Cómo utilizar el ángulo recto en trigonometría

Lee el problema con el ángulo desconocido. También se puede usar la trigonometría para calcular las medidas de los ángulos. Si bien el proceso es similar, el problema te pedirá la medida de un ángulo desconocido.

• Considera el siguiente problema:
  • En un determinado momento del día, un asta de bandera de 60 metros (200 pies) de alto produce una sombra de 24 metros (80 pies) de largo. ¿Cuál es el ángulo del sol a esta hora del día?

Haz un bosquejo de un triángulo rectángulo y etiqueta sus partes. No olvides que los problemas de trigonometría están basados en la geometría de triángulos rectángulos. Haz un bosquejo de un triángulo rectángulo para representar el problema y etiqueta los valores que conozcas y los que no.

• En el caso del problema del asta de bandera, el cateto vertical es el asta en sí. Etiquétalo con una altura de 60 metros (200 pies). La base horizontal del triángulo representa la longitud de la sombra. Etiqueta la base como "24 metros" (80 pies). En este caso, la hipotenusa no representa ninguna medida física sino la longitud de la parte superior del asta al final de la sombra. Esto te dará el ángulo que quieras encontrar. Marca el ángulo entre la hipotenusa y la base como ángulo ${\displaystyle \theta }$.

Dispón una ecuación trigonométrica. Es necesario que repases las partes del triángulo que conozcas y las que debas encontrar. Esto te servirá para elegir la función trigonométrica adecuada para ayudar a encontrar el valor desconocido.

• En el caso del asta, conoces la altura vertical y la base horizontal pero no conoces la hipotenusa. La función que emplea la proporción entre los dos catetos es la tangente.
• Dispón una ecuación para la tangente de la siguiente forma:
  • ${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\text{opuesto}}{\text{adyacente}}}}$
  • ${\displaystyle \tan \theta ={\frac {60}{24}}}$
  • ${\displaystyle \tan \theta =2,5}$

Usa la función trigonométrica inversa para encontrar la medida del ángulo. Cuando tienes que encontrar la medida del ángulo en sí, es necesario que uses lo que se conoce como la función trigonométrica inversa. A las funciones inversas se les llama funciones "arco". Son el arcoseno ("arcsin"), el arcocoseno ("arccos") y el arcotangente ("arctan").

• En una calculadora, estas funciones figuran como ${\displaystyle sin^{-1}}$, ${\displaystyle cos^{-1}}$ y ${\displaystyle tan^{-1}}$. Ingresas el valor y luego presionas el botón adecuado para obtener la medida del ángulo. Algunas calculadoras varían, ya que, en algunos casos, ingresas primero el valor y luego presionas el botón de "arctan" y, en otros, presionas el botón de "arctan" y luego ingresas el valor. Deberás determinar el proceso que funcione para tu calculadora.
  • ${\displaystyle \tan \theta =2,5}$
  • ${\displaystyle \theta =\arctan 2,5}$
  • ${\displaystyle \theta =68,2}$

Interpreta el resultado. La unidad del resultado serán los grados, ya que ibas a encontrar la medida de un ángulo. Revisa para ver si la respuesta tiene sentido.

• Según esta solución, el ángulo entre la Tierra y el sol es de 68,2 grados. Al mediodía, el sol se encuentra directamente encima, lo cual sería un ángulo de 90 grados. Por ende, esta solución parece razonable.

Dispón otro problema con un ángulo desconocido. Cada vez que la medida del ángulo sea el factor desconocido, emplearás una función trigonométrica inversa. Por lo general, el procedimiento siempre es el mismo.

