^{\alpha }\ =\ \left({\begin{matrix}X^{0}\\X^{i}\end{matrix}}\right)\ =\ \left({\begin{matrix}X^{0}\\X^{1}\\X^{2}\\X^{3}\end{matrix}}\right)\ =\ \left({\begin{matrix}c\,T\\X\\Y\\Z\end{matrix}}\right)}$

Le caractère lorentzien de la variété ${\displaystyle M}$ assure ainsi que l'espace euclidien tangent à ${\displaystyle M}$ possède en chaque point un pseudo-produit scalaire (pseudo au sens où l'hypothèse de positivité est retirée) ayant 3 valeurs propres strictement positives (associées à l'espace) et une valeur propre strictement négative (associée au temps). En particulier, l'intervalle élémentaire de temps propre séparant deux évènements vérifie :

${\displaystyle \mathrm {d} \tau ^{2}\ =\ -\ {\frac {\mathrm {d} s^{2}}{c^{2}}}\ >\ 0}$

Comparer des vecteurs en différents points n'est généralement pas un processus bien défini. Une connexion affine est donc une règle qui décrit comment déplacer de manière légitime un vecteur le long d'une courbe de la variété sans changer sa direction, i.e. en le gardant parallèle à lui-même.

D'une manière générale, on appelle connexion ${\displaystyle \nabla }$ un opérateur qui associe à un champ de vecteurs ${\displaystyle \mathbf {V} }$ du fibré tangent ${\displaystyle TM}$ un champ d'endomorphismes ${\displaystyle \nabla \mathbf {V} }$ de ce fibré. Si ${\displaystyle {\mathbf {w} }\in T_{x}M}$ est un vecteur tangent au point ${\displaystyle x\in M}$, on note usuellement :

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {w} }\ \mathbf {V} (x)\ =\ \nabla \mathbf {V} (x,\mathbf {w} )}$

On dit que ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {w} }\ \mathbf {V} }$ est la dérivée covariante du vecteur ${\displaystyle \mathbf {V} }$ dans la direction ${\displaystyle {\mathbf {w} }}$. On impose de plus à ${\displaystyle \nabla \mathbf {V} }$ de vérifier la condition supplémentaire que, pour toute fonction ${\displaystyle f}$, on ait :

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {w} }(f\mathbf {V} )\ =\ f\ \nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {V} \ +\mathrm {d} f(\mathbf {w} )\ \mathbf {V} }$

La dérivée covariante vérifie les deux propriétés de linéarité suivantes :

• linéarité en ${\displaystyle w}$, c'est-à-dire que, quels que soient les champs de vecteurs ${\displaystyle w}$ et ${\displaystyle u}$ et les nombres réels ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$, on ait :${\displaystyle \nabla _{(a\mathbf {w} +b\mathbf {u} )}\mathbf {V} \ =\ a\ \nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {V} \ +\ b\ \nabla _{\mathbf {u} }\mathbf {V} }$

• linéarité en ${\displaystyle V}$, c'est-à-dire que, quels que soient les champs de vecteurs ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$ et les nombres réels ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$, on ait :${\displaystyle \nabla _{\mathbf {w} }(a\mathbf {X} +b\mathbf {Y} )\ =\ a\ \nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {X} \ +b\ \nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {Y} }$

Une fois que la dérivée covariante est définie pour les champs de vecteurs, elle peut être étendue aux champs tensoriels en utilisant la règle de Leibniz : si ${\displaystyle \mathbf {T} }$ et ${\displaystyle \mathbf {S} }$ sont deux tenseurs quelconques, on impose que :

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {w} }(\mathbf {T} \otimes \mathbf {S} )\ =\ (\nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {T} )\otimes \mathbf {S} \ +\ \mathbf {T} \otimes (\nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {S} )}$

La dérivée covariante d'un champ de tenseurs le long d'un vecteur ${\displaystyle \mathbf {w} }$ est à nouveau un champ de tenseurs du même type.

