Cómo comprobar la semejanza de triángulos

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Se llama triángulos similares a dos triángulos cuyos ángulos son iguales y cuyos lados son proporcionales.^{[1]
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Fuente de investigación} La comprobación de la semejanza de triángulos es un proceso geométrico que consiste en indicar las evidencias que determinan que estos tienen suficientes cosas en común como para que se les considere semejantes. Puedes usar teoremas geométricos para realizar esta comprobación fácilmente.

Parte 1

Parte 1 de 4:
Usar el teorema de ángulo ángulo

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Define el teorema de ángulo ángulo (AA). Este señala que si dos triángulos tienen dos ángulos congruentes, son similares.
- Este teorema también se conoce como el teorema de ángulo ángulo ángulo (AAA), ya que si dos de los ángulos de los triángulos con congruentes, el tercero también lo será. Esto se debe a que los tres ángulos deben sumar 180°.^{[2]
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  Fuente de investigación}
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Identifica la medida de al menos dos ángulos de uno de los triángulos. Utiliza un transportador para obtener las medidas de dos de los ángulos del primer triángulo. Anota los resultados para llevar un registro.
- Elige cualquiera de los ángulos para tomar las medidas.
- Por ejemplo, el triángulo ABC tiene dos ángulos que miden 30° y 70°.
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Mide por lo menos dos de los ángulos del segundo triángulo. Vuelve a emplear el transportador para obtener estas medidas. Si estos son idénticos a los del primer triángulo, entonces se trata de triángulos semejantes.
- Recuerda que si dos ángulos del triángulo son iguales, el tercero también lo será.
- Siguiendo con el ejemplo anterior, el triángulo DEF también tiene dos ángulos que miden 30° y 70°.
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Utiliza el teorema de ángulo ángulo para comprobar la semejanza. Una vez que identifiques los ángulos congruentes, puedes emplear este teorema para comprobar que los triángulos son semejantes. Escribe que la medida de los ángulos de ambos es idéntica, lo que los hace semejantes y que la base para esto es el teorema de ángulo ángulo.^{[3]
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Fuente de investigación}
- Es posible que si dos triángulos tienen tres ángulos idénticos, sean congruentes, pero para ello la longitud de sus lados también tendría que ser idéntica.
- Por ejemplo, los triángulos de la imagen son semejantes porque dos de sus ángulos son idénticos.
- Nota: Si los dos triángulos no tienen ángulos idénticos, no son semejantes. Por ejemplo, si el triángulo ABC tiene dos ángulos que miden 30° y 70 y el triángulo DEF tiene dos ángulos que miden 35° y 70°, estos no son semejantes, ya que 30° no es lo mismo que 35°.

Parte 2

Parte 2 de 4:
Usar el teorema de lado ángulo lado

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Define el teorema de lado ángulo lado (LAL) para comprobar la semejanza. Cuando dos lados del triángulo son proporcionales a los lados de otro triángulo y el ángulo que los une es igual, los triángulos son semejantes.^{[4]
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Fuente de investigación}
- Ten cuidado de no confundir este teorema con el teorema de lado ángulo lado de congruencia. Para comprobar la congruencia, los dos lados y el ángulo que los une deben ser idénticos, mientras que para la semejanza, los lados solo deben ser proporcionales y el ángulo idéntico.
- Por ejemplo, el triángulo ABC y el triángulo DEF son semejantes, ya que el ángulo A = ángulo D y AB/DE = AC/DF.
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Mide los mismos lados de cada triángulo. Con una regla, mide dos lados del triángulo ABC y anota la medida. Asegúrate de que el triángulo DEF tenga la misma orientación y mide los dos lados correspondientes. Anota las medidas.
- Por ejemplo, un triángulo ABC tiene las siguientes medidas; AB = 4 cm y AC = 8 cm. Un triángulo DEF tiene las siguientes medidas, DE = 2 cm y DF = 4 cm.
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Identifica la medida del ángulo que une esos lados. Con un transportador, mide el ángulo que está entre los dos lados con los que estás trabajando. Según el teorema, para que haya semejanza, el ángulo debe ser idéntico en ambos triángulos.
- Por ejemplo, el ángulo A del triángulo ABC es 26°. El ángulo D del triángulo DEF también es 26°.
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Calcula la proporción de la longitud de los lados de ambos triángulos. Según el teorema LAL, los lados de los triángulos deben ser proporcionales entre sí. Para calcular esto, simplemente aplica la fórmula AB/DE = AC/DF.
- Por ejemplo, AB/DE = AC/DF. Entonces 4/2 = 8/4; 2 = 2. Las proporciones de las medidas de ambos triángulos son iguales.
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Aplica el teorema de lado ángulo lado para comprobar la semejanza. Una vez que determines que la medida de los lados de un triángulo es proporcional a la medida de los lados del otro y que los ángulos que los unen son iguales, puedes emplear el teorema LAL para justificar tu respuesta.
- Por ejemplo, dado que AB/DE = AC/DF y que el ángulo A = ángulo D, el triángulo ABC es semejante al triángulo DEF.
- Nota: Si el ángulo A no es igual al ángulo D, los triángulos no son semejantes. Asimismo, si las medidas de los lados no son proporcionales, los triángulos no son semejantes.

