Cómo hallar el dominio y el rango de una función

Coescrito por Personal de wikiHow

Cada función contiene dos tipos de variables: variables independientes y variables dependientes cuyos valores literalmente "dependen" de las variables independientes. Por ejemplo, en la función y = f(x) = 2x + y, x es independiente e y es dependiente (en otras palabras, y es una función de x). Los valores válidos para una variable dada independiente x se llaman colectivamente el "dominio". Los valores válidos para una variable dada dependiente y se llaman colectivamente el "rango".^{[1]
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Fuente de investigación}

Parte 1

Parte 1 de 3:
Encontrar el dominio de una función

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Determina el tipo de función con el que vas a trabajar. El dominio de la función son todos los valores de x (el eje horizontal) que te darán como resultado un valor válido de y. La ecuación de la función puede ser cuadrática, una fracción o contener raíces cuadradas. Para calcular el dominio de la función, primero debes evaluar los términos dentro de la ecuación.
- Una función cuadrática tiene la forma ax² + bx + c:^{[2]
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  Fuente de investigación}f(x) = 2x² + 3x + 4.
- Ejemplos de funciones con fracciones incluyen: f(x) = (¹/_x), f(x) = ^{(x + 1)}/_{(x - 1)}, etc.
- Las funciones con una raíz cuadrada incluyen: f(x) = √x, f(x) = √(x² + 1), f(x) = √-x, etc.
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Escribe el dominio con la notación adecuada. Escribir el dominio de una función involucra el uso tanto de corchetes "[,]" como de paréntesis "(,)". Usas un corchete cuando el número está incluido en el dominio y usas un paréntesis cuando el dominio no incluye el número. La letra U indica una unión que conecta partes de un dominio que podrían estar separadas por un espacio.^{[3]
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Fuente de investigación}
- Por ejemplo, un dominio de [-2, 10) U (10, 2] incluye -2 y 2 pero no incluye el número 10.
- Siempre usa paréntesis si vas a usar el símbolo de infinito (∞).
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Dibuja un gráfico de la ecuación cuadrática. Las ecuaciones cuadráticas crean un gráfico parabólico que apunta ya sea hacia arriba o hacia abajo. Dado que la parábola continuará infinitamente hacia afuera por el eje x, el dominio de la mayoría de las funciones cuadráticas es todos los números reales. Dicho de otra forma, una ecuación cuadrática abarca todos los valores de x en la línea numérica, lo que hace que su dominio sea R (el símbolo para todos los números reales).^{[4]
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Fuente de investigación}
- Para obtener una idea de la función, elige cualquier valor de x y reemplázalo en la función. Resolver la función con este valor de x producirá un valor de y. Estos valores de x e y son una coordenada (x, y) del gráfico de la función.
- Marca esta coordenada y repite el proceso con otro valor de x.
- Marcar unos cuantos valores de esta manera debe darte una idea general de la forma de la función cuadrática.
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Establece el denominador como cero si es una fracción. Al trabajar con una fracción, nunca puedes dividir entre cero. Al establecer el denominador como igual a cero y resolver para encontrar x, puedes calcular los valores que se excluirán de la función.^{[5]
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Fuente de investigación}
- Por ejemplo: identifica el dominio de la función f(x) = ^{(x + 1)}/_{(x - 1)}.
- El denominador de esta función es (x - 1).
- Establécelo igual a cero y resuelve para encontrar x: x - 1 = 0, x = 1.
- Escribe el dominio: el dominio de esta función no puede incluir 1 pero incluye todos los números reales excepto el 1. Por lo tanto, el dominio es (-∞, 1) U (1, ∞).
- (-∞, 1) U (1, ∞) puede leerse como el conjunto de todos los números reales excluyendo el 1. El símbolo de infinito, ∞, representa a todos los números reales. En este caso, todos los números reales mayores y menores a 1 están incluidos en el dominio.
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Establece los términos dentro del signo de raíz como mayores o iguales a cero si no hay una función de raíz cuadrada. No puedes sacar la raíz cuadrada a un número negativo; por lo tanto, cualquier valor de x que conduzca a un número negativo debe excluirse del dominio de esa función.^{[6]
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Fuente de investigación}
- Por ejemplo: identifica el dominio de la función f(x) = √(x + 3).
- Los términos dentro del signo de raíz son (x + 3).
- Establécelos como mayores o iguales a cero: (x + 3) ≥ 0.
- Resuelve para encontrar x: x ≥ -3.
- El dominio de esta función incluye todos los números reales mayores o iguales a -3. Por lo tanto, el dominio es [-3, ∞).
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Parte 2