• Lee el problema. Un triángulo rectángulo con catetos de 7,5 y 10 cm (3 y 4 pulgadas) de largo tiene una hipotenusa de 12 cm (5 pulgadas) de largo. ¿Cuál es la medida del ángulo opuesto al cateto de 7,5 cm (3 pulgadas)?
• Haz un bosquejo del problema. En este caso, el problema tan solo tiene relación con las medidas de un triángulo. Haz un bosquejo de un triángulo rectángulo y etiqueta la información que conozcas. Un cateto mide 7,5 cm, el otro 10 cm y la hipotenusa 12 cm. Para este problema, el ángulo desconocido es el ángulo agudo opuesto al cateto de 7,5 cm (3 pulgadas).
• Dispón una ecuación trigonométrica. En este caso, debido a que conoces los tres lados del triángulo, en realidad puedes elegir la función. Tienes los datos necesarios para emplear cualquiera de las funciones (seno, coseno o tangente) de la siguiente forma:
  • ${\displaystyle \sin \theta ={\frac {\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}}}$
  • ${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}}}}$
  • ${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\text{opuesto}}{\text{adyacente}}}}$

Reemplaza los valores que conozcas y encuentra el ángulo desconocido. En este caso, continúa resolviendo con las tres funciones para a la larga darte cuenta de que las tres funciones distintas llegan a la misma conclusión en cuanto al valor del ángulo ${\displaystyle \theta }$.

• En primer lugar, dispón una solución con la función ${\displaystyle \sin }$:
  • ${\displaystyle \sin \theta ={\frac {\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}}}$
  • ${\displaystyle \sin \theta ={\frac {7,5}{12}}}$
  • ${\displaystyle \sin \theta =0,625}$
• Luego, dispón una solución con la función ${\displaystyle \cos }$:
  • ${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}}}}$
  • ${\displaystyle \cos \theta ={\frac {10}{12}}}$
  • ${\displaystyle \cos \theta =0,83}$
• Por último, dispón una solución con la función ${\displaystyle \tan }$:
  • ${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\text{opuesto}}{\text{adyacente}}}}$
  • ${\displaystyle \tan \theta ={\frac {7,5}{10}}}$
  • ${\displaystyle \tan \theta =0,75}$

Encuentra los valores de las funciones arco con una calculadora o tabla trigonométrica para encontrar la medida del ángulo.

• Encuentra la medida con ${\displaystyle \arcsin }$:
  • ${\displaystyle \sin \theta =0,625}$
  • ${\displaystyle \theta =\arcsin 0,625}$
  • ${\displaystyle \theta =36,9}$
• Encuentra la medida con ${\displaystyle \arccos }$:
  • ${\displaystyle \cos \theta =0,83}$
  • ${\displaystyle \theta =\arccos 0,83}$
  • ${\displaystyle \theta =36,9}$
• Encuentra la medida con ${\displaystyle \arctan }$:
  • ${\displaystyle \tan \theta =0,75}$
  • ${\displaystyle \theta =\arctan 0,75}$
  • ${\displaystyle \theta =36,9}$

Revisa tus resultados. En este problema, pudiste obtener la solución de tres formas distintas debido a que empezaste con un ángulo y las medidas de los tres lados. Cualquiera de ellas por sí sola habría bastado para encontrar la respuesta. Al resolver las tres, observas que la solución es la misma de cualquier forma. En este caso, el ángulo elegido es de 36,9 grados.

Comprende la circunferencia goniométrica. La trigonometría se basa en el concepto matemático de la circunferencia goniométrica. Esta constituye un círculo que se dibuja sobre el plano de coordenadas x-y, siendo el centro el punto (0,0) y con un radio de 1. Al hacer que el radio sea igual a 1, puedes medir las funciones trigonométricas directamente.^[6]

• Si visualizas una circunferencia goniométrica, cualquier punto dentro de ese círculo forma un triángulo rectángulo. Desde un punto seleccionado en el círculo, traza una línea vertical directamente hacia el eje x. Luego, desde ese punto en el eje x, traza una línea horizontal para unirla al origen. Estas dos líneas, la vertical y la horizontal, serán los catetos de un triángulo rectángulo. El radio del círculo que conecta el punto en el círculo con el centro en el origen es la hipotenusa del triángulo rectángulo.
• Las funciones trigonométricas siguen aplicando para los triángulos y longitudes que no sean 1 pero, al hacer que el radio sea igual a 1, es más directo calcular las proporciones.

