Cómo resolver problemas de tasas relacionadas en cálculo

Coescrito por Personal de wikiHow

Cálculo es principalmente el estudio matemático de cómo cambian las cosas. Un tipo de problema específico consiste en determinar cómo las tasas de dos cosas relacionadas cambian al mismo tiempo. La clave para resolver estas operaciones es identificar las variables que cambian y luego determinar una fórmula que conecte esas variables entre sí. Una vez que lo hagas, determinarás la derivada de la fórmula y podrás calcular las tasas que necesitas.

Parte 1

Parte 1 de 4:
Interpretar el problema

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Lee detenidamente todo el problema. Los problemas de tasas relacionadas generalmente se plantean como "problemas verbales". Ya sea que tengas que hacer una tarea asignada o quieras resolver un problema de la vida real para tu trabajo, es importante que comprendas qué se pide. Antes de comenzar a hacer cualquier cosa, lee el problema en su totalidad. Si no lo comprendes, regresa y vuelve a leerlo.^{[1]
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Fuente de investigación}
- Este gráfico presenta el siguiente problema: "El aire se bombea a un globo esférico a una tasa de 5 centímetros cúbicos por minuto. Determina la tasa a la que el radio del globo incrementa cuando su diámetro es de 20 cm".
- Al leer este problema, reconoce que el globo es una esfera, por lo que lidiarás con el volumen de una esfera. Además, reconoce que se te proporciona el diámetro, por lo que tendrás que comenzar a pensar cómo afectará la solución.
- Dibujar un diagrama del problema suele ser útil. En este caso, se supone que el globo es una esfera perfecta, que puedes representar en un diagrama con un círculo. Marca el radio como la distancia desde el centro hasta el círculo.
2
Determina qué se te pide que resuelvas. Cualquier problema de tasas relacionadas consiste en dos o más elementos cambiantes, además de cualquier número de términos constantes que tendrán cierta relación con la respuesta. Lee el problema e identifica qué es lo que tienes que resolver. También es útil reconocer qué información en el problema no será parte de la respuesta.^{[2]
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Fuente de investigación}
- En el problema mencionado, reconoce que la pregunta específica tiene que ver con la tasa de cambio del radio del globo. Sin embargo, ten en cuenta que se te proporciona información sobre su diámetro, no su radio. Tendrás que adaptarlo mientras trabajas con el problema. Nota que también se te proporciona información sobre el aire que se bombea al globo, que cambia su volumen.
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Enumera las funciones y variables. Después de comprender el problema, escribe la información que conozcas y la que no conozcas. Determina las variables para cada uno y escríbelas. Sé tan explícito como puedas en esta parte para no confundirte más tarde. Cualquier tasa que se proporcione en el problema se debe expresar como derivada con respecto al tiempo. Ten en cuenta que la derivada se puede expresar simbólicamente con la notación de "primo", como $r^{\prime }$ $r^{\prime }$ , o, más explícito, ${\frac {dr}{dt}}$ ${\frac {dr}{dt}}$ . Ambos indican la derivada del radio con respecto al tiempo.^{[3]
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Fuente de investigación}
- En este problema, tendrás que identificar los siguientes elementos:
  - ${\frac {dV}{dt}}=5cm^{3}/min$
  - $d=20cm.$
  - ${\frac {dr}{dt}}=$ tasa desconocida del cambio del radio (a resolver).
- Ten en cuenta que los datos proporcionados con respecto al tamaño del globo es su diámetro. Sin embargo, planificando con anticipación, recuerda que la fórmula para el volumen de un globo utiliza un radio. Por lo tanto, también debes identificar esa variable:
  - $r=10cm.$ El radio es la mitad del diámetro.
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Parte 2

