كواتيرنيون

من أجل أي كواتيرنيون تعطى الصيغ الأساسية لجداء عوامل الكواتيرنيون على الشكل التالي:

${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1\,}$

حيث i, j, k وتلخص جداءات العناصر الرئيسية للكواتيرنيونات في الجدول التالي:

${\displaystyle {\begin{matrix}ij&=&k,&&&&ji&=&-k,\\jk&=&i,&&&&kj&=&-i,\\ki&=&j,&&&&ik&=&-j.\end{matrix}}}$

على سبيل المثال: بما أن

${\displaystyle -1=ijk,\,\!}$

فإن حاصل الجداء اليميني لكلا طرفي المعادلة بـ k يعطي:

${\displaystyle {\begin{matrix}-k&=&ijkk,\\-k&=&ij(-1),\\k&=&ij.\end{matrix}}\,\!}$

وبمثل هذه الطريقة يتم الحصول على كامل جدول الضرب. على خلاف جداء الأعداد الحقيقية أو العقدية، فإن جداء الكواتيرنيون ليس عملية تبديلية مثلاً ${\displaystyle ij=k}$, بينما ${\displaystyle ji=-k}$. إن الخاصة اللاتبديلية لجداء الكواتيرنيون له خصائص غير متوقعة، مثلاً فإن المعادلات متعددة الحدود الممثلة على شكل كواتيرنيونات من الممكن أن يكون لها عدد حلول فريدة أكثر من درجة المعادلة. مثلاً المعادلة

${\displaystyle z^{2}+1=0}$

تملك عدد حلول لانهائي للكواتيرنيون تعطى بالعلاقة

${\displaystyle z=bi+cj+dk}$ حيث ${\displaystyle b^{2}+c^{2}+d^{2}=1}$

حيث تمثل مجموعة الحلول كرة واحدية متمركزة في الفضاء العقدي الثلاثي الأبعاد الذي هو فضاء جزئي من فضاء الكواتيرنيون، وتقطع هذه الكرة المستوي العقدي فقط عند قطبيها ${\displaystyle i}$ و${\displaystyle -i}$.