Théorie évolutive des jeux

La théorie classique des jeux non coopératifs a été conçue par John von Neumann pour déterminer les stratégies optimales dans les compétitions entre adversaires. Une compétition implique des joueurs, qui ont tous un choix de coups. Les jeux peuvent être à un seul tour ou répétitifs. L'approche qu'un joueur adopte pour effectuer ses mouvements constitue sa stratégie. Les règles régissent le résultat des coups des joueurs, et les résultats produisent des gains pour les joueurs ; les règles et les gains qui en résultent peuvent être exprimés sous forme d'arbres de décision ou de matrice de gains. La théorie classique exige que les joueurs fassent des choix rationnels. Chaque joueur doit tenir compte de l'analyse stratégique que font ses adversaires pour faire son propre choix de coups[4]^,[5].

Le biologiste mathématicien John Maynard Smith a modélisé la théorie évolutive des jeux.

La théorie des jeux évolutifs est née du problème de l'explication du comportement rituel des animaux dans une situation de compétition : « pourquoi les animaux sont-ils si "gentleman ou ladylike" dans les compétitions pour des ressources ? » Les éminents éthologues Niko Tinbergen et Konrad Lorenz ont proposé qu'un tel comportement existe car il profite à l'espèce. John Maynard Smith a estimé que cela était incompatible avec la pensée darwinienne[6], où la sélection se fait au niveau individuel, de sorte que l'intérêt personnel est récompensé alors que la recherche du bien commun ne l'est pas. Maynard Smith, en tant que biologiste mathématicien, s'est tourné vers la théorie des jeux suggérée par George Price, bien que les tentatives de Richard Lewontin d'utiliser cette théorie aient échoué[7].

Maynard Smith a réalisé qu'une version évolutive de la théorie des jeux n'exige pas des joueurs qu'ils agissent de manière rationnelle, mais seulement qu'ils aient une stratégie. Les résultats d'un jeu montrent à quel point cette stratégie était bonne, tout comme l'évolution teste des stratégies alternatives pour la capacité à survivre et à se reproduire. En biologie, les stratégies sont des traits héréditaires qui contrôlent l'action d'un individu, par analogie avec les programmes informatiques. Le succès d'une stratégie est déterminé par la qualité de celle-ci en présence de stratégies compétitives (y compris elle-même), et par la fréquence à laquelle ces stratégies sont utilisées[8]. Maynard Smith a décrit son travail dans son livre Evolution and the Theory of Games (Évolution et Théorie des Jeux)[9].

Les participants visent à produire autant de répliques d'eux-mêmes qu'ils le peuvent, et le gain est exprimé en unités d'aptitude (valeur relative de la capacité de reproduction). C'est toujours un jeu multijoueurs avec de nombreux compétiteurs. Les règles incluent la dynamique des réplicateurs, en d'autres termes comment les joueurs les plus aptes vont engendrer plus de répliques d'eux-mêmes dans la population et comment les moins aptes seront éliminés, dans une équation de réplicateur. La dynamique des réplicateurs modélise l'hérédité mais pas la mutation, et suppose une reproduction asexuée par souci de simplicité. Les jeux se déroulent de manière répétitive, sans conditions de fin. Les résultats incluent la dynamique des changements dans la population, le succès des stratégies et les états d'équilibre atteints. Contrairement à la théorie classique des jeux, les joueurs ne choisissent pas leur stratégie et ne peuvent pas la changer : ils naissent avec une stratégie et leur progéniture hérite de cette même stratégie[10].