Parte 2 de 4:
Preparar la solución

1
Determina la función que se relaciona con las variables. El paso más difícil e importante a la hora de resolver problemas de tasas relacionadas es determinar qué fórmula tienes que usar que se relacione con los datos que tienes. En este problema, conoces el diámetro y radio de un globo, y tienes información sobre su volumen. Por lo tanto, la fórmula que tendrás que usar será la fórmula del volumen de una esfera.^{[4]
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Fuente de investigación}
- $V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$
2
Haz una distinción con respecto al tiempo. Reconoce que la fórmula en sí es una representación del volumen en relación con el radio. Sin embargo, para este problema, se te proporciona la tasa de cambio del volumen (el aire bombeado) y se te pide que resuelvas la tasa de cambio del radio. La tasa del cambio se proporciona por la primera derivada de la ecuación.^{[5]
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Fuente de investigación}
- ${\frac {dV}{dt}}=4\pi r^{2}{\frac {dr}{dt}}$
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Reemplaza los datos conocidos. Revisa tus notas previas en las que has escrito los valores de distintas funciones y variables. Introduce los datos en la función derivada con la que trabajes. Cuando lo hagas, determinarás que una variable sigue presente en el problema. Esta es la que intentas resolver.^{[6]
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Fuente de investigación}
- En este problema, conoces la tasa de cambio del volumen y el radio. Lo único desconocido es la tasa de cambio del radio, que debe ser tu solución.
  - ${\frac {dV}{dt}}=4\pi r^{2}{\frac {dr}{dt}}$
  - $5=4\pi *10^{2}{\frac {dr}{dt}}$
  - $5=400\pi {\frac {dr}{dt}}$
  - ${\frac {5}{400\pi }}={\frac {dr}{dt}}$
  - ${\frac {1}{80\pi }}={\frac {dr}{dt}}$
4
Interpreta el resultado. Revisa tu trabajo y verifica si has respondido la pregunta planteada, y si tu resultado es razonable en términos de los datos proporcionados.^{[7]
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Fuente de investigación}
- En este caso, la solución es para ${\frac {dr}{dt}}$ ${\frac {dr}{dt}}$ , que es la tasa de cambio del radio. Esto es lo que pide la consigna del problema. Luego, expresa la respuesta numérica con sus unidades para presentar la respuesta final del problema:
  - ${\frac {dr}{dt}}={\frac {1}{80\pi }}$ centímetros por minuto
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Parte 3

Parte 3 de 4:
Resolver un problema de ejemplo con triángulos

1
Lee y comprende el problema. El primer paso es leer el problema detenidamente e interpretar lo que se pide. Piensa en el siguiente problema:
- Un campo de béisbol mide 90 pies cuadrados (27 metros cuadrados). Un corredor corre desde la primera base a la segunda a 25 pies (7 metros) por segundo. ¿Qué tan rápido se aleja de la meta cuando está a 30 pies (9 metros) de la primera base?
- Puedes expresar el problema en un diagrama con un cuadrado que represente el campo de béisbol. Etiqueta una esquina del cuadrado como "Meta".
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Determina qué se te pide que resuelvas. En este caso, la consigna pide la velocidad del corredor. La velocidad es una tasa de cambio de distancia, por lo que tienes que reconocer que se te pide la derivada de la distancia desde la meta hasta el corredor. Pensando en la situación, visualiza un triángulo rectángulo que represente el campo de béisbol.
- Una pata del triángulo es el camino base desde la meta a la primera base, que es 90 pies (27 metros).
- La segunda pata es el camino base desde la primera base hasta el corredor, que puedes designar por longitud $r$ . Se te pide que resuelvas el problema cuando la distancia es de 30 pies (9 metros).
- La tasa de cambio de esta distancia, ${\frac {dr}{dt}}$ , es la velocidad del corredor.
- La hipotenusa del triángulo rectángulo es la longitud de la línea recta desde la meta hasta el corredor (a lo largo de la parte media del campo de béisbol). Designa a esta distancia $d$ . No se te indica la distancia, pero puedes calcularla con el teorema de Pitágoras. Si las dos patas son de 90 y 30, la hipotenusa $d$ es ${\sqrt {90^{2}+30^{2}}}$ . Por lo tanto, $d=30{\sqrt {10}}$ .
- La pregunta en sí es sobre la tasa de cambio de esta distancia o qué tan rápido el corredor se aleja de la meta. Esta será la derivada, ${\frac {dd}{dt}}$ .
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Encuentra la fórmula que relaciona todos estos términos. En este caso, el campo de béisbol se puede representar con un triángulo rectángulo, por lo que tendrás que pensar de inmediato en el teorema de Pitágoras, $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ . Tu tarea es traducir $a,b,c$ $a,b,c$ en términos de tu problema.
- La primera pata, $a$ , es la distancia desde la meta a la primera base, 90 pies.
- La segunda pata, $b$ , es la distancia desde la primera base al corredor. Usa la variable $r$ . Se te pide que resuelvas el problema para el instante cuando $r=30$ .
- La hipotenusa, $c$ , es la distancia desde la meta hasta el corredor, $d$ .
- Escribe la nueva ecuación:
  - $d^{2}=90^{2}+r^{2}$
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Encuentra la derivada de la fórmula. Para ir de distancias a tasas de cambio (velocidad), necesitarás la derivada de la fórmula. Toma la derivada de ambos lados de la ecuación con respecto al tiempo (t).
- $2d{\frac {dd}{dt}}=2r{\frac {dr}{dt}}$
- Ten en cuenta que el término constante, $90^{2}$ , queda fuera de la ecuación cuando tomas la derivada.
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Resuelve la tasa que quieres encontrar. Usando la fórmula derivada, introduce los valores que conoces, y simplifica para encontrar la solución.
- $2d{\frac {dd}{dt}}=2r{\frac {dr}{dt}}$
- $2*30{\sqrt {10}}{\frac {dd}{dt}}=2*30*25$
- ${\frac {dd}{dt}}={\frac {2*30*25}{2*30{\sqrt {10}}}}$
- ${\frac {dd}{dt}}={\frac {25}{\sqrt {10}}}$
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Interpreta el resultado. La tasa de cambio de la hipotenusa, o la velocidad a la que el corredor se aleja de la meta, es ${\frac {25}{\sqrt {10}}}$ pies por segundo. Convirtiendo esto a una tasa más entendible, el corredor se aleja a 7,9 pies por segundo de la meta en este instante.

