Espacio de Banach

Si ${\displaystyle p\geq 1}$ es un número real, podemos considerar el espacio de todas las sucesiones infinitas ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},\dots )}$ de elementos en ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$ tales que la serie infinita ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }|x_{k}|^{p}}$ es finita. Entonces se define la ${\displaystyle p}$-norma (o norma-${\displaystyle p}$) de la sucesión como la raíz ${\displaystyle p}$-ésima del valor de la serie. Este espacio, junto a su norma, es un espacio de Banach; se denota por ${\displaystyle \ell ^{p}}$:

${\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {K} ):=\left\{(x_{1},x_{2},\dots ,)\in \mathbb {K} ^{\omega }\colon \sum _{i=k}^{\infty }|x_{k}|^{p}<\infty \right\}}$

El espacio de Banach ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ consiste en todas las sucesiones acotadas de elementos en ${\displaystyle \mathbb {K} }$; la norma de una de estas sucesiones se define como el supremo de los valores absolutos de los miembros de la sucesión.

Si ${\displaystyle p\geq 1}$ es un número real, podemos considerar a todas las funciones ${\displaystyle f:\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ tales que | f |^p es Lebesgue-integrable, es decir el conjunto

${\displaystyle F_{p}(\Omega )=\{f:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}|\int _{\Omega }|f(\mathbf {x} )|^{p}\ d\mathbf {x} <\infty \}}$

Se define la norma de ${\displaystyle f}$ como la raíz ${\displaystyle p}$-ésima de esta integral. Por sí mismo, este espacio no es un espacio de Banach porque existen funciones no nulas cuya norma es cero. Definimos una relación de equivalencia como sigue:

${\displaystyle f\sim g\Leftrightarrow \int _{\Omega }|f-g|^{p}\ d^{n}\mathbf {x} =0}$

Es decir, ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$ son equivalentes si y solo si la "semi-norma" de ${\displaystyle f-g}$ es cero. El conjunto de las clases de equivalencia obtiene entonces la estructura de espacio de Banach y es denotado por ${\displaystyle L^{p}(\Omega )}$:

${\displaystyle L^{p}(\Omega )=F_{p}(\Omega )/\sim }$

Es crucial usar la integral de Lebesgue en lugar de la integral de Riemann en este caso, porque la integral de Riemann no daría un espacio completo. Estos ejemplos se pueden generalizar: ver espacios L ^p para más detalles.

• Si ${\displaystyle X}$ y ${\displaystyle Y}$ son dos espacios de Banach, entonces podemos formar su suma directa ${\displaystyle X\oplus Y}$, que es un espacio de Banach también. Esta construcción se puede generalizar para la suma directa de una cantidad arbitraria de espacios de Banach.
• Si ${\displaystyle M}$ es un subespacio vectorial cerrado de un espacio de Banach ${\displaystyle X}$, entonces el espacio cociente ${\displaystyle X/M}$ es un espacio de Banach también.
• Finalmente, todo espacio de Hilbert es un espacio de Banach. El recíproco no es cierto.

Un conjunto ${\displaystyle S}$ en un espacio de Banach ${\displaystyle X}$ se llama bicompacto si de toda sucesión ${\displaystyle x_{n}}$ de ${\displaystyle S}$, con ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ se puede obtener un subsucesión, cuyo límite está en ${\displaystyle S}$.

Un conjunto ${\displaystyle M}$ de un espacio vectorial normado se llama compacto si de toda sucesión ${\displaystyle x_{n}}$ de ${\displaystyle M}$, con ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ se puede extraer una subsucesión fundamental.

Un conjunto ${\displaystyle H}$ de elementos de un espacio vectorial normado ${\displaystyle X}$ se llama localmente compacto si la intersección de ${\displaystyle H}$ con cualquiera bola cerrada en ${\displaystyle X}$ es compacta.

Un conjunto ${\displaystyle H}$ de un espacio de Banach ${\displaystyle X}$ se llama débilmemente compacto si de toda sucesión infinita de sus elementos se puede extraer una subsucesión débilmente fundamental.[2]

Si ${\displaystyle V}$ y ${\displaystyle W}$ son espacios de Banach sobre el mismo cuerpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$, el conjunto de todas las transformaciones lineales continuas ${\displaystyle A:V\to W}$ se denota por L${\displaystyle L(V,W)}$. Es de notar que en espacios de infinitas dimensiones no todas las funciones lineales son automáticamente continuas. ${\displaystyle L(V,W)}$ es un espacio vectorial, y definiendo la norma ||A|| = sup { ||Ax|| : x en V con ||x|| ≤ 1 } se transforma en un espacio de Banach.