La théorie évolutive des jeux analyse les mécanismes darwiniens à l'aide d'un modèle de système comportant trois composantes principales : la population, le jeu et la dynamique des réplicateurs. Le processus du système comporte quatre phases : (1) le modèle (comme l'évolution elle-même) traite d'une population P(n) (population n) ; la population affichera une variation entre les individus en compétition ; dans la maquette, cette compétition est représentée par le jeu ; (2) le jeu teste les stratégies des individus selon les "règles du jeu" (game rules) ; les règles produisent des gains différents (en unités de fitness = taux de production de la progéniture) ; les individus qui participent à ces compétitions se rencontrent par paires avec d'autres, généralement dans une condition de répartition très mixte de la population ; le mélange des stratégies dans la population affecte les résultats des gains en modifiant les chances que tout individu puisse se retrouver dans des compétitions avec diverses stratégies ; les personnes quittent le concours par paires avec une aptitude déterminée par le résultat du concours, représenté dans une matrice de gains ; (3) sur la base de cette aptitude résultante, chaque membre de la population est ensuite soumis à une réplication (replicator rules) ou à une élimination déterminée par les mathématiques exactes du processus de la dynamique des réplicateurs ; ce processus global produit alors une nouvelle génération P(n+1) ; chaque individu survivant a désormais un nouveau niveau de forme physique déterminé par le résultat du jeu ; (4) la nouvelle génération (population n+1) prend alors la place de la précédente et le cycle se répète ; la composition de la population peut converger vers un état stable sur le plan de l'évolution qui ne peut être envahi par aucune stratégie mutante.

La théorie évolutive des jeux englobe l'évolution darwinienne, y compris la compétition (le jeu), la sélection naturelle (dynamique des réplicateurs) et l'hérédité. La théorie des jeux évolutifs a contribué à la compréhension de la sélection de groupe, de la sélection sexuelle, de l'altruisme, des soins parentaux, de la co-évolution et de la dynamique écologique. De nombreuses situations contre-intuitives dans ces domaines ont été mises sur une base mathématique solide par l'utilisation de ces modèles[11].

La façon habituelle d'étudier la dynamique de l'évolution dans les jeux est d'utiliser des équations de réplicateurs. Elles montrent le taux de croissance de la proportion d'organismes utilisant une certaine stratégie et ce taux est égal à la différence entre le gain moyen de cette stratégie et le gain moyen de la population dans son ensemble[12]. Les équations de réplicateurs continus supposent des populations infinies, un temps continu, un mélange complet et que les stratégies se reproduisent. Les attracteurs (points fixes stables) des équations sont équivalents à des états stables sur le plan de l'évolution. Une stratégie qui peut survivre à toutes les stratégies "mutantes" est considérée comme stable sur le plan de l'évolution. Dans le contexte du comportement animal, cela signifie généralement que ces stratégies sont programmées et fortement influencées par la génétique, rendant ainsi la stratégie de tout acteur ou organisme déterminée par ces facteurs biologiques[13]^,[14].

Les jeux évolutifs sont des objets mathématiques qui ont des règles, des gains et des comportements mathématiques différents. Chaque "jeu" représente différents problèmes auxquels les organismes doivent faire face, et les stratégies qu'ils pourraient adopter pour survivre et se reproduire. Les jeux évolutifs reçoivent souvent des noms originaux et recouvrent des histoires qui décrivent la situation générale d'un jeu particulier. Parmi les jeux représentatifs, citons le jeu du poulet,[1] la guerre d'usure,[15] la chasse au cerf, la situation producteur-profiteur, la tragédie des biens communs et le dilemme du prisonnier. Les stratégies de ces jeux comprennent le Faucon (Faucon), le Bourgeois (Bourgeois), l'Essayeur (Prober), l'Assesseur (Assessor) et le Riposteur (Retaliator). Les différentes stratégies s'affrontent selon les règles du jeu en question, et les mathématiques sont utilisées pour déterminer les résultats et les comportements.

Solution du jeu Faucon-Colombe (Hawk-Dove) pour V=2, C=10 et la base de départ B=4. L'aptitude d'un Faucon à s'adapter à différents mélanges de populations est représentée par une ligne noire, celle de la Colombe par une ligne rouge. Une ESS (un point fixe) existera lorsque la condition physique des Faucons et des Colombes est égale : les Faucons représentent 20% de la population et les Colombes 80% de la population.

Le premier jeu que Maynard Smith a analysé est le jeu classique Faucon-Colombe (ou jeu du poulet ; l'appellation Faucon-Colombe a été choisie par Maynard Smith à partir de descriptions de visions politiques courantes pendant la guerre du Vietnam). Il a été conçu pour analyser le problème de Lorenz et Tinbergen, qui décrit une compétition pour une ressource partageable. Les concurrents peuvent être soit Faucon, soit Colombe. Il s'agit de deux sous-types ou morphes d'une même espèce avec des stratégies différentes. Le Faucon fait d'abord preuve d'agressivité, puis la situation tourne au combat jusqu'à ce qu'il gagne ou soit blessé (perd). La Colombe affiche d'abord son agressivité, mais si elle est confrontée à une escalade majeure (envers le combat), elle s'enfuit pour se mettre à l'abri. Si elle n'est pas confrontée à une telle escalade, la colombe tente de partager la ressource[1].