On définit la connexion de Levi-Civita comme étant l'unique connexion vérifiant en plus des conditions précédentes que, pour tous champs de vecteurs X, Y, Z de TM, on ait :

• ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {X} }(\mathbf {g} (\mathbf {Y} ,\mathbf {Z} ))\ =\ \mathbf {g} (\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {Y} ,\mathbf {Z} )\ +\ \mathbf {g} (\mathbf {Y} ,\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {Z} )}$ (parallélisme).
• ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {Y} \ -\ \nabla _{\mathbf {Y} }\mathbf {X} \ =\ [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]}$, où ${\displaystyle [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]}$ est le crochet de Lie de X et Y (torsion nulle).

La dérivée covariante d'un vecteur est un vecteur, et peut ainsi être exprimée comme une combinaison linéaire de tous les vecteurs de base :

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {w} }V\ =\ \left[\,\nabla _{\mathbf {w} }V\,\right]^{\rho }\ \mathbf {e} _{\rho }\ =\ \Gamma ^{\rho }\ \mathbf {e} _{\rho }}$

où ${\displaystyle \Gamma ^{\rho }}$ représente la composante du vecteur dérivée covariante dans la direction ${\displaystyle \mathbf {e} _{\rho }}$ (cette composante dépend du vecteur ${\displaystyle \mathbf {w} }$ choisi).

Pour décrire la dérivée covariante il suffit de décrire celle de chacun des vecteurs de base ${\displaystyle \mathbf {e} _{\nu }}$ le long de la direction ${\displaystyle \mathbf {e} _{\mu }}$. On définit alors les symboles de Christoffel ${\displaystyle \Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }}$ dépendants de 3 indices[6] par :

${\displaystyle \nabla _{\mu }{\mathbf {e} }_{\nu }\ =\ \nabla _{{\mathbf {e} }_{\mu }}{\mathbf {e} }_{\nu }\ =\ \Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }\ {\mathbf {e} }_{\rho }}$

La connexion de Levi-Civita est entièrement caractérisée par ces symboles de Christoffel. Appliquons en effet la formule générale :

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {w} }(f\mathbf {V} )\ =\ f\ \nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {V} \ +\ \mathrm {d} f(\mathbf {w} )\ \mathbf {V} }$

sous la forme :

${\displaystyle \nabla _{\mu }\mathbf {V} \ =\ \nabla _{\mu }(V^{\nu }\mathbf {e} _{\nu })\ =\ V^{\nu }\ (\nabla _{\mu }\mathbf {e} _{\nu })\ +\ \mathrm {d} V^{\nu }(\mathbf {e} _{\mu })\ \mathbf {e} _{\nu }}$

Sachant que ${\displaystyle \mathrm {d} V^{\nu }(\mathbf {e} _{\mu })=\partial _{\mu }V^{\nu }}$, on obtient :

${\displaystyle \nabla _{\mu }\mathbf {V} \ =\ V^{\nu }\ \Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }\ {\mathbf {e} }_{\rho }\ +\ \partial _{\mu }V^{\nu }\ \mathbf {e} _{\nu }}$

Le premier terme de cette formule décrit la « déformation » du système de coordonnées par rapport à la dérivée covariante, et le second les changements de coordonnées du vecteur ${\displaystyle \mathbf {V} }$. Les indices sommés étant muets, on peut réécrire cette formule sous la forme :

${\displaystyle \nabla _{\mu }\mathbf {V} \ =\ \left[\,V^{\rho }\ \Gamma ^{\nu }{}_{\mu \rho }\ +\ \partial _{\mu }V^{\nu }\,\right]\ \mathbf {e} _{\nu }}$

On en déduit la formule importante pour les composantes :

${\displaystyle \nabla _{\mu }\mathbf {V} ^{\nu }\ =\ \left[\,\nabla _{\mu }\mathbf {V} \,\right]^{\nu }\ =\ \partial _{\mu }V^{\nu }\ +\ \Gamma _{~\mu \rho }^{\nu }\ V^{\rho }}$

En utilisant la formule de Leibniz, on démontrerait de même que :

${\displaystyle \nabla _{\mu }\mathbf {V} _{\nu }\ =\ \partial _{\mu }V_{\nu }\ -\ \Gamma _{~\mu \nu }^{\rho }\ V_{\rho }}$

Pour calculer explicitement ces composantes, les expressions des symboles de Christoffel doivent être déterminées à partir de la métrique. On les obtient aisément en écrivant les conditions suivantes :

