Geometría euclidiana

• Desde un punto de vista historiográfico, la geometría euclidiana es aquella geometría que postuló Euclides, en su libro Los elementos, dejando al margen las aportaciones que se hicieron posteriormente —desde Arquímedes hasta Jakob Steiner—.
• Según la contraposición entre método sintético y método algebraico-analítico, la geometría euclidiana sería, precisamente, el estudio por métodos sintéticos de los invariantes de un espacio vectorial real de dimensión 3 dotado de un producto escalar muy concreto y preciso (el frecuentemente denominado «producto escalar habitual»).
• Según la filosofía del programa de Erlangen (propuesto por el matemático Felix Klein), la geometría euclídea sería el estudio de los invariantes de las isometrías en un espacio euclídeo (espacio vectorial real de dimensión finita, dotado de un producto escalar), al aplicarles transformaciones ortogonales.[3]

La geometría plana o geometría del plano euclídeo es una parte de la geometría que trata de aquellos elementos cuyos puntos están contenidos en un plano euclídeo. La geometría plana está considerada parte de la geometría euclídea, pues ésta estudia los elementos geométricos a partir de dos dimensiones.

Desde un punto de vista más general, el plano euclídeo se caracteriza por ser una variedad riemanniana de dimensión dos de curvatura nula y simplemente conexa.

Los Elementos es principalmente una sistematización de conocimientos previos de geometría. Rápidamente se reconoció su mejora con respecto a los tratamientos anteriores, con el resultado de que hubo poco interés en conservar los anteriores, y ahora están casi todos perdidos. Hay 13 libros en los Elementos:

Los libros I–IV y VI: Estos analizan la geometría plana. Se prueban muchos resultados sobre figuras planas, por ejemplo, "En cualquier triángulo, dos ángulos tomados juntos de cualquier manera son menores que dos ángulos rectos". (Libro I proposición 17) y el teorema de Pitágoras "En los triángulos rectángulos, el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es igual a los cuadrados de los lados que contienen el ángulo recto". (Libro I, proposición 47).

Los libros V y VII-X: Tratan de la teoría de números, y los números se tratan geométricamente como longitudes de segmentos de línea o áreas de regiones de superficie. Se introducen nociones como números primos y números racionales e irracionales . Se demuestra que hay infinitos números primos.

Los libros XI–XIII: se refieren a la geometría sólida. Un resultado típico es la relación 1:3 entre el volumen de un cono y un cilindro con la misma altura y base. Se construyen los sólidos platónicos.

Portada de Los elementos de Euclides, publicada en 1570 por Sir Henry Billingsley.

La presentación tradicional de la geometría euclidiana se hace en un formato axiomático, en el que todos los teoremas («declaraciones verdaderas») derivan de un pequeño número de axiomas.[4] Un sistema axiomático es aquel que, a partir de un cierto número de proposiciones que se presuponen «evidentes» (conocidas como axiomas) y mediante deducciones lógicas, genera nuevas proposiciones cuyo valor de verdad es también lógico.

Euclides plantea cinco nociones comunes:

1. Dos cosas iguales a una tercera, son iguales entre sí.(la propiedad transitiva de una relación euclidiana).
2. Si a cosas iguales añadimos cosas iguales, las totales son iguales.(La propiedad de la suma de la igualdad).
3. Si a cosas iguales quitamos cosas iguales, los restos son iguales.(Propiedad de igualdad de la resta).
4. Las cosas que se superponen son iguales.(propiedad reflexiva)
5. El todo es mayor que la parte.

Los eruditos modernos están de acuerdo en que los postulados de Euclides no brindan la base lógica completa que Euclides requería para su presentación, eso se debe a que Euclides usó implícitamente algunas nociones adicionales que consideraba intuitivas (pero no se definían rigurosamente). Los tratamientos modernos utilizan conjuntos de axiomas más extensos y completos. Desde el siglo XIX, se hicieron esfuerzos por definir explícitamente todas las asunciones necesarias para desarrollar rigurosamente la geometría sin supuestos implícitos.

Una de las formulaciones más conocidas es la que daría David Hilbert en 1899 en su obra Grundlagen der Geometrie ('Fundamentos de geometría'), en ella incluyó 21 axiomas divididos en cinco grupos: axiomas de incidencia (3 axiomas), axiomas de interrelación u orden (4 axiomas), axiomas de congruencia (6 axiomas), axiomas de continuidad y un axioma de paralelismo. Posteriormente se vio que uno de los axiomas de Hilbert era redundane, por lo que en realidad bastaban 20 axiomas para desarrollar toda la geometría euclídea. A partir de los axiomas de Hilbert sí se puede desarrollar explícitamente toda la geometría euclídea sin supuestos adicionales. La formulación de Hilbert incluye como primitivos las nociones de are punto, línea, incidencia (punto sobre una línea), interrelación (relación entre tres puntos) y congruencia. Además esta axiomatización no asume que el plano euclídeo sea ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ o el espacio euclídeo sea ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.[5]

Los postulados establecen condiciones de la existencia de ciertos objetos geométricos. Son propiedades simples que se pueden tomar como la base de las demás y se aceptan sin demostración.