Si on donne à la ressource une valeur V, les dommages causés par la perte d'un combat ont un coût C[1] :

• si un Faucon rencontre une Colombe, il obtient toute la ressource V pour lui ;
• si un Faucon rencontre un Faucon, la moitié du temps il gagne, la moitié du temps il perd...donc son résultat moyen est alors V/2 – C/2 ;
• si une Colombe rencontre un Faucon, elle se retire et n'obtient rien, soit 0 ;
• si une Colombe rencontre une Colombe, les deux partagent la ressource et obtiennent V/2.

Le gain réel dépend toutefois de la probabilité de rencontrer un Faucon ou une Colombe, qui à son tour est une représentation du pourcentage de Faucons et de Colombes dans la population lorsqu'une compétition particulière a lieu. Cela est à son tour déterminé par les résultats de toutes les compétitions précédentes. Si le coût de perdre C est supérieur à la valeur de gagner V (la situation normale dans la nature), les mathématiques aboutissent à une stratégie stable du point de vue de l'évolution (ESS pour Evolutionary Stable Strategy en anglais), un mélange des deux stratégies où la population des Faucons est V/C. La population régresse jusqu'à ce point d'équilibre si de nouveaux Faucons ou Colombes viennent perturber temporairement la population. La solution du jeu Faucon-Colombe explique pourquoi la plupart des compétitions entre animaux n'impliquent que des comportements de combat rituel dans ces compétitions, plutôt que des combats purs et simples. Le résultat ne dépend pas du tout du bon comportement de l'espèce comme le suggère Lorenz, mais uniquement de l'implication des actions de gènes dits égoïstes[1].

Guerre d'usure pour différentes valeurs de la ressource. Notez le temps qu'il faut pour qu'une accumulation de 50% des participants abandonne par rapport à la valeur (V) de la ressource pour laquelle ils sont en compétition.

Dans le jeu Faucon-Colombe, la ressource est partageable, ce qui donne des gains aux deux Colombes qui se rencontrent dans une compétition par paire. Lorsque la ressource n'est pas partageable, mais qu'une ressource alternative peut être disponible en faisant marche arrière et en essayant ailleurs, les stratégies pures de Faucon ou Colombe sont moins efficaces. Si une ressource non partageable est combinée à un coût élevé de perte d'un concours (blessure ou décès possible), les gains de Faucon et Colombe sont encore plus réduits. Une stratégie plus sûre, consistant à afficher un moindre coût, à bluffer et à attendre de gagner, est alors viable – une stratégie de bluff. Le jeu devient alors celui de l'accumulation des coûts, qu'il s'agisse des coûts d'affichage ou des coûts d'un engagement prolongé non résolu. Il s'agit en fait d'une enchère ; le gagnant est le concurrent qui va gober le coût le plus élevé tandis que le perdant obtient le même coût que le gagnant mais aucune ressource[15]. Les mathématiques de la théorie évolutive des jeux qui en résultent conduisent à une stratégie optimale de bluff chronométré[16].

En effet, dans la guerre d'usure, toute stratégie qui est inébranlable et prévisible est instable, car elle sera finalement remplacée par une stratégie mutante qui repose sur le fait qu'elle peut mieux que la stratégie prévisible existante investir un petit delta supplémentaire de ressources d'attente pour s'assurer qu'elle gagne. Par conséquent, seule une stratégie aléatoire et imprévisible peut se maintenir dans une population de Bluffeurs. Les concurrents choisissent en effet un coût acceptable à engager en fonction de la valeur de la ressource recherchée, en faisant effectivement une offre aléatoire dans le cadre d'une stratégie mixte (une stratégie où un concurrent a quelques, voire plusieurs, actions possibles dans sa stratégie). Cela met en œuvre une distribution des offres pour une ressource de valeur spécifique V, où l'offre pour un concours spécifique est choisie au hasard dans cette distribution. La distribution (une ESS) peut être calculée en utilisant le théorème de Bishop-Cannings, qui s'applique à toute ESS à stratégie mixte[17]. La fonction de distribution dans ces concours a été déterminée par Parker et Thompson comme étant :