${\displaystyle \nabla _{\mu }\ \mathbf {g} _{\nu \rho }\ =\ 0}$

Le calcul explicite de cette dérivée covariante conduit à :

${\displaystyle \Gamma ^{\mu }{}_{\rho \sigma }\ =\ {\frac {1}{2}}\ g^{\mu \nu }\ \left(\partial _{\sigma }g_{\nu \rho }\ +\ \partial _{\rho }g_{\nu \sigma }\ -\ \partial _{\nu }g_{\rho \sigma }\right)}$

où ${\displaystyle g^{\mu \nu }\ }$ sont les composantes du tenseur métrique inverse, définies par les équations :

${\displaystyle g^{\mu \nu }\ g_{\nu \rho }\ =\ \delta ^{\mu }{}_{\rho }}$

Les symboles de Christoffel ont une symétrie par rapport aux indices du bas : ${\displaystyle \Gamma ^{\mu }{}_{\rho \sigma }=\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \rho }.\ }$

Remarque : on définit parfois aussi les symboles suivants :

${\displaystyle \Gamma _{\nu \rho \sigma }\ =\ {\frac {1}{2}}\ \left(\partial _{\sigma }g_{\nu \rho }\ +\ \partial _{\rho }g_{\nu \sigma }\ -\ \partial _{\nu }g_{\rho \sigma }\right)}$

tels que :

${\displaystyle \Gamma ^{\mu }{}_{\rho \sigma }\ =\ g^{\mu \nu }\ \Gamma _{\nu \rho \sigma }}$

Le tenseur de courbure de Riemann ${\displaystyle \mathbf {R} }$ est le tenseur d'ordre 4 défini pour tous champs de vecteurs X, Y, Z de ${\displaystyle M}$ par :

${\displaystyle \mathbf {R} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )\mathbf {Z} \ =\ \nabla _{\mathbf {X} }\,(\nabla _{\mathbf {Y} }\mathbf {Z} )\ -\ \nabla _{\mathbf {Y} }\,(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {Z} )\ -\ \nabla _{[\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]}\mathbf {Z} }$

Ses composantes s'écrivent explicitement en termes de la métrique :

${\displaystyle R_{\mu \nu \rho \sigma }\ =\ {\frac {1}{2}}\left(\partial _{\nu \rho }^{2}g_{\mu \sigma }\ +\ \partial _{\mu \sigma }^{2}g_{\nu \rho }\ -\ \partial _{\nu \sigma }^{2}g_{\mu \rho }\ -\ \partial _{\mu \rho }^{2}g_{\nu \sigma }\right)\ +\ g_{\lambda \tau }\left(\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \rho }\Gamma ^{\tau }{}_{\mu \sigma }\ -\ \Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \sigma }\Gamma ^{\tau }{}_{\mu \rho }\right)}$

Les symétries de ce tenseur sont :

${\displaystyle R_{\mu \nu \rho \sigma }\ =\ R_{\rho \sigma \mu \nu }\ }$

${\displaystyle R_{\mu \nu \rho \sigma }\ =\ -\ R_{\nu \mu \rho \sigma }\ =\ -\ R_{\mu \nu \sigma \rho }}$

Il vérifie de plus la relation :

${\displaystyle R_{\mu \nu \rho \sigma }\ +\ R_{\mu \sigma \nu \rho }\ +\ R_{\mu \rho \sigma \nu }\ =\ 0}$

Le tenseur de Ricci est le tenseur d'ordre 2 défini par contraction du tenseur de courbure de Riemann :

${\displaystyle R_{\mu \nu }\ =\ g^{\rho \sigma }\ R_{\rho \mu \sigma \nu }\ =\ R_{~\mu \sigma \nu }^{\sigma }}$

Ses composantes s'écrivent explicitement en fonction de la métrique :

${\displaystyle R_{\mu \nu }\ =\ \partial _{\rho }\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }\ -\ \partial _{\nu }\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \rho }\ +\ \Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }\Gamma ^{\sigma }{}_{\rho \sigma }\ -\ \Gamma ^{\sigma }{}_{\mu \rho }\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }}$

Ce tenseur est symétrique : ${\displaystyle R_{\mu \nu }\ =\ R_{\nu \mu }\ }$.