Parte 2 de 3:
Encontrar el rango de una función cuadrática

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Confirma que tienes una función cuadrática. Una función cuadrática tiene la forma ax² + bx + c: f(x) = 2x² + 3x + 4. La forma de una función cuadrática en un gráfico es una parábola que apunta hacia arriba o hacia abajo. Hay diferentes métodos para calcular el rango de una función dependiendo del tipo con el que estés trabajando.^{[7]
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Fuente de investigación}
- La forma más fácil de identificar el rango de otras funciones, como las funciones de raíz cuadrada y de fracciones, es dibujar el gráfico de la función usando una calculadora gráfica.
2
Encuentra el valor de x del vértice de la función. El vértice de una función cuadrática es la punta de la parábola. Recuerda: una función cuadrática tiene la forma ax² + bx + c. Para encontrar la coordenada de x, usa la ecuación x = -b/2a. Esta ecuación es una derivada de la función cuadrática básica que representa la ecuación con una pendiente de cero (en el vértice del gráfico, la pendiente de la función es cero).^{[8]
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Fuente de investigación}
- Por ejemplo: encuentra el rango de 3x² + 6x - 2.
- Calcula la coordenada de x del vértice: x = -b/2a = -6/(2*3) = -1.
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Calcula el valor de y del vértice de la función. Reemplaza la coordenada de x en la función para calcular el valor correspondiente de y del vértice. Este valor de y denota el borde del rango para la función.
- Calcula la coordenada de y: y = 3x² + 6x - 2 = 3(-1)² + 6(-1) -2 = -5.
- El vértice de esta función es (-1, -5).
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Determina la dirección de la parábola reemplazando por lo menos un valor más de x. Elige cualquier otro valor de x y reemplázalo en la función para calcular el valor correspondiente de y. Si el valor de y está por encima del vértice, la parábola continúa hasta +∞. Si el valor de y está por debajo del vértice, la parábola continúa hasta -∞.
- Usa el valor de x - 2: y = 3x² + 6x - 2 = y = 3(-2)² + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
- Esto produce la coordenada (-2, -2).
- Esta coordenada te dice que la parábola continúa por encima del vértice (-1, -5). Por lo tanto, el rango abarca todos los valores de y sobre -5.
- El rango de esta función es [-5, ∞).
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Escribe el rango con la notación adecuada. Como el dominio, el rango se escribe con la misma notación. Usa un corchete cuando el número esté incluido en el dominio y un paréntesis cuando el dominio no incluya ese número. La letra U indica una unión que conecta partes de un dominio que podrían estar separadas por un espacio.^{[9]
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Fuente de investigación}
- Por ejemplo, un rango de [-2, 10) U (10, 2] incluye a -2 y 2 pero no incluye el número 10.
- Siempre usa paréntesis si vas a usar el símbolo de infinito (∞).
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Parte 3

Parte 3 de 3:
Encontrar gráficamente el rango de una función

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Grafica la función. A menudo, es más fácil determinar el rango de una función simplemente graficándola. Muchas funciones de raíz cuadrada tienen un rango de (-∞, 0] o [0, +∞) porque el vértice de la parábola lateral está en el eje horizontal o el eje x. En este caso, la función abarca todos los valores positivos de y si la parábola va hacia arriba o todos los valores negativos de y si la parábola va hacia abajo. Las funciones de fracciones tendrán asíntotas que definan el rango.^{[10]
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Fuente de investigación}
- Algunas funciones de raíz cuadrada empezarán por encima o por debajo del eje x. En este caso, el rango se determina por el punto en el que empieza la función de raíz cuadrada. Si la parábola empieza en y = -4 y va hacia arriba, el rango es [-4, +∞).
- La forma más fácil de graficar una función es usar un programa de gráficos o una calculadora gráfica.
- Si no tienes una calculadora gráfica, puedes dibujar un boceto aproximado de un gráfico reemplazando valores de x en la función y obteniendo los valores de y correspondientes. Marca estas coordenadas en el gráfico para obtener una idea de la forma.
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Encuentra el mínimo de la función. Una vez que hayas graficado la función, debes poder ver claramente el punto más bajo del gráfico. Si no hay un mínimo obvio, debes saber que algunas funciones continuarán hasta -∞.
- Una función de fracción incluirá todos los puntos excepto aquellos en la asíntota. A menudo tienen rangos como (-∞, 6) U (6, ∞).
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Determina el máximo de la función. Nuevamente, después de graficar, debes poder identificar el punto máximo de la función. Algunas funciones continuarán hasta +∞ y, por lo tanto, no habrá un máximo.
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Escribe el rango con la notación adecuada. Como el dominio, el rango se escribe con la misma notación. Usa un corchete cuando el número esté incluido en el dominio y un paréntesis cuando el dominio no incluya ese número. La letra U indica una unión que conecta partes de un dominio que podrían estar separadas por un espacio.^{[11]
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Fuente de investigación}
- Por ejemplo, un rango de [-2, 10) U (10, 2] incluye a -2 y 2 pero no incluye el número 10.
- Siempre usa paréntesis si vas a usar el símbolo de infinito (∞).
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