Plano (geometría)

En matemáticas, la geometría analítica (también llamada geometría cartesiana) describe cada punto del espacio bidimensional mediante dos coordenadas. Se dan dos ejes de coordenadas perpendiculares que se cruzan en el origen. Suelen denominarse x e y. En relación con estos ejes, la posición de cualquier punto en el espacio bidimensional viene dada por un par ordenado de números reales, cada número dando la distancia de ese punto desde el origen medido a lo largo del eje dado, que es igual a la distancia de ese punto desde el otro eje.

Otro sistema de coordenadas ampliamente utilizado es el sistema de coordenadas polares, que especifica un punto en términos de su distancia desde el origen y su ángulo relativo a un rayo de referencia hacia la derecha.

• 
  Sistema de coordenadas cartesianas
• 
  Sistema de coordenadas polares

Ecuación del plano en forma normal

En geometría euclidiana, un plano es una superficie plana de dos dimensiones que se extiende indefinidamente. Los planos euclídeos surgen a menudo como subespacios del espacio tridimensional. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Un ejemplo prototípico es una de las paredes de una habitación, infinitamente extendida y que se supone infinitesimal delgada. Mientras que un par de números reales ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ basta para describir puntos en un plano, la relación con puntos fuera del plano requiere una consideración especial para su incrustación en el espacio ambiente ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

En dos dimensiones, existen infinitos politopos: los polígonos. A continuación se muestran los primeros regulares:

El símbolo de Schläfli ${\displaystyle \{n\}}$ representa un n-ágono regular.

Nombre	Triángulo (2-simplex)	Cuadrado (2-orthoplex) (2-cubo)	Pentágono	Hexágono	Heptágono	Octógono
Símbolo de Schläfli	{3}	{4}	{5}	{6}	{7}	{8}
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Nombre	Nonágono	Decágono	Undecágono	Dodecágono	Tridecágono	Tetradecágono
Schläfli	{9}	{10}	{11}	{12}	{13}	{14}
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Nombre	Pentadecágono	Hexadecágono	Heptadecágono	Octadecágono	Eneadecágono	Icoságono	...n-gono
Schläfli	{15}	{16}	{17}	{18}	{19}	{20}	{n}
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El monógono (o henágono) regular {1} y el digon regular {2} {2} pueden considerarse polígonos regulares degenerados y existen de forma no degenerada en espacios no euclidianos como una 2-esfera, un 2-toro, o un cilindro circular recto.

Nombre	Monógono	Dígono
Símbolo de Schläfli	{1}	{2}
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Existen infinitos polígonos regulares no convexos en dos dimensiones, cuyos símbolos de Schläfli consisten en números racionales {n/m}. Se llaman polígonos estrella y comparten la misma disposición de vértices de los polígonos regulares convexos.

En general, para cualquier número natural n, existen estrellas poligonales regulares no convexas de n puntas con símbolos de Schläfli {n/m} para todo m tal que m < n/2 (estrictamente hablando {n/m} = {n/(n - m)}) y m y n son coprimos.

Nombre	Estrella pentagonal	Heptagrama		Octagrama	Eneagramas		Decagrama	...n-agramas
Símbolo de Schläfli	{5/2}	{7/2}	{7/3}	{8/3}	{9/2}	{9/4}	{10/3}	{n/m}
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La hiperesfera en 2 dimensiones es un círculo, a veces llamado 1-esfera (S¹) porque es un colector unidimensional. En un plano euclídeo, tiene la longitud 2πr y el área de su interior es

${\displaystyle A=\pi r^{2}}$

donde ${\displaystyle r}$ es el radio.

Existen infinidad de otras formas curvas en dos dimensiones, entre las que destacan las secciones cónicas: la elipse, la parábola y la hipérbola.

Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos: un punto y dos vectores:

Punto P = (x₁, y₁, z₁)
Vector u = (u_x, u_y, u_z)
Vector v = (a₂, b₂, c₂)

${\displaystyle (x,y,z)=(x_{1},y_{1},z_{1})+m(u_{x},u_{y},u_{z})+n(a_{2},b_{2},c_{2})\,\!}$

donde ${\displaystyle m}$ y ${\displaystyle n}$ son escalares.

Esta es la forma vectorial del plano; sin embargo, la forma más utilizada es la reducida, resultado de igualar a cero el determinante formado por los dos vectores y el punto genérico X = (x, y, z) con el punto dado. De esta manera la ecuación del plano es:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}(\mathbf {X} -\mathbf {P} )\\\mathbf {u} \\\mathbf {v} \end{vmatrix}}=0=>{\begin{vmatrix}x-P_{x}&y-P_{y}&z-P_{z}\\u_{x}&u_{y}&u_{z}\\v_{x}&v_{y}&v_{z}\end{vmatrix}}=0=>Ax+By+Cz+D=0}$

Donde (A, B, C) es un vector perpendicular al plano y coincide con el producto vectorial de los vectores u y v. La fórmula para hallar la ecuación cuando no está en el origen es:

${\displaystyle a(x-h)+b(y-k)+c(z-j)=0\,}$

Estrictamente

P = P₀ + mA + nB es la ecuación del plano determinado por un punto fijo y dos vectores A y B no colineales.[4]

a.x = 0, donde a es un vector ortogonal y x un punto del plano.

Si tenemos un plano 1 con un punto A y un vector normal 1, y también tenemos un plano 2 con un punto B y un vector normal 2.

Sus posiciones relativas pueden ser:

• Planos coincidentes: la misma dirección de los vectores normales y el punto A pertenece al plano 2.
• Planos paralelos: si tienen la misma dirección los vectores normales y el punto A no pertenece al plano 2.
• Planos secantes: si los vectores normales no tienen la misma dirección.

Para un plano cualquiera ${\displaystyle \Pi :ax+by+cz+d=0\,}$ y un punto cualquiera ${\displaystyle \mathbf {p} _{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})}$ no necesariamente contenido en dicho plano Π, la menor distancia entre P₁ y el plano Π es:

${\displaystyle D={\frac {\left|ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d\right|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}.}$

De lo anterior se deduce que el punto P₁ pertenecerá al plano Π si y solo si D=0.

Si los coeficientes a, b y c de la ecuación canónica de un plano cualquiera están normalizados, esto es cuando ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=1}$, entonces la fórmula anterior de la distancia D se reduce a:

${\displaystyle D=\ |ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d|.}$

En cada pareja de semiplanos que una recta r determina sobre un plano existen infinitos puntos tales que:

1. Todo punto del plano pertenece a uno de los dos semiplanos o a la recta que los determina.
2. Dos puntos del mismo semiplano determinan un segmento que no corta a la recta r.
3. Dos puntos de semiplanos diferentes determinan un segmento que corta a la recta 'r8.