${\displaystyle p(x)={\frac {e^{-x/V}}{V}}.}$

Il en résulte que la population cumulée des Quitteurs pour un coût particulier m dans cette solution de "stratégie mixte" est :

${\displaystyle p(m)=1-e^{-m/V},}$

comme le montre le graphique ci-contre. Le sentiment intuitif selon lequel une plus grande valeur de la ressource recherchée entraîne des temps d'attente plus longs se confirme. Cela s'observe dans la nature, comme chez les mouches à fumier mâles qui se disputent les sites de reproduction, où le moment du désengagement dans les compétitions est tel que prédit par les mathématiques de la théorie de l'évolution[18].

Dans la guerre d'usure, rien ne doit signaler à l'adversaire la taille d'une offre, sinon l'adversaire peut utiliser la réplique dans une contre-stratégie efficace. Il existe cependant une stratégie mutante qui peut mieux convenir à un bluffeur dans le jeu de la guerre d'usure si une asymétrie appropriée existe, la stratégie bourgeoise. Le Bourgeois utilise une sorte d'asymétrie pour sortir de l'impasse. Dans la nature, une telle asymétrie est la possession d'une ressource. La stratégie consiste à jouer comme un Faucon s'il est en possession de la ressource, mais à s'afficher puis à battre en retraite s'il n'en a pas en possession. Cela nécessite une plus grande capacité cognitive que Faucon, mais Bourgeois est commun dans de nombreuses compétitions d'animaux, comme dans les compétitions chez les crevettes-mantes et de papillons des bois mouchetés.

Alternatives pour l'interaction sociale en théorie des jeux

Des jeux comme Faucon-Colombe et Guerre d'Usure représentent une pure compétition entre individus et n'ont pas d'éléments sociaux associés. Lorsque des influences sociales s'appliquent, les compétiteurs ont quatre alternatives possibles pour l'interaction stratégique. Cela est illustré sur la figure ci-contre à gauche, où un signe "+" représente un avantage et un signe "–" un coût.

La figure de droite montre deux exemples de stratégies animales assimilables abordées dans le cadre de la théorie évolutive des jeux : en examinant les comportements, puis en déterminant à la fois les coûts et la valeur des ressources obtenues dans une compétition, la stratégie supposée d'un organisme peut être de ce fait confirmée.

• Dans une relation de coopération ou mutualiste, le "donneur" et le "bénéficiaire" sont presque indissociables, car tous deux tirent un avantage de la coopération, c'est-à-dire que le couple se trouve dans une situation où ils peuvent tous deux tirer profit de l'exécution d'une certaine stratégie, ou bien ils doivent tous deux agir de concert en raison de contraintes globales qui les placent effectivement "dans le même bateau".

• Dans une relation altruiste, le donneur, fournit un avantage au receveur, avec un coût pour lui-même. Dans le cas général, le receveur aura un lien de parenté avec le donneur et le don est à sens unique. Les comportements où les bénéfices sont donnés alternativement (dans les deux sens) à un coût, sont souvent qualifiés d'altruistes, mais à l'analyse, un tel "altruisme" peut être considéré comme découlant de stratégies "égoïstes" optimisées.
• La malveillance (spite) est essentiellement une forme "inversée" d'altruisme où un allié est aidé en nuisant à son (ses) concurrent(s). Le cas général est que l'allié est apparenté (phylogénétiquement) et que le bénéfice retiré est un environnement compétitif plus épanouissant pour l'allié[A 1].
• L'égoïsme (selfishness) est le critère de base de tout choix stratégique du point de vue de la théorie des jeux – les stratégies qui ne visent pas l'autosurvie et l'autoreproduction ne sont pas viables sur la durée lors d'un jeu. Cependant, cette situation est d'autant plus critique que la concurrence s'exerce à plusieurs niveaux – c'est-à-dire au niveau génétique, individuel et collectif.

Les ouvrières de l'espèce de fourmi australienne Iridomyrmex purpureus (toujours femelles) ont pour valeur de parenté : 0,5 avec leur mère ou père ; 0,5 avec leurs sœurs ; 0,75 avec leurs propres enfants ; 0,25 avec leurs frères. Il est donc plus avantageux pour un individu de cette espèce d'aider à produire une sœur que d'avoir soi-même un enfant.