Parte 3

Parte 3 de 4:
Usar el teorema de lado lado lado

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Define el teorema lado lado lado (LLL) para comprobar la semejanza. Dos triángulos se consideran semejantes si las medidas de sus lados son proporcionales. Si los lados de un triángulo son 2, 4 y 6, y los de otro 4, 8 y 12, significa que son semejantes.
- Ten cuidado y no vayas a confundir este teorema con el teorema lado lado lado para comprobar la congruencia. Este último señala que si dos triángulos tienen tres lados idénticos, son congruentes. El teorema de semejanza se basa únicamente en la proporcionalidad de los tres lados.
- Por ejemplo, para que los triángulos ABC y DEF sean semejantes, se debe cumplir que AB/DE = AC/DF = BC/EF.
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Mide los lados de cada triángulo. Con una regla, toma las medidas de los tres lados de ambos triángulos. Anota la medida de cada uno para llevar un registro. Asegúrate de utilizar la mima unidad de medida para todos los lados.
- Por ejemplo, los lados del triángulo ABC tienen las siguientes medidas: AB = 10 cm, BC = 15 cm y AC = 20 cm. Los lados del triángulo DEF tienen las siguientes medidas: DE = 2 cm, EF = 3 cm, and DF = 4 cm.
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Calcula las proporciones entre los lados de cada triángulo. Según el teorema LLL, para que haya semejanza, los tres lados de ambos triángulos deben ser proporcionales. Utiliza las medidas obtenidas para calcular las proporciones mediante la fórmula AB/DE = AC/DF = BC/EF.^{[5]
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Fuente de investigación}
- Por ejemplo, al aplicar AB/DE = AC/DF = BC/EF obtendrás el siguiente resultado: 10/2 = 20/4 = 15/3; 5 = 5 = 5.
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Aplica el teorema de lado lado lado para comprobar la semejanza. Si ya determinaste que las medidas de los tres lados de los triángulos son proporcionales entre sí, puedes emplear el teorema LLL para validar la semejanza.^{[6]
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Fuente de investigación}
- Por ejemplo, dado que AB/DE = AC/DF = BC/EF, los triángulos ABC y DEF son semejantes.
- Nota: Si AB/DE ≠ AC/DF ≠ BC/EF, entonces los triángulos no son semejantes.

Parte 4

Parte 4 de 4:
Escribir la validación

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Aprende cuál es el formato empleado para dar una validación formal. La declaración de validación se inicia con la información de la hipótesis. Se debe proporcionar un listado de datos relevantes, así como la evidencia que los sustenta.
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Plantea una hipótesis para resolver el problema o completa la validación. Tendrás que crear una tabla. Generalmente, debe tener dos columnas. En la primera van los datos y en la segunda, la evidencia.^{[7]
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Fuente de investigación}
- Asegúrate de que la última parte de la columna de datos coincida con la hipótesis. Las filas centrales deben indicar tu proceso de resolución del problema. Todos los datos y la evidencia que los sustenta deben hacer referencia a las figuras que se describen en la hipótesis.
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Crea un diagrama de las figuras de la hipótesis en caso de que no se hayan proporcionado imágenes. Emplea todos los detalles que se indican en la hipótesis. Asegúrate de que la figura sea lo suficientemente grande como para colocar esta información. Anota los nombre de los vértices descritos y recuerda incluir la información que tienes sobre líneas paralelas o ángulos congruentes.
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Anota la información proporcionada. Todo problema matemático da información sobre las medidas de los ángulos y de los lados de los dos triángulos cuya semejanza debes comprobar. El primer paso para identificar el teorema correcto para la validación es anotar la información conocida.
- Si no te proporcionaron un diagrama, dibuja los triángulos y luego anota la medida de los ángulos y los lados según la información de la que dispones.
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Elige el teorema que mejor te sirva según la información que tienes. Una vez que hayas anotado los datos y conozcas los tres teoremas que pueden validar la semejanza, elige el que mejor se acomode a tu información. Es posible que más de uno sea adecuado, pero solo debes elegir uno.
- Si ninguno de los teoremas mencionados sirve según tu información, entonces los triángulos no son semejantes.
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Escribe la validación. Desarrolla una estrategia para realizar la comprobación. Existen tres postulados, o teorías matemáticas, que se aplican a los triángulos semejantes. Cualquiera de ellos sirve como evidencia para sustentar este caso.
- Reúne los datos que tienes y los teoremas relevantes para escribir la validación de tu proceso paso a paso.

Consejos

Los “teoremas” de lado lado ángulo (LLA) y ángulo ángulo ángulo (AAA) no indican semejanza, así que ten cuidado y procura no aplicarlos donde no corresponde.