Tridimensional

Los libros del siglo once después de Cristo a siglo trece después de Cristo de los Elementos de Euclides tratan de la geometría tridimensional. El libro XI desarrolla nociones de ortogonalidad y paralelismo de líneas y planos, y define sólidos que incluyen paralelepípedos, pirámides, prismas, esferas, octaedros, icosaedros y dodecaedros. El libro XII desarrolla nociones de semejanza de sólidos. El Libro XIII describe la construcción de los cinco sólidos platónicos regulares en una esfera.

En el siglo siglo diecisiete después de Cristo el espacio tridimensional fue descrito con coordenadas cartesianas, con el advenimiento de la geometría analítica desarrollada por René Descartes en su obra La Géométrie y Pierre de Fermat en el manuscrito Ad locos planos et solidos isagoge (Introducción a los lugares geométricos planos y sólidos), inédito en vida de Fermat. Sin embargo, solo el trabajo de Fermat se ocupó del espacio tridimensional.

En el siglo XIX, los desarrollos de la geometría del espacio tridimensional llegaron con el desarrollo de William Rowan Hamilton de los cuaterniones. De hecho, fue Hamilton quien acuñó los términos escalar y vector, y se definieron por primera vez dentro de su marco geométrico para cuaterniones. El espacio tridimensional podría entonces ser descrito por cuaterniones ${\displaystyle q=a+ui+vj+wk}$ que tenía un componente escalar que se desvanece, es decir, ${\displaystyle a=0}$. Si bien Hamilton no lo estudió explícitamente, esto introdujo indirectamente nociones de base, aquí dadas por los elementos de cuaternión ${\displaystyle i,j,k}$, así como el producto escalar y el producto vectorial, que corresponden a (el negativo de) la parte escalar y la parte vectorial del producto de dos cuaterniones vectoriales.

No fue hasta Josiah Willard Gibbs que estos dos productos se identificaron por derecho propio, y la notación moderna para el producto punto y cruz se introdujo en sus notas de enseñanza en el aula, que también se encuentran en el libro de texto de 1901 Vector Analysis escrito por Edwin Bidwell Wilson basado en las conferencias de Gibbs.

También durante el siglo XIX se produjeron desarrollos en el formalismo abstracto de los espacios vectoriales, con el trabajo de Hermann Grassmann y Giuseppe Peano, el último de los cuales dio por primera vez la definición moderna de los espacios vectoriales como una estructura algebraica.

Tres planos ortogonales en el espacio.

En un espacio euclídeo convencional un objeto físico finito está contenido dentro de un ortoedro mínimo, cuyas dimensiones se llaman ancho, largo y profundidad o altura. El espacio físico a nuestro alrededor es tridimensional a simple vista. Sin embargo, cuando se consideran fenómenos físicos como la gravedad, la teoría de la relatividad nos lleva a que el universo es un entre tetra-dimensional que incluye tanto dimensiones espaciales como el tiempo como otra dimensión. Diferentes observadores percibirán diferentes "secciones espaciales" de este espacio-tiempo por lo que el espacio físico es algo más complejo que un espacio euclídeo tridimensional.

En las teorías recientes no existe una razón clara para que el número de dimensiones espaciales sean tres. Aunque existen ciertas intuiciones sobre ello: Ehrenfest señaló que en cuatro o más dimensiones las órbitas planetarias cerradas, por ejemplo, no serían estables (y por ende, parece difícil que en un universo así existiera vida inteligente preguntándose por la tridimensionalidad espacial del universo). También se sabe que existe una conexión entre la intensidad de un campo de fuerzas estático con simetría esférica que se extiende sobre un espacio de d dimensiones y que satisface el teorema de Gauss y la dimensión del espacio (d), un campo gravitatorio, electrostático o de otro tipo que cumpla con dichas condiciones para grandes distancias debe tener una variación de la forma:

${\displaystyle \phi =k_{\phi }{\frac {f}{r^{d-1}}}\qquad d\geq 3}$

Donde:

${\displaystyle \phi \,}$ es la intensidad del campo.

${\displaystyle k_{\phi }\,}$ es una constante de proporcionalidad (${\displaystyle k_{\phi }=-G\,}$ para el campo gravitatorio).

${\displaystyle f\,}$ es una magnitud extensiva que mida la capacidad de fuente para provocar el campo, para un campo gravitatorio coincide con la masa y para uno eléctrico con la carga.

${\displaystyle r\,}$ es la distancia al "centro" o fuente que crea el campo.

${\displaystyle d\,}$ es la dimensión del espacio.

Si la geometría del espacio d-dimensional no es euclídea entonces la expresión anterior debe corregirse según la curvatura.

Por otra parte, teorías físicas de tipo Kaluza-Klein –como las diferentes versiones de la teoría de cuerdas– postulan que existe un número adicional de dimensiones compactificadas, que solo serían observables en experimentos con partículas altamente energéticas. En estas teorías algunas de las interacciones fundamentales pueden ser explicadas de manera sencilla postulando dimensiones adicionales de un modo similar a como la relatividad general explica la gravedad. De hecho, la propuesta original de Theodor Kaluza explicaba de manera unificada el electromagnetismo y la gravedad, postulando un universo de cinco dimensiones con una dimensión compactada.

Forma tridimensional de una campana de Gauss.

En geometría son tridimensionales las siguientes figuras geométricas:

• Poliedros de caras planas:
  • Pirámides
  • Cubo
  • Prismas
• Superficies curvas:
  • Cilindro
  • Conos
  • Esfera o 3-esfera

Ya que todas ellas pueden ser embebidas en un espacio euclídeo de tres dimensiones. Sin embargo, hay que señalar que técnicamente la esfera, el cono o el cilindro son variedades bidimensionales (solo la cáscara) ya que los puntos interiores a ellos no son estrictamente parte de los mismos. Solo por un abuso de lenguaje o extensión del mismo informalmente se habla de esferas, cilindros o conos incluyendo el interior de los mismos.

Por otra parte existe la hiperesfera tridimensional (3-variedad) pero no es la cáscara de una bola sino la compactificación de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ con un punto, así como la 2-esfera es para el plano euclídeo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.

En química, se habla de sistemas tridimensionales cuando el enlace químico es igualmente intenso en las tres direcciones del espacio (por ejemplo, en el diamante). En magnetismo, se dice que el ordenamiento magnético solo es posible si el acoplamiento magnético es tridimensional (se extiende en las tres direcciones del espacio). En matemáticas el sistema tridimensional se representa en el plano cartesiano con los ejes X, Y y Z. Por lo general en estas representaciones se manejan las formas geométricas de tres dimensiones como los cubos o las esferas en dos dimensiones utilizando perspectivas.

Hoy en día es posible la simulación mediante cálculos basados en la proyección de entornos tridimensionales sobre pantallas bidimensionales, como monitores o televisores. Estos cálculos requieren de una gran carga de proceso por lo que algunas computadoras y videoconsolas disponen de cierto grado de aceleración gráfica 3D gracias a dispositivos desarrollados para tal fin. Las computadoras disponen de las llamadas tarjetas gráficas con aceleración 3D. Estos dispositivos están formados por uno o varios procesadores (unidad de procesamiento gráfico) diseñados especialmente para acelerar los cálculos que suponen reproducir imágenes tridimensionales sobre una pantalla bidimensional y de esta forma liberar de carga de proceso a la unidad central de procesamiento de la computadora.

• M. R. Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Vector Analysis. Schaum’s Outlines (2nd ed.). USA: McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.