Función (matemática)

• Todos los números reales tienen un cubo, por lo que existe la función «cubo» que a cada número en el dominio ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (números reales) le asigna su cubo en el codominio ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• Exceptuando al 0, todos los números reales tienen un único inverso. Existe entonces la función «inverso» cuyo dominio son los números reales no nulos ${\displaystyle \mathbb {R} }$ \ {0}, y con codominio ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• Cada mamífero conocido se clasifica en un género, como Homo, Sus o Loxodonta. Existe por tanto una función «clasificación en géneros» que asigna a cada mamífero de la colección M = {mamíferos conocidos} su género. El codominio de «clasificación en géneros» es la colección G = {géneros de Mammalia}.
• Existe una función «área» que a cada triángulo del plano (en la colección T de todos ellos, su dominio), le asigna su área, un número real, luego su codominio es ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• En unas elecciones en las que cada votante pueda emitir un único voto, existe una función «voto» que asigna a cada elector el partido que elija. En la imagen se muestra un conjunto de electores E y un conjunto de partidos P, y una función entre ellos.

Existen muchos ejemplos de funciones que «necesitan dos valores» para ser calculadas, como la función «tiempo de viaje» T, que viene dada por el cociente entre la distancia d y la velocidad media v: cada pareja de números reales positivos (una distancia y una velocidad) tiene asociada un número real positivo (el tiempo de viaje). Por tanto, una función puede tener dos (o más) variables independientes.

La noción de función de múltiples variables independientes no necesita de una definición específica separada de la de función «ordinaria». La generalidad de la definición anterior, en la que se contempla que el dominio sea un conjunto de objetos matemáticos arbitrarios, permite omitir la especificación de dos (o más) conjuntos de variables independientes, A₁ y A₂, por ejemplo. En lugar de ello, el dominio se toma como el conjunto de las parejas (a₁, a₂), con primera componente en A₁ y segunda componente en A₂. Este conjunto se denomina el producto cartesiano de A₁ y A₂, y se denota por A₁ × A₂.

De este modo las dos variables independientes quedan reunidas en un solo objeto. Por ejemplo, en el caso de la función T, su dominio es el conjunto ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ × ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$, el conjunto de parejas de números reales positivos. En el caso de más de dos variables, la definición es la misma, usando un conjunto ordenado de múltiples objetos, (a₁,..., a_n), una n-tupla. También el caso de múltiples variables dependientes se contempla de esta manera. Por ejemplo, una función división puede tomar dos números naturales como valores de entrada (dividendo y divisor) y arrojar dos números naturales como valores de salida (cociente y resto). Se dice entonces que esta función tiene como dominio y codominio el conjunto ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$.

La notación habitual para presentar una función f con dominio A y codominio B es:

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}f:&A&\longrightarrow &B\\&a&\mapsto &b=f(a)\end{array}}}$

También se dice que f es una función «de A a B» o «entre A y B». El dominio de una función f se denota también por dom(f), D(f), Df, etc. Por f(a) se resume la operación o regla que permite obtener el elemento de B asociado a un cierto a ∈ A, denominado la imagen de a.[7]

• La función «cubo» puede denotarse ahora como ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, con ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$ para cada número real ${\displaystyle x}$.
• La función «inverso» es ${\displaystyle g:\mathbb {R} \setminus \{0\}\to \mathbb {R} }$, con ${\displaystyle g(x)={\frac {1}{x}}}$ para cada ${\displaystyle x}$ real y no nulo.
• La función «clasificación en géneros» puede escribirse como ${\displaystyle \gamma :M\to G}$, donde γ(m) = Género de m, para cada mamífero conocido m.
• La función «área» se puede denotar como ${\displaystyle A:T\to R}$, y entonces ${\displaystyle A(t)=B\times {\frac {H}{2}}}$, donde t es un triángulo del plano, B su base, y H su altura.
• La función «voto» se puede escribir como v: E → P, donde v(a) = Partido que a votó, para cada votante a.

La notación utilizada puede ser un poco más laxa, como por ejemplo ${\displaystyle f(n)={\sqrt {n}}}$. En dicha expresión, no se especifica que conjuntos se toman como dominio y codominio. En general, estos vendrán dados por el contexto en el que se especifique dicha función. En el caso de funciones de varias variables (dos, por ejemplo), la imagen del par ${\displaystyle (a_{1},a_{2})}$ no se denota por ${\displaystyle f((a_{1},a_{2}))}$, sino por ${\displaystyle f(a_{1},a_{2})}$, y similarmente para más variables.

Existen además terminologías diversas en distintas ramas de la matemática para referirse a funciones con determinados dominios y codominios:

• Función real: ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$
• Función compleja: ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$
• Función escalar: ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$
• Función vectorial: ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$

También las sucesiones infinitas de elementos tales como a, b, c, ... son funciones, cuyo dominio en este caso son los números naturales. Las palabras «función», «aplicación», «mapeo», u otras como «operador», «funcional», etc., pueden designar tipos concretos de función según el contexto. Adicionalmente, algunos autores restringen la palabra «función» para el caso en el que los elementos del conjunto inicial y final son números.[8]

Dado un conjunto de votantes y un conjunto de posible partidos, en unas elecciones, el sentido del voto de cada individuo se puede visualizar como una función.