Chez les insectes eusociaux, les ouvriers perdent leurs droits de reproduction au profit de leur reine. Il a été suggéré que la sélection des parents, basée sur la composition génétique de ces ouvriers, pourrait les prédisposer à un comportement altruiste[23]. La plupart des sociétés d'insectes eusociaux ont une détermination sexuelle haplodiploïde, ce qui signifie que les ouvriers sont exceptionnellement proches les uns des autres[24].

Cette explication de l'eusocialité des insectes a cependant été contestée par quelques théoriciens des jeux évolutifs très réputés comme Nowak et Wilson[25] qui ont publié une explication alternative controversée de la théorie évolutive des jeux basée sur un développement séquentiel et des effets de sélection de groupe proposés pour ces espèces d'insectes[26].

Une difficulté de la théorie de l'évolution, reconnue par Darwin lui-même, était le problème de l'altruisme. Si la base de sélection se situe au niveau individuel, l'altruisme n'a aucun sens. Mais la sélection universelle au niveau du groupe (pour le bien de l'espèce et non de l'individu) ne passe pas le test mathématique de la théorie des jeux et n'est certainement pas le cas général dans la nature[27]. Pourtant, chez de nombreux animaux sociaux, le comportement altruiste existe. La solution à ce paradoxe peut être trouvée dans l'application de la théorie évolutive des jeux au jeu du dilemme du prisonnier – un jeu qui teste les avantages de la coopération ou de la désertion de la coopération. C'est certainement le jeu le plus étudié de toute la théorie des jeux[28].

L'analyse du dilemme du prisonnier est comme un jeu répétitif. Cela donne aux compétiteurs la possibilité de se venger de leur défection lors des tours précédents du jeu. De nombreuses stratégies ont été testées ; les meilleures stratégies compétitives sont la coopération générale avec une riposte réservée si nécessaire[29]. La plus célèbre et l'une des plus réussies est "un prêté pour un rendu" qui peut se modéliser par un algorithme simple.

procedure tit-for-tat
EventBit:=Trust;

do while Contest=ON;
    if Eventbit=Trust then
        Cooperate 
    else
        Defect;
    
    if Opponent_Move=Cooperate then 
        EventBit:=Trust 
    else 
        Eventbit:=NOT(Trust);
end;

Le gain pour un tour de jeu est défini par la matrice de gain pour un tour de jeu unique (indiqué dans le diagramme à barres numéro 1 ci-dessous). Dans les jeux à plusieurs tours, les différents choix – Coopérer ou Défection – peuvent être pris à n'importe quel tour, entraînant un certain gain. Toutefois, ce sont les éventuels gains cumulés sur plusieurs tours qui comptent dans la détermination des gains globaux pour différentes stratégies à plusieurs tours telles que "un prêté pour un rendu".

Les gains dans deux variétés de jeu de dilemme du prisonnier. Dilemme du prisonnier : coopérer ou trahir ? Bénéfice_{[tentation de trahir vs coopération]} > Bénéfice_{[coopération mutuelle]} Bénéfice_{[trahison mutuelle]} > Bénéfice_{[le pigeon coopère mais l'opposant le trahit]}

Exemple 1 : Le jeu simple du dilemme du prisonnier à un tour. Le jeu classique du dilemme du prisonnier donne au joueur un maximum de gains s'il fait défection (trahison) et si son partenaire coopère (ce choix est connu sous le nom de tentation). Si toutefois le joueur coopère et que son partenaire est défaillant, il obtient le pire résultat possible (les "pigeons" payent). Dans ces conditions, le meilleur choix (un équilibre de Nash) est de faire défection.

Exemple 2 : Le dilemme du prisonnier joué sur plusieurs tours. La stratégie employée est le "un prêté pour un rendu" qui modifie les comportements en fonction de l'action entreprise par un partenaire lors du tour précédent – c'est-à-dire récompenser la coopération et punir la défection. L'effet de cette stratégie sur les gains accumulés au cours de nombreux tours est de produire un gain plus élevé pour la coopération des deux joueurs et un gain plus faible pour la défection. Cela supprime la tentation de faire défection. Le gain des "pigeons" devient également moindre, bien que "l'invasion" par une pure stratégie de défection ne soit pas entièrement éliminée.