Euclides planteó cinco postulados en su sistema:

1. Dados dos puntos se puede trazar una recta que los une.
2. Cualquier segmento puede prolongarse de manera continua en cualquier sentido.
3. Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio.
4. Todos los ángulos rectos son congruentes.
5. Si una recta corta a otras dos formando, a un mismo lado de la secante, dos ángulos internos agudos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están dichos ángulos (ver quinto postulado de Euclides).

El postulado de las paralelas (Postulado 5): Si dos rectas intersecan a una tercera de tal manera que la suma de los ángulos internos de un lado es menor que dos ángulos rectos, entonces las dos rectas inevitablemente deben intersecarse en ese lado si se extienden mucho. suficiente.

Este último postulado, que es conocido como el postulado de las paralelas, fue reformulado como:

5. Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a la recta dada.

Para los antiguos, el postulado de las paralelas parecía menos obvio que los demás. Aspiraban a crear un sistema de proposiciones absolutamente ciertas y, para ellos, parecía como si el postulado de la línea paralela requiriera una demostración a partir de enunciados más simples. Ahora se sabe que tal demostración es imposible ya que se pueden construir sistemas de geometría consistentes (obedeciendo los otros axiomas) en los que el postulado de las paralelas es verdadero y otros en los que es falso. El mismo Euclides parece haberlo considerado como cualitativamente diferente de los demás, como lo demuestra la organización de los Elementos, sus primeras 28 proposiciones son las que pueden probarse sin él.

Se pueden formular muchos axiomas alternativos que son lógicamente equivalentes al postulado paralelo (en el contexto de los otros axiomas). Y de esto muchos geómetras intentaron deducirlo de los anteriores. Se pueden diferenciar entre varios ejemplos pero ahora lo haremos con tres, en los que caben dos que intentaron reducirlo al absurdo negándolo, surgiendo dos nuevas geometrías, y un axioma equivalente:

• Geometría elíptica: La elíptica, también llamada geometría de Riemann o riemanniana (dada una recta y un punto exterior a ella, no existe ninguna recta que pase por el punto y sea paralela a la recta dada)
• Geometría hiperbólica: La hiperbólica o de Lobachevsky (dada una recta, existen varias rectas paralelas que pasan por un mismo punto exterior a esta).

Puesto que ambas geometrías son consistentes, se deduce que el quinto postulado es, en efecto, un postulado que no puede deducirse de los otros cuatro. Estas geometrías, en las que el quinto postulado no es válido, se llaman geometrías no euclidianas.

• El axioma de Playfair: Este establece que " En un plano, a través de un punto que no está en una línea recta dada, se puede dibujar a lo sumo una línea que nunca se encuentra con la línea dada". La cláusula "como máximo" es todo lo que se necesita, ya que se puede demostrar a partir de los axiomas restantes que existe al menos una línea paralela.

Una limitación del trabajo de Euclides fue no reconocer la posibilidad de sistemas geométricos perfectamente consistentes donde el quinto axioma no era válido, es decir, para Euclides y los geómetras posteriores hasta el siglo XVIII pasó inadvertida la posibilidad de geometrías no euclidianas, hasta el trabajo de Nikolái Lobachevski, Gauss y Riemann.

Si bien durante el siglo XIX se consideró a las geometrías no euclidianas un artefacto matemáticamente interesante e incluso con cierto interés práctico pero limitado, como es el caso de la trigonometría esférica usada en astronomía, en cierto modo se admitió que la geometría del espacio físico era euclidiana y, por tanto, las geometrías no euclidianas eran tan solo un artificio abstracto útil para ciertos problemas, pero en modo alguno descripciones realistas del mundo. Sin embargo, el trabajo de Albert Einstein hizo ver que entre las necesidades de la física moderna están las geometrías no euclidianas para describir, por ejemplo, el espacio-tiempo curvo.

Alguno de los errores de Euclides fue omitir al menos dos postulados más:

• Dos circunferencias cuyos centros estén separados por una distancia menor a la suma de sus radios, se cortan en dos puntos (Euclides lo utiliza en su primera construcción).
• Dos triángulos con dos lados iguales y los ángulos comprendidos también iguales, son congruentes (afirmación equivalente al concepto de movimiento, que Euclides usa para su teorema cuarto sin definir explícitamente).

Debido al estatus fundamental de la geometría euclidiana en matemáticas, no es práctico dar aquí más que una muestra representativa de aplicaciones.