Aprende la relación del seno. La función del seno constituye la proporción entre el cateto opuesto a un ángulo elegido y la hipotenusa del triángulo rectángulo. En la circunferencia goniométrica, el seno es una forma de medir la distancia vertical del eje x al punto designado. En otras palabras, es la coordenada en el eje y del punto elegido.^[7]

• El seno de un ángulo suele abreviarse como "sin". El ángulo de medida suele etiquetarse como ${\displaystyle \theta }$ por convención, por lo que uno dice que mide ${\displaystyle \sin \theta }$ o ${\displaystyle sin(\theta )}$.
• Por ejemplo, en caso de que elijas un ángulo, llamado ${\displaystyle \theta }$, de 30 grados en el centro de la circunferencia goniométrica, esto marcaría un punto en el círculo cuyas coordenadas serían ${\displaystyle ({\frac {\sqrt {3}}{2}},{\frac {1}{2}})}$. Luego, puedes decir que ${\displaystyle \sin \theta ={\frac {1}{2}}}$.^[8]

Repasa la función del coseno. La función del coseno es la proporción entre el cateto adyacente al ángulo elegido y la hipotenusa del triángulo rectángulo. En la circunferencia goniométrica, el coseno constituye la longitud del cateto horizontal, que también es la coordenada del punto en la circunferencia en el eje x.^[9]

• El coseno de un ángulo se suele abreviar como "cos". Uno dice que mide ${\displaystyle \cos \theta }$ o ${\displaystyle \cos(\theta )}$.
• Por ejemplo, en caso de que elijas un ángulo ${\displaystyle \theta }$ de 30 grados en el centro de la circunferencia goniométrica, esto marcaría un punto en la circunferencia cuyas coordenadas serían ${\displaystyle ({\frac {\sqrt {3}}{2}},{\frac {1}{2}})}$. Luego, puedes decir que ${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\sqrt {3}}{2}}}$.^[10]

Comprende la función de la tangente. La tercera función trigonométrica común es la tangente. Esta constituye la proporción entre los dos catetos del triángulo rectángulo sin hacer referencia a la hipotenusa. Específicamente, para un ángulo elegido de un triángulo rectángulo, la tangente se encuentra al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo elegido entre el cateto adyacente al ángulo elegido. En la circunferencia goniométrica, la tangente equivale a la coordenada en el eje y dividida entre la coordenada en el eje x.^[11]

• La función de la tangente suele abreviarse como "tan". En el caso de un ángulo elegido ${\displaystyle \theta }$, uno dice que mide ${\displaystyle \tan \theta }$ o ${\displaystyle \tan(\theta )}$.
• En el caso del ejemplo de un ángulo ${\displaystyle \theta }$ de 30 grados en el centro de la circunferencia goniométrica, recuerda que las coordenadas son ${\displaystyle ({\frac {\sqrt {3}}{2}},{\frac {1}{2}})}$. Puedes encontrar la tangente si divides el seno (la coordenada en el eje y) entre el coseno (la coordenada en el eje x) de la siguiente forma:
  • ${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {3}}{2}}}={\frac {\sqrt {3}}{3}}=0,577}$.^[12]
  • Observa que, por lo general, reportar el resultado en términos de una fracción con la raíz cuadrada (por ejemplo, ${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$) se considera más preciso y exacto que redondear a un decimal (por ejemplo, 0,577). Para fines prácticos, podrían ser aceptables tres cifras decimales.

Repasa las demás proporciones. Es posible que, de vez en cuando, necesites proporciones alternativas al coseno, el seno y la tangente. Estas funciones alternativas son las inversas de estas tres primeras. Si bien no se usan tan comúnmente en los cálculos básicos, se vuelven esenciales en el trabajo trigonométrico más avanzado. Estas funciones son las siguientes:^[13]

• Secante: se abrevia como "sec" y equivale a ${\displaystyle {\frac {1}{cos}}}$.
• Cosecante: se abrevia como "csc" y equivale a ${\displaystyle {\frac {1}{sin}}}$.
• Cotangente: se abrevia como "cot" y equivale a ${\displaystyle {\frac {1}{tan}}}$.