Il y a altruisme lorsqu'un individu, à un coût C pour lui-même, exerce une stratégie qui procure un avantage B à un autre individu. Le coût peut consister en une perte de capacité ou de ressource qui contribue à la lutte pour la survie et la reproduction, ou en un risque supplémentaire pour sa propre survie. Les stratégies d'altruisme peuvent se manifester par :

Matrice des gains pour le jeu Faucon-Colombe avec l'ajout de la stratégie de l'évaluateur. Celui-ci "étudie son adversaire", se comportant comme un faucon lorsqu'il est jumelé à un adversaire qu'il juge "plus faible", comme une colombe lorsque l'adversaire semble plus grand et plus fort. Le fait de jouer comme Assesseur est une ESS, car l'Assessur peut envahir les populations de faucons et de colombes, et peut résister à l'invasion de mutants de faucons ou de colombes.

La stratégie évolutivement stable (SSE ou ESS en anglais) s'apparente à l'équilibre de Nash dans la théorie classique des jeux, mais avec des critères mathématiquement étendus. L'équilibre de Nash est un équilibre de jeu où il n'est pas rationnel pour un joueur de s'écarter de sa stratégie actuelle, à condition que les autres adhèrent à leurs stratégies. Une ESS est une dynamique d'état de jeu où, dans une très grande population de concurrents, une autre stratégie mutante ne peut pas réussir à entrer dans la population pour perturber la dynamique existante (qui elle-même dépend de la composition de la population). Par conséquent, une stratégie réussie (avec une ESS) doit être à la fois efficace contre les concurrents lorsqu'elle est rare – pour entrer dans la population concurrente précédente, et réussie lorsque, plus tard, en forte proportion dans la population – pour se défendre. Cela signifie que la stratégie doit être couronnée de succès lorsqu'elle est en compétition avec d'autres exactement comme elle[35]^,[36]^,[37].

Une ESS n'est pas :

• une stratégie optimale : cela maximiserait la fitness, et de nombreux états de l'ESS sont bien en dessous de la fitnessmaximale réalisable dans un paysage de fitness (voir le graphique Faucon-Colombe ci-contre à titre d'exemple) ;
• une solution singulière : souvent, plusieurs conditions de l'ESS peuvent exister dans une situation de compétition ; une compétition particulière peut se stabiliser dans l'une de ces possibilités, mais plus tard, une perturbation majeure des conditions environnementales peut faire passer la solution dans l'un des états alternatifs de l'ESS ;
• toujours présente : il est possible qu'il n'y ait pas d'ESS ; un exemple de jeu évolutif sans ESS est le jeu pierre-papier-ciseaux, qu'on retrouve chez des espèces comme le lézard à taches latérales (Uta stansburiana) ;
• une stratégie imbattable : l'ESS n'est qu'une stratégie inviolable.

Les individus femelles des araignées à toile entonnoir (Agelenopsis aperta) s'affrontent pour la possession des toiles des araignées du désert en utilisant la stratégie de l'Assesseur[38].

L'état de l'ESS peut être résolu soit en explorant la dynamique du changement de population pour déterminer une ESS, soit en résolvant des équations pour les conditions de point stationnaire stable qui définissent une ESS[39]. Par exemple, dans le jeu Faucon-Colombe, nous pouvons chercher s'il existe une condition de mélange de population statique où la forme physique des colombes sera exactement la même que celle des faucons (les deux ayant donc des taux de croissance équivalents – un point statique).

Soit p la chance de rencontrer un Faucon ; alors la chance de rencontrer une colombe est ${\displaystyle 1-p}$

Soit WFaucon = gain de Faucon

WFaucon = Gain dans la chance de rencontrer une Colombe + Gain dans la chance de rencontrer un Faucon

Prenons les résultats de la matrice de gains et intégrons-les dans l'équation ci-dessus :

${\displaystyle WFaucon=V\times (1-p)+(V/2-C/2)\times p}$

De la même façon pour une Colombe :

${\displaystyle WColombe=V/2\times (1-p)+0\times p}$

Ainsi :

${\displaystyle WColombe=V/2\times (1-p)}$

Équilibrage des deux fitness, Faucon et Colombe :

${\displaystyle V\times (1-p)+(V/2-C/2)\times p=V/2\times (1-p)}$

Et résolution pour p :

${\displaystyle p=V/C}$

Ainsi pour ce "point statique" où le Pourcentage de Population est une ESS, la résolution est ${\displaystyle ESS_{(}pourcentageFaucon)=V/C}$.

