Cómo encontrar la superficie de un pentágono

Un pentágono es un polígono con cinco lados rectos. La mayoría de los problemas sobre pentágonos que puedes encontrarte en una clase de matemáticas tratarán de figuras regulares, con cinco lados iguales. Hay dos formas comunes de hallar el área, dependiendo de la información de la que dispongas.

Método 1

Método 1 de 3:
Hallar el área a partir de la longitud del lado y la apotema

1
Empieza con la longitud del lado y la apotema. Este método funciona para los pentágonos regulares, con cinco lados iguales. Además de la longitud del lado, necesitarás conocer la apotema del pentágono. La apotema es la distancia que hay entre el centro de un polígono regular y uno de sus lados, y se representa como una línea recta que parte del centro y corta el lado por su punto medio, formando un ángulo recto.
- No confundas la apotema con el radio, que pasa por el vértice en lugar de cortar el lado por su punto medio. Si solo conoces la longitud del lado y el radio pasa al siguiente método.
- Utilizaremos como ejemplo un pentágono con lado de longitud igual a 3 unidades y apotema igual a 2 unidades.
2
Divide el pentágono en cinco triángulos. Dibuja cinco líneas que vayan desde el centro del pentágono a cada vértice. Ahora tendrás cinco triángulos.
3
Calcula el área de un triángulo. Cada triángulo tiene una base igual al lado del pentágono. Además, tendrá una altura igual a la apotema del pentágono. Recuerda que la altura de un triángulo va desde el vértice hasta el lado opuesto, formando un ángulo recto. Para hallar el área de cualquier triángulo, solo tienes que calcular: ½ x base x altura.
- En nuestro ejemplo, el área del triángulo = ½ x 3 x 2 = 3 unidades cuadradas.
4
Multiplica el área de un triángulo por cinco para hallar el área total. Se ha dividido el pentágono en 5 triángulos iguales. Para hallar el área total, solo multiplica el área de un triángulo por 5.
- En nuestro ejemplo, A (pentágono) = 5 x A (triángulo) = 5 x 3 = 15 unidades cuadradas.

Método 2

Método 2 de 3:
Hallar el área a partir de la longitud del lado

1
Empieza solo con la longitud del lado. Este método solo es aplicable a los pentágonos regulares, con cinco lados iguales.
- En este ejemplo, utilizaremos un pentágono con lado de longitud igual a 7 unidades.
2
Divide el pentágono en cinco triángulos. Traza una línea que vaya desde el centro del pentágono hasta cualquiera de sus vértices. Repite el proceso con todos los vértices. Ahora tendrás cinco triángulos del mismo tamaño.
3
Divide un triángulo por la mitad. Traza una línea que vaya desde el centro del pentágono hasta la base de uno de los triángulos. Esta línea deberá formar un ángulo de 90º con la base, dividiendo el triángulo en otros dos triángulos más pequeños.
4
Escribe las medidas de uno de los triángulos pequeños. Ya podemos anotar las medidas de un lado y un ángulo de uno de los triángulos pequeños:
- La base del triángulo es ½ del lado del pentágono. En nuestro ejemplo, es igual a ½ x 7 = 3,5 unidades.
- El ángulo formado en el centro del pentágono siempre será de 36º.^{[1]
  X
  Fuente de investigación} Empezando con un ángulo central completo de 360ª, podrás dividirlo en 10 de estos triángulos más pequeños: 360 ÷ 10 = 36, por lo que el ángulo de un triángulo es de 36º.
5
Calcula la altura del triángulo. La altura de este triángulo es el lado que forma un ángulo recto con el borde del pentágono y llega hasta el centro. Podemos utilizar trigonometría básica para hallar la longitud de este lado:^{[2]
X
Fuente de investigación}
- En un triángulo rectángulo, la tangente de un ángulo es igual a la longitud del lado opuesto dividida entre la longitud del lado adyacente.
- El lado opuesto al ángulo de 36º es la base del triángulo (la mitad del lado del pentágono). El lado adyacente al ángulo de 36ª es la altura del triángulo.
- tan(36º) = opuesto / adyacente
- En nuestro ejemplo, tan(36º) = 3,5 / altura
- Altura x tan(36º) = 3,5
- Altura = 3,5 / tan(36º)
- Altura = (aproximadamente) 4,8 unidades
6
Halla el área del triángulo. El área de un triángulo es igual a ½ de la base x la altura. (A = ½bh). Ahora que conocemos la altura (h), podemos introducir todos los valores para hallar la altura del triángulo pequeño.
- En nuestro ejemplo, el área de un triángulo pequeño = ½bh = ½(3,5)(4,8) = 8,4 unidades cuadradas.
7
Multiplica para hallar el área del pentágono. Uno de estos triángulos pequeños equivale a 1/10 del área del pentágono. Para hallar el área total, multiplica el área del triángulo pequeño por 10.
- En nuestro ejemplo, el área total del pentágono = 8,4 x 10 = 84 unidades cuadradas.

Método 3

Método 3 de 3:
Utilizar una fórmula

1
Utiliza el perímetro y la apotema. La apotema es la línea que va desde el centro del pentágono hasta el punto medio de cualquiera de sus lados, cortándolo en ángulo recto. Si conoces la longitud del lado o el perímetro, puedes usar esta sencilla fórmula.
- El área de un pentágono regular = pa/2, donde p = perímetro y a = apotema.^{[3]
  X
  Fuente de investigación}
- Si no conoces el perímetro, calcúlalo a partir de la longitud de su lado: p = 5l, donde l es la longitud del lado.
2
Utiliza la longitud del lado. Si solo conoces la longitud del lado, utiliza la siguiente fórmula:^{[4]
X
Fuente de investigación}
- El área de un pentágono regular = (5l²) / (4tan(36º)), donde l = longitud del lado.
- tan(36º) = √(5-2√5).^{[5]
  X
  Fuente de investigación} Si tu calculadora no dispone de la tecla o la función "tan", utiliza la fórmula: área = (5l²) / (4√(5-2√5)).
3
Utiliza una fórmula que solo requiera conocer el radio. También puedes conocer el área si solo sabes la longitud del radio. Utiliza esta fórmula:^{[6]
X
Fuente de investigación}
- El área de un pentágono regular = (5/2)r²sin(72º), donde r es el radio.

Consejos

Los pentágonos irregulares, o los pentágonos con lados de diferente longitud, son más difíciles de estudiar que los pentágonos regulares. Normalmente, la mejor opción consiste en dividir el pentágono en triángulos y sumar las áreas de dichos triángulos. Es posible que también tengas que dibujar una figura más grande alrededor del pentágono, calcular su área y extraer el área del espacio sobrante.
Las fórmulas derivan de métodos geométricos, similares a los descritos en este artículo. Comprueba si eres capaz de deducirlas por ti mismo. La fórmula del radio es más difícil de obtener que las demás (pista: necesitarás la identidad del ángulo doble).
En los ejemplos dados en este artículo solo aparecen valores redondeados para facilitar el cálculo. Si mides un polígono real con una longitud de lado dada, obtendrás resultados ligeramente diferentes para las otras longitudes y para el área.
Si es posible, combina un método geométrico con una fórmula y compara los resultados para asegurarte de obtener la respuesta correcta. Probablemente, obtenga un resultado ligeramente distinto del exacto si introduces toda la fórmula de una vez (ya que te saltarás todo el proceso), pero lo normal es que se acerque bastante.