La courbure scalaire est l'invariant défini par contraction du tenseur de Ricci avec la métrique :

${\displaystyle R\ =\ g^{\mu \nu }\ R_{\mu \nu }\ =\ R_{~\nu }^{\nu }}$

L’équation complète du champ gravitationnel, qu'on appelle l'équation d'Einstein, s’écrit :

${\displaystyle R_{\mu \nu }\ -\ {\frac {1}{2}}\,g_{\mu \nu }\,R\ +\ \Lambda \ g_{\mu \nu }\ =\ {\frac {8\pi G}{c^{4}}}\ T_{\mu \nu }}$

où ${\displaystyle \Lambda }$ est la constante cosmologique, ${\displaystyle c}$ est la vitesse de la lumière dans le vide, ${\displaystyle G}$ est la constante gravitationnelle qui apparaît aussi dans la loi de la gravitation newtonienne, et ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ le tenseur énergie-impulsion.

Cette équation est parfois présentée avec le signe "moins" devant le membre de droite et/ou devant la constante cosmologique. Cela dépend des conventions d'auteurs prises pour la signature du tenseur métrique (avec échanges du tenseur g en -g et du scalaire R en -R) et pour la définition du tenseur de courbure et du tenseur de Ricci (avec échanges du tenseur R en -R et du scalaire R en -R).

Cette présentation est conforme aux conventions de signe classiques de Misner, Thorne et Wheeler (MTW, Gravitation, 1973), avec une signature (-, +, +, +), un tenseur de courbure défini par Rⁱjkl = Γⁱjl,k + ..., et un tenseur de Ricci défini par Rij = R^kikj.

Ces conventions sont également utilisées par Caroll (Spacetime and Geometry, 2004), Hartle (Gravity, 2003), Hawking & Ellis (The large scale structure of space-time, 1973) et Poisson (A Relativist's Toolkit, The Mathematics of Black-Hole Mechanics, 2004).

Le tenseur symétrique ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ possédant 10 composantes indépendantes, l'équation tensorielle d'Einstein est équivalente à un système de 10 équations scalaires indépendantes. Ce système aux dérivées partielles non linéaires couplées est le plus souvent très difficile à étudier.

Le tenseur énergie-impulsion peut s'écrire sous la forme d'une matrice 4×4 réelle symétrique :

${\displaystyle T_{\mu \nu }\ =\ \left({\begin{matrix}T_{00}&T_{01}&T_{02}&T_{03}\\T_{10}&T_{11}&T_{12}&T_{13}\\T_{20}&T_{21}&T_{22}&T_{23}\\T_{30}&T_{31}&T_{32}&T_{33}\end{matrix}}\right)}$

On y retrouve les grandeurs physiques suivantes :

• T₀₀ est la densité volumique d'énergie. Elle est positive.
• T₁₀, T₂₀, T₃₀ sont les densités de moments.
• T₀₁, T₀₂, T₀₃ sont les flux d'énergie.
• La sous-matrice 3×3 des composantes spatiale-spatiale :

${\displaystyle T_{ik}\ =\ \left({\begin{matrix}T_{11}&T_{12}&T_{13}\\T_{21}&T_{22}&T_{23}\\T_{31}&T_{32}&T_{33}\end{matrix}}\right)}$

est la matrice des flux de moments. En mécanique des fluides, sa diagonale correspond à la pression, et les autres composantes correspondent aux efforts tangentiels dus à la viscosité.

Pour un fluide au repos, le tenseur énergie-impulsion se réduit à la matrice diagonale ${\displaystyle \mathrm {diag} (\rho c^{2},p,p,p)}$ où ${\displaystyle \rho }$ est la masse volumique et ${\displaystyle p}$ la pression hydrostatique.

• Laurent Baulieu, Introduction à la relativité générale, cours d'introduction donné à l'École polytechnique par un chercheur du Laboratoire de physique théorique des hautes énergies de l'université Paris 6 (Fichier pdf — 53 pages.)
• Éric Gourgoulhon, Relativité générale, cours de Master 2^e année, Observatoire de Paris et Universités Paris 6, Paris 7 et Paris 11 (fichier PDF — 188 pages)

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