De même, en utilisant les inégalités, on peut montrer qu'un mutant supplémentaire de Faucon ou de Colombe entrant dans cet état de l'ESS finit par être moins adapté à son espèce – à la fois un véritable équilibre de Nash et un équilibre de l'ESS. Cet exemple montre que lorsque les risques de blessure ou de décès en compétition (représentés par le coût C) sont nettement supérieurs à la récompense potentielle (représentée par la valeur de bénéfice V), la population stable sera mélangée entre les agresseurs et les Colombes, et la proportion de Colombes dépassera celle des agresseurs. Cela explique les comportements observés dans la nature.

Pierre-papier-ciseaux

Invasion de mutants dans la matrice de gain du jeu "pierre-papier-ciseaux" – un cycle sans fin.

Un jeu d'évolution qui s'avère être un jeu d'enfants est le jeu pierre-papier-ciseaux. Le jeu est simple : la pierre bat les ciseaux (les casse), les ciseaux battent le papier (le coupent) et le papier bat la pierre (l'enveloppe). Tous ceux qui ont déjà joué à ce jeu simple savent qu'il n'est pas judicieux d'avoir un coup favori : l'adversaire s'en rendra vite compte et passera au contre-coup gagnant. La meilleure stratégie (un équilibre de Nash) consiste à jouer un coup aléatoire mixte avec l'un des trois coups pris un tiers du temps. En termes de théorie évolutive des jeux, il s'agit d'une stratégie mixte. Mais de nombreuses formes de vie sont incapables d'avoir un comportement mixte – elles ne présentent qu'une seule stratégie (dite pure). Si le jeu est joué uniquement avec les stratégies pures de la pierre, du papier et des ciseaux, le jeu évolutif est dynamiquement instable : les mutants Pierre peuvent prendre le dessus sur une population tout en Ciseaux, mais ensuite les mutants Papier peuvent prendre le dessus sur une population tout en Pierre, mais ensuite les mutants Ciseaux peuvent prendre le dessus sur une population tout en Papier – et ainsi de suite... Cela se voit facilement sur la matrice des gains du jeu où, si les chemins d'invasion des mutants sont notés, on peut voir que les "chemins d'invasion" des mutants forment une boucle. Cela déclenche un schéma d'invasion cyclique.

On a incorporé le "pierre-papier-ciseaux" dans un jeu évolutif afin de modéliser les processus naturels dans l'étude de l'écologie[40]. En utilisant des méthodes d'économie expérimentale, les scientifiques ont utilisé le jeu PPC pour tester en laboratoire les comportements dynamiques évolutifs de la société humaine. Des comportements sociaux cycliques, prédits par la théorie évolutive des jeux, ont été observés dans le cadre de diverses expériences de laboratoire[41]^,[42].

Le lézard à taches latérales utilise efficacement une stratégie pierre-papier-ciseaux en période de reproduction.

Le lézard à taches latérales (Uta stansburiana) est un lézard polymorphe à trois formes (morphes)[43] dont chacune adopte une stratégie d'accouplement différente :

1. L'individu à gorge orange est très agressif et opère sur un vaste territoire – il tente de s'accoupler avec de nombreuses femelles dans cette zone plus étendue.
2. L'individu à gorge jaune non agressif imite les marques et le comportement des lézards femelles, et se glisse "furtivement" dans le territoire des "gorges oranges" pour s'accoupler avec les femelles qui s'y trouvent (prenant ainsi le contrôle de la population).
3. L'individu à gorge bleue s'accouple avec une femelle et la garde soigneusement – ce qui rend impossible la réussite des "pirates" (sneakers) et donc prend leur place dans une population.