Los elementos del codominio B asociados con algún elemento del dominio A constituyen la imagen de la función.

La imagen de una función ${\displaystyle f}$ se denota por ${\textstyle {\text{Im}}(f)}$ o ${\displaystyle f(A)}$, mientras que la imagen de un subconjunto ${\textstyle X\subseteq A}$ se denota, a su vez, por ${\displaystyle f(X)}$ o ${\displaystyle f[X]}$. En notación conjuntista las imágenes de f y X se denotan:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{Im}}(f)=f(A)=\{b\in B:{\text{existe }}a\in A{\text{ tal que }}f(a)=b\}\\&f(X)=\{b\in B:{\text{existe }}a\in X\subseteq A{\text{ tal que }}f(a)=b\}\end{aligned}}}$

La anti-imagen de cada partido es el conjunto de los electores que lo votaron.

La imagen de una función f es un subconjunto del codominio de la misma, pero no son necesariamente iguales: pueden existir elementos en el codominio que no son la imagen de ningún elemento del dominio, es decir, que no tienen preimagen.

Así, la preimagen de un elemento del codominio puede no contener ningún objeto o, por el contrario, contener uno o más objetos, cuando a uno o varios elementos del dominio se les asigna dicho elemento del codominio. En notación conjuntista, se escriben:

${\displaystyle {\begin{aligned}&f^{-1}(b)=\{a\in A:f(a)=b\}\\&f^{-1}(Y)=\{a\in A:{\text{ existe }}b\in Y{\text{ con }}f(a)=b\}\end{aligned}}}$

• La imagen de la función cubo f es todo ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ya que todo número real posee una raíz cúbica real. En particular, las raíces cúbicas de los números positivos (negativos) son positivas (negativas), por lo que se tiene, por ejemplo, ${\displaystyle f^{-1}(\mathbb {R} ^{+})=\mathbb {R} ^{+}}$
• El recorrido de la función inverso g no es igual a su codominio, ya que no hay ningún número real x cuyo inverso sea 0.
• Para la función «clasificación en géneros» γ se tiene:

γ(Perro) = Canis, y γ⁻¹(Canis) = {Perro, coyote, chacal,...}.

• Como el área es siempre un número positivo, el recorrido de la función área A es ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$.
• En el diagrama puede comprobarse que la imagen de la función voto v no coincide con el codominio, ya que el partido C no recibió ningún voto. Sin embargo puede verse que, por ejemplo, v⁻¹(Partido A) tiene 2 elementos.

Dadas dos funciones, para que sean idénticas han de tener el mismo dominio y codominio, y asignar la misma imagen a cada elemento del dominio:

• La función cubo ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ es biyectiva. Es inyectiva porque dos números reales que tienen el mismo cubo son idénticos, y es suprayectiva porque ${\displaystyle Im(f)=\mathbb {R} }$.
• La función «inverso» ${\displaystyle g:\mathbb {R} \backslash {0}\to \mathbb {R} }$ es inyectiva, ya que el inverso de cada número real no nulo es único (1/x = 1/y implica necesariamente que x = y). Sin embargo no es suprayectiva, dado que ${\displaystyle Im(g)=\mathbb {R} \backslash {0}.}$
• La función de clasificación de mamíferos γ: M → G no es inyectiva, ya que hay mamíferos distintos en el mismo género (por ejemplo, γ(Yak) = γ(Toro) = Bos). Sin embargo sí es suprayectiva, ya que en cada género de mamíferos hay clasificada al menos una especie de mamíferos.
• La función área A: T → R no es sobreyectiva, ya que Im(A) = R⁺. Tampoco es inyectiva, ya que pueden construirse con facilidad triángulos distintos con la misma área.
• En la imagen pueden verse varios ejemplos de funciones entre un conjunto de pinceles P y un conjunto de caras C.

La composición g ∘ f actúa sobre el objeto x transformándolo según f, y después transformando f(x) mediante g.

Dadas dos funciones, bajo ciertas condiciones podemos usar los valores de salida de una de ellas como valores de entrada para la otra, creando una nueva función.

Es decir, la composición g ∘ f hace actuar primero la función f sobre un elemento de A, y luego g sobre la imagen que se obtenga:

${\displaystyle x\mapsto f(x)\mapsto g(f(x))}$

La condición Im(f) ⊆ C asegura precisamente que este segundo paso se pueda llevar a cabo.