• 
  Un topógrafo.
• 
  el empaque de esferas se aplica en una pila de naranjas.
• 
  Un espejo parabólico trae rayos de luz paralelos a un foco.

Como sugiere la etimología de la palabra, una de las primeras razones de interés y también uno de los usos actuales más comunes de la geometría es la topografía[6],y ciertos resultados prácticos de la geometría euclidiana, como la propiedad del ángulo recto del triángulo 3-4-5, se utilizaron mucho antes de que se probaran formalmente[7]. Los tipos fundamentales de medidas en la geometría euclidiana son distancias y ángulos, los cuales pueden ser medidos directamente por un topógrafo. Históricamente, las distancias a menudo se medían con cadenas, como la cadena de Gunter[8], y los ángulos con círculos graduados y, más tarde, con el teodolito. Una aplicación de la geometría sólida euclidiana es la determinación de arreglos de empaquetamiento, como el problema de encontrar el empaquetamiento de esferas más eficiente en n dimensiones. Este problema tiene aplicaciones en la detección y corrección de errores. La óptica geométrica utiliza la geometría euclidiana para analizar el enfoque de la luz por lentes y espejos.

• 
  La geometría se utiliza en el arte y la arquitectura.

La geometría se utiliza ampliamente en la arquitectura.

La geometría se puede utilizar para diseñar origami.Algunos problemas de construcción clásicos de la geometría son imposibles usando compás y regla, pero pueden resolverse usando origami.[9]

Gran parte de CAD (diseño asistido por computadora) y CAM (fabricación asistida por computadora) se basa en la geometría euclidiana. La geometría de diseño generalmente consta de formas delimitadas por planos, cilindros, conos, toros y otras formas similares. En la actualidad, CAD/CAM es esencial en el diseño de casi todo, incluidos automóviles, aviones, barcos y teléfonos inteligentes. Hace algunas décadas, los dibujantes sofisticados aprendían geometría euclidiana bastante avanzada, incluidas cosas como el teorema de Pascal y el teorema de Brianchon, pero en los tiempos modernos esto ya no es necesario.

La geometría euclidiana tiene dos tipos fundamentales de medidas: ángulo y distancia . La escala de ángulos es absoluta, y Euclides usa el ángulo recto como su unidad básica, de modo que, por ejemplo, un ángulo de 45 grados se denominaría la mitad de un ángulo recto. La escala de distancia es relativa; uno elige arbitrariamente un segmento de línea con una cierta longitud distinta de cero como unidad, y otras distancias se expresan en relación con él. La suma de distancias está representada por una construcción en la que un segmento de línea se copia en el extremo de otro segmento de línea para extender su longitud, y de manera similar para la resta.

Un ejemplo de congruencia. Las dos figuras de la izquierda son congruentes, mientras que la tercera es similar a ellas y la cuarta no lo es. Las congruencias alteran algunas propiedades, como la ubicación y la orientación, pero dejan otras sin cambios, como la distancia y los ángulos. Este último tipo de propiedades se denominan invariantes y estudiarlas es la esencia de la geometría.

Las medidas de área y volumen se derivan de las distancias. Por ejemplo, un rectángulo con un ancho de 3 y una longitud de 4 tiene un área que representa el producto de 12. Debido a que esta interpretación geométrica de la multiplicación estaba limitada a tres dimensiones, no había forma directa de interpretar el producto de cuatro o más. números, y Euclides evitó tales productos, aunque están implícitos, por ejemplo, en la demostración del libro IX, proposición 20.

Euclides se refiere a un par de líneas, o un par de figuras planas o sólidas, como "iguales" (ἴσος) si sus longitudes, áreas o volúmenes son iguales respectivamente, y de manera similar para los ángulos. El término más fuerte " congruente " se refiere a la idea de que una figura completa tiene el mismo tamaño y forma que otra figura. Alternativamente, dos figuras son congruentes si una se puede mover encima de la otra para que coincida exactamente. (Se permite darle la vuelta). Así, por ejemplo, un rectángulo de 2x6 y un rectángulo de 3x4 son iguales pero no congruentes, y la letra R es congruente con su imagen especular. Las figuras que serían congruentes excepto por sus diferentes tamaños se denominan similares . Los ángulos correspondientes en un par de figuras similares son congruentes y los lados correspondientes son proporcionales entre sí.

Aunque desde el punto de vista lingüístico ambas formas tienen el mismo significado, hacer referencia a algo perteneciente o relativo al matemático griego Euclides, la Real Academia Española solo adopta como correcta la palabra «euclidiano», mientras que no recoge «euclídeo».[1][15]

• Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.
• Portal:Geometría. Contenido relacionado con Geometría.
• Espacio euclídeo
• Geometría clásica
• Geometría no euclidiana
• Teorema de la mariposa

• Geometría euclídea
• Geometría euclídea