Cependant, les "gorges bleues" ne peuvent pas supplanter les "gorges oranges" plus agressives. La situation globale correspond au jeu "pierre, ciseaux, papier" (dans cet ordre), créant un cycle de population de six ans. Lorsqu'il a appris que ces lézards étaient essentiellement engagés dans un jeu de structure pierre-papier-ciseaux, John Maynard Smith se serait exclamé : « Ils ont lu mon livre ! »[44]

Les facteurs géographiques de l'évolution comprennent le flux de gènes et le transfert horizontal de gènes. Les modèles de jeux spatiaux représentent la géométrie en plaçant les participants dans un réseau de cellules : les compétitions ont lieu uniquement avec les voisins immédiats. Les stratégies gagnantes s'emparent de ces voisinages immédiats et interagissent ensuite avec les voisinages adjacents. Ce modèle est utile pour montrer comment des poches de coopérants peuvent envahir et introduire de l'altruisme dans le jeu du dilemme du prisonnier[52], où "un prêté pour un rendu" (TFT en anglais pour tit for tat) est un équilibre de Nash mais PAS également une ESS. La structure spatiale est parfois abstraite en un réseau général d'interactions[53]^,[54], ce qui constitue le fondement de la théorie des graphes évolutifs.

Dans la théorie évolutive des jeux, comme dans la théorie des jeux conventionnelle, l'effet de la signalisation (l'acquisition d'informations) est d'une importance capitale, comme dans le dilemme du prisonnier avec réciprocité indirecte (où les compétitions entre les MÊMES paires d'individus ne sont PAS répétitives). Cela modélise la réalité de la plupart des interactions sociales normales qui ne sont pas liées à la famille. À moins qu'une mesure de probabilité de la réputation ne soit disponible dans le dilemme du prisonnier, seule une réciprocité directe peut être obtenue[30]. Cette information permet également de soutenir une réciprocité indirecte.

Alternativement, les agents peuvent avoir accès à un signal arbitraire initialement non corrélé à la stratégie mais qui y devient corrélé en raison de la dynamique évolutive. C'est l'effet Green-beard ou l'évolution de l'ethnocentrisme chez les humains[55]. Selon le jeu considéré, il peut permettre l'évolution d'une coopération ou d'une hostilité irrationnelle[56].

Du niveau moléculaire au niveau multicellulaire, un modèle de jeu de signalisation avec asymétrie d'information entre l'émetteur et le récepteur pourrait être approprié, comme dans l'attraction d'un(e) partenaire d'accouplement[47] ou l'évolution de la machinerie de traduction à partir des chaînes d'ARN[57].

De nombreux jeux évolutifs ont été modélisés en populations finies pour voir l'effet que cela peut avoir, par exemple, dans le succès des stratégies mixtes.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Evolutionary game theory » (voir la liste des auteurs).

• Dynamique adaptative
• Paysage adaptatif
• Écologie comportementale
• Système dynamique
• Théorie du gène égoïste
• Mémétique

• Davis, Morton,; "Game Theory – A Nontechnical Introduction", Dover Books, (ISBN 0-486-29672-5)
• Dawkins, Richard; "The Selfish Gene", Oxford University Press, (ISBN 0-19-929114-4)
• Dugatkin and Reeve; "Game Theory and Animal Behavior", Oxford University Press, (ISBN 0-19-513790-6)
• Hofbauer and Sigmund; "Evolutionary Games and Population Dynamics", Cambridge University Press, (ISBN 0-521-62570-X)
• Kohn, Marek; "A Reason for Everything", Faber and Faber, (ISBN 0-571-22393-1)
• Sandholm, William H.; "Population Games and Evolutionary Dynamics", The MIT Press, (ISBN 0262195879)
• Segerstrale, Ullica; "Nature's Oracle - The life and work of W.D. Hamilton", Oxford University Press, 2013, (ISBN 978-0-19-860727-4)
• Sigmund, Karl; "Games of Life", Penguin Books, also Oxford University Press, 1993, (ISBN 0198547838)
• Vincent and Brown; "Evolutionary Game Theory, Natural Selection and Darwinian Dynamics", Cambridge University Press, (ISBN 0-521-84170-4)

• (en) Théorie évolutive des jeux sur l'Encyclopédie de Philosophie de Stanford
• (en) Évolution des écologies morales artificielles au Centre d'éthique appliquée de l'Université de Colombie britannique
• (en) Théorie évolutive des jeux sur Curlie
• (en) Web of Stories, Interview - Vie et Oeuvre - de John Maynard Smith, par Richard Dawkins

• Portail de l’économie
• Portail des mathématiques