Ejemplos

• La imagen de la función «inverso» g es R \ {0} —puesto que todo número real no nulo es el inverso de otro—, y por tanto está contenido en el dominio de la función cubo f, que es R. La composición f ∘ g: R \ {0} → R actúa entonces como f(g(x)) = f(1/x) = (1/x)³ = 1/x³.
• Dadas las funciones reales ${\displaystyle h_{1}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ y ${\displaystyle h_{2}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ dadas por ${\displaystyle h_{1}(x)=x^{2}}$ y ${\displaystyle h_{2}(x)=x+1}$, puede tomarse la composición en ambos órdenes, h₁ ∘ h₂ y h₂ ∘ h₁. Sin embargo, son funciones distintas, ya que:

${\displaystyle (h_{1}\circ h_{2})(x)=h_{1}(h_{2}(x))=h_{1}(x+1)=(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1}$, y

${\displaystyle (h_{2}\circ h_{1})(x)=h_{2}(h_{1}(x))=h_{2}(x^{2})=x^{2}+1}$

• La función γ que clasifica los mamíferos en géneros puede componerse con la función ω: G → Or que clasifica los géneros de mamíferos en órdenes —que forman el conjunto Or—. La función ω ∘ γ asigna a cada mamífero su orden:

(ω ∘ γ)(Humano) = ω(Homo) = Primate, (ω ∘ γ)(Guanaco) = ω(Lama) = Artiodactyla

En cualquier conjunto puede definirse una función identidad, que teniendo como dominio y codominio al propio conjunto, asocia cada elemento consigo mismo.

También se denota como I_A. La función identidad actúa como un elemento neutro al componer funciones, ya que no «hace nada». La función única sobre un conjunto X que asigna cada elemento a sí mismo se denomina función de identidad para X y, típicamente, se indica con idX. Cada conjunto tiene su propia función de identidad, por lo que el subíndice no puede omitirse a menos que el conjunto pueda deducirse del contexto. Bajo composición, una función de identidad es «neutral»: si f es cualquier función de X a Y, entonces:

Es decir, dado un elemento x ∈ A, se tiene que:

${\displaystyle {\begin{aligned}&x\ {\stackrel {{\text{id}}_{A}}{\longmapsto }}\ x\ {\stackrel {f}{\longmapsto }}\ f(x)\\&x\ {\stackrel {f}{\longmapsto }}\ f(x)\ {\stackrel {{\text{id}}_{B}}{\longmapsto }}\ f(x)\end{aligned}}}$

Una función puede tener inversa, es decir, otra función que al componerla con ella resulte en la identidad, del mismo modo que un número multiplicado por su inverso da 1.

No todas las funciones son invertibles, sino que solo aquellas que sean biyectivas poseen inversa:

La notación para funciones inversas puede ser confusa. Para un elemento del codominio b, f⁻¹(b) puede denotar tanto la anti-imagen de b (un subconjunto del dominio), como a la imagen de b por la función inversa de f (un elemento del dominio), en el caso de que f sea invertible.

• La función «exponencial» ${\displaystyle h:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, que asocia a cada número real su exponencial, ${\displaystyle h(x)=e^{x}}$, no es invertible, ya que no es suprayectiva: ningún número negativo pertenece a la imagen de h.
• Existe una función que calcula el cambio entre dos divisas. En el caso del cambio de rupias a quetzales (las monedas de la India y Guatemala), la conversión está dada (en 2011) por:
   Q(r) = 0,15 × r
  Esta función de cambio tiene inversa, la conversión recíproca de quetzales a rupias:
   R(q) = 6,65 × q
• La función cubo f(x) = x³ es invertible, ya que podemos definir la función inversa mediante la raíz cúbica, f⁻¹(x) = ³√x.
• La función de clasificación en géneros γ: M → G no es invertible, ya que no es inyectiva, y para cada género pueden existir varios mamíferos clasificados en él.
• La función que asigna a cada día de la semana su siguiente tiene por inversa la función que asigna a cada día de la semana su antecesor:

Lunes → Domingo, Martes → Lunes,..., Domingo → Sábado

La función que asigna a cada mujer del electorado su voto es una restricción de la función que a cada miembro del electorado le asigna su voto.

La restricción de una función dada es otra función definida en una parte del dominio de la original, pero que «actúa igual» que esta. Se dice también que la primera es una extensión de la segunda. Informalmente, una restricción de una función f es el resultado de recortar su dominio. De manera más precisa, si S es un subconjunto de X, la restricción de f a S es la función f | S de S a Y tal que f | S (s) = f (s) para todo s en S. Si g es a Restricción de f, entonces se dice que f es una extensión de g.

La restricción de una función f: A → B a un subconjunto C ⊆ A se denota por f|_C.

Un enfoque alternativo para manejar funciones con múltiples argumentos es transformarlas en una cadena de funciones que cada una toma un solo argumento. Por ejemplo, se puede interpretar Add (3,5) para significar "producir primero una función que añade 3 a su argumento, y luego aplicar la función 'Añadir 3' a 5". Esta transformación se llama currying: Add 3 es curry (Add) aplicado a 3. Hay una biyección entre los espacios de función CA × B y (CB) A.

Cuando se trabaja con funciones con curry, es habitual usar la notación de prefijo con la aplicación de función considerada asociativa a la izquierda, ya que la yuxtaposición de múltiples argumentos —como en f(x, y)— normalmente se correlaciona con la evaluación de una función curry. Por el contrario, los símbolos → y "are" se consideran asociativos a la derecha, de modo que las funciones curry pueden definirse mediante una notación como f: ℤ → ℤ → ℤ = x ⟼ y ⟼ x · y.