El espacio ${\displaystyle L(V)=L(V,V)}$ forma un álgebra de Banach unitaria, donde la operación de multiplicación está dada por la composición de funciones lineales.

Si ${\displaystyle V}$ es un espacio de Banach y ${\displaystyle \mathbb {K} }$ es el cuerpo subyacente (el de los números reales, o bien, el de los números complejos), entonces ${\displaystyle \mathbb {K} }$ es un espacio de Banach (usando el valor absoluto como norma) y podemos definir al espacio dual ${\displaystyle V}$ por V = L(V, K). Este es, de nuevo, un espacio de Banach. Se puede usar para definir una nueva topología para ${\displaystyle V}$: la topología débil.

Existe una aplicación isométrica lineal natural ${\displaystyle F}$ de ${\displaystyle V}$ a ${\displaystyle V''}$ definido por ${\displaystyle F(x)(f)=f(x)}$ para todo ${\displaystyle x\in V}$ y ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle V''}$, como consecuencia del teorema de Hahn-Banach, este mapeo es inyectivo; si llegara a ser sobreyectivo, entonces el espacio de Banach ${\displaystyle V}$ se dice reflexivo. Los espacios reflexivos tienen muchas propiedades geométricas importantes. Un espacio es reflexivo si y solo si su espacio dual es reflexivo, lo que ocurre si y solo si su bola unitaria es compacta en la topología débil. La existencia de una isometría entre ${\displaystyle V}$ y ${\displaystyle V''}$ no es suficiente para que ${\displaystyle V}$ sea reflexivo; es necesario que tal isometría sea ${\displaystyle F}$.

Por ejemplo, l^p es reflexivo para ${\displaystyle 1<p<\infty }$ pero l¹ y l^∞ no son reflexivos. El dual de l^p es l^q donde ${\displaystyle p}$ y ${\displaystyle q}$ están relacionados por la fórmula ${\displaystyle 1/p+1/q=1}$. Ver espacios L ^p para más detalles. Un espacio de Hilbert es siempre reflexivo.

Dada una aplicación (no necesariamente lineal) ${\displaystyle f:V\to W}$ entre dos espacios de Banach es posible definir la derivada de esta función generalizando el caso de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Intuitivamente, si ${\displaystyle x}$ es un elemento de ${\displaystyle V}$, la derivada de ${\displaystyle f}$ en el punto ${\displaystyle x}$ es una forma lineal continua que aproxima ${\displaystyle f}$ cerca de ${\displaystyle x}$. Formalmente, se dice que ${\displaystyle f}$ es diferenciable en ${\displaystyle x}$ si existe una forma lineal continua ${\displaystyle A:V\to W}$ tal que

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\|f(x+h)-f(x)-A(h)\|_{W}}{\|h\|_{V}}}=0.}$

El límite aquí se toma sobre todas las sucesiones de elementos no nulos de ${\displaystyle V}$ que converjan al nulo de ${\displaystyle V}$. Si el límite existe, escribimos ${\displaystyle Df(x)=A}$ y le llamamos la derivada de ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle x}$.

Esta noción de derivada es una generalización de la derivada ordinaria de funciones R → R, pues las funciones lineales de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ a ${\displaystyle \mathbb {R} }$ son las multiplicaciones por números reales.

Si ${\displaystyle f}$ es diferenciable en todos los puntos ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle V}$, entonces ${\displaystyle Df:V\to L(V,W)}$ es otra función entre espacios de Banach (que no es, en general, lineal), que posiblemente, se puede diferenciar de nuevo, definiendo así derivadas más altas de ${\displaystyle f}$. La ${\displaystyle n}$-ésima derivada en un punto ${\displaystyle x}$ se puede ver como una función multilineal ${\displaystyle V^{n}\to W}$.

La diferenciación es una operación lineal en el siguiente sentido, si ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$ son dos funciones ${\displaystyle f,g:V\to W}$ que son diferenciables en ${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle r,s\in \mathbb {K} }$ son escalares entonces ${\displaystyle rf+sg}$ es diferenciable en ${\displaystyle x}$ con ${\displaystyle D(rf+sg)(x)=rD(f)(x)+sD(g)(x)}$.

La regla de la cadena es también válida en este contexto, si ${\displaystyle f:V\to W}$ es diferenciable en ${\displaystyle x\in V}$ y ${\displaystyle g:W\to X}$ es diferenciable en ${\displaystyle f(x)}$ entonces la función compuesta ${\displaystyle g\circ f}$ es diferenciable en ${\displaystyle x}$ y la derivada es la composición de las derivadas:

${\displaystyle D(g\circ f)(x)=D(g)(f(x))\circ D(f)(x).}$