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Parte 4

Parte 4 de 4:
Resolver un problema de ejemplo con un cilindro

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Lee y comprende el problema. Analiza este problema:
- El agua fluye a 8 pies cúbicos (0,2 metros cúbicos) por minuto en un cilindro con un radio de 4 pies (1,2 metros). ¿Qué tan rápido asciende el nivel del agua?
- Dibuja un cilindro para hacer un diagrama del problema. Haz una línea horizontal a lo largo de su parte media para representar el nivel del agua.
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Determina qué se te pide que resuelvas. Se indica que el agua llena un cilindro, lo que significa que tendrás que medir el volumen del cilindro de cierta forma. Se te pide la tasa de cambio del nivel del agua.
- A medida que el agua llena el cilindro, el volumen del agua, que puedes llamar $V$ , aumenta.
- La tasa de incremento, ${\frac {dV}{dt}}$ , es la cantidad de flujo de agua, u 8 pies cúbicos (0,2 metros cúbicos) por minuto.
- El nivel del agua, $h$ , no se proporciona.
- La tasa de cambio del nivel, ${\frac {dh}{dt}}$ , es la solución al problema.
- También se indica que el radio del cilindro, $r$ , es 4 pies (1,2 metros).
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Determina la fórmula para conectar la información que conoces y tienes que resolver. En este caso, trabajas con un cilindro, su volumen, su nivel y su radio. La fórmula que relaciona estos términos es:
- $V=\pi r^{2}h$
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Encuentra la derivada de la fórmula para determinar las tasas de cambio. Usando esta ecuación, toma la derivada de cada lado con respecto al tiempo $t$ $t$ para tener una ecuación que involucre las tasas de cambio:
- $V=\pi r^{2}h$
- ${\frac {dV}{dt}}=\pi r^{2}{\frac {dh}{dt}}$
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Introduce los valores conocidos para resolver el problema. Ya conoces la tasa de cambio del volumen y el radio del cilindro. Introdúcelos y simplifica para determinar la tasa a la que el nivel del agua asciende:
- ${\frac {dV}{dt}}=\pi r^{2}{\frac {dh}{dt}}$
- $8=\pi (4^{2}){\frac {dh}{dt}}$
- $8=16\pi {\frac {dh}{dt}}$
- ${\frac {8}{16\pi }}={\frac {dh}{dt}}$
- ${\frac {1}{2\pi }}={\frac {dh}{dt}}$
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Interpreta el resultado. A medida que el agua se vierte en el cilindro a una tasa de 8 pies cúbicos (0,2 metros cúbicos) por minuto, la tasa de cambio del nivel es ${\frac {1}{2\pi }}$ pies por minuto. Convirtiendo este resultado a una tasa más entendible, es aproximadamente 0,16 pies (0,04 metros) por minuto o casi 2 pulgadas (5 centímetros) por minuto.

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Consejos

Es fundamental reconocer que, cuando resuelves un problema de tasas relacionadas, las variables proporcionadas son siempre funciones de tiempo.
Cuando tomas la derivada de una ecuación, asegúrate de hacerlo de forma implícita con respecto al tiempo.
Verifica tu trabajo dos veces para identificar errores aritméticos.
Examina tu respuesta final y hazte la pregunta "¿Esta respuesta tiene sentido lógico?".
Recuerda que, si la pregunta te proporciona una tasa decreciente (como el volumen de un globo que se reduce), la tasa de cambio contra el tiempo (como dV/dt) será un número negativo.

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