Simetría

Gráfica de dos hipérbolas y sus asíntotas en el plano cartesiano

Grupo de simetría de la esfera

Cuando hablamos de objetos físicos o elementos geométricos el concepto de simetría está asociado a transformaciones geométricas tales como las rotaciones, las reflexiones o las traslaciones. Dos simetrías sencillas son la simetría axial y la simetría central. Así se dice que un objeto presenta:

• Simetría esférica si existe simetría bajo cualquier rotación, matemáticamente equivale a que el grupo de simetría de un objeto físico o entidad matemática sea SO(3).
• Simetría cilíndrica o simetría axial si existe un eje tal que los giros alrededor de él no conducen a cambios de posición en el espacio, matemáticamente está asociado a un grupo de isometría SO(2).
• Simetría reflectiva o simetría especular que se caracteriza por la existencia de un único plano, matemáticamente está asociado al grupo O(1) o su representación equivalente ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$. En dos dimensiones tiene un eje de simetría y en tres dimensiones tiene un plano. El eje de simetría de una figura bidimensional es una línea, si se construye una perpendicular, cualquier punto que reposee en esta perpendicular a la misma distancia del eje de simetría son idénticos. Otra manera de verlo es que si la forma se doblara por la mitad sobre el eje, las dos mitades serían iguales. Por ejemplo, un cuadrado tiene cuatro ejes de simetría, ya que hay cuatro formas diferentes de doblarlo haciendo que sus bordes coincidan. Un círculo tendría infinitos ejes de simetría por la misma razón.
• Simetría traslacional se da cuando la transformación ${\displaystyle T_{a}(p)=p+a\,}$ deja invariable a un objeto bajo un grupo de traslaciones discretas o continuas. El grupo es discreto si la invariancia solo se da para un número numerable de valores de a y continuo si la invariancia se presenta para un conjunto infinito no numerable de valores de a en caso contrario.

Algunos tipos de simetría que combinan dos o más de los anteriores tipos son:

• Simetría antitraslacional que implica una reflexión en una línea o plano combinado con una traslación a lo largo de ese mismo eje. El grupo de simetría es isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {R} ^{n}}$.
• Simetría de rotorreflexión o simetría de rotación impropia, implica rotación alrededor de un eje combinado con reflexión en un eje perpendicular al de rotación.
• Simetría helicoidal implica un movimiento de rotación en torno a un eje dado con un movimiento de traslación a lo largo de ese mismo eje. Puede ser de tres clases:
  1. Simetría helicoidal infinita
  2. Simetría helicoidal de n-ejes
  3. Simetría helicoidal que no se repite

Una relación binaria R = S × S es simétrica si para cada elemento a, b en S, siempre que sea cierto que Rab, también será cierto Rba.[1] Por lo tanto, la relación «tiene la misma edad que» es simétrica, porque si Pablo tiene la misma edad que María, entonces María tiene la misma edad que Pablo.

En lógica proposicional, las conectivas lógicas binarias simétricas incluyen y (∧, o &), o (∨, o |) y si y solo si (↔), mientras que la conectiva si (→) no es simétrica.[2] Otras conectivas lógicas simétricas incluyen no y (no-y, o ⊼), xor (no-bicondicional, o ⊻) y ni (no-o, o ⊽).

Se puede decir que un objeto matemático es simétrico con respecto a una operación matemática dada, si, cuando se aplica al objeto, esta operación conserva alguna propiedad del objeto.[3] El conjunto de operaciones que preservan una propiedad dada del objeto forman un grupo.

En general, todo tipo de estructura en matemáticas tendrá su propio tipo de simetría. Los ejemplos incluyen funciones pares e impares en cálculo, grupos simétricos en álgebra abstracta, matrices simétricas en álgebra lineal,[4] y grupos de Galois en la teoría de Galois. En estadística, la simetría también se manifiesta como distribuciones de probabilidad simétricas y como asimetría, la asimetría de distribuciones.[5]

La simetría se encuentra en la arquitectura en todas las escalas, desde las vistas externas generales de edificios como las catedrales góticas y la Casa Blanca, pasando por el diseño de los plantas y hasta el diseño de elementos de construcción individuales como mosaicos de baldosas. Los edificios islámicos como el Taj Mahal y la mezquita de Lotfollah hacen un uso elaborado de la simetría tanto en su estructura como en su ornamentación.[6][7] Los edificios moriscos como la Alhambra están ornamentados con patrones complejos realizados utilizando simetrías de traslación y reflexión, así como rotaciones.[8]

La arquitectura modernista, comenzando con el estilo internacional, se basa en cambio en «alas y equilibrio de masas».[9]

En dibujo existen cinco simetrías importantes que son simetría de traslación, rotación, ampliación, bilateral, abatimiento.

• Simetría de traslación o invariancia traslacional es la repetición de una forma a lo largo de una línea en cualquier posición, vertical, horizontal, diagonal o curva, que se desplaza a cualquier distancia constante sobre el eje.
• Simetría de rotación giro de un motivo que se repite cierto número de veces hasta ser idéntico al inicio, tiene determinado orden en la rotación (15°, 30°, 45°, 60°, 90°, hasta 360°). La forma gira en torno a un centro que puede estar dentro de la misma.
• Simetría de ampliación, las partes de él son semejantes, pues tienen la misma forma pero no el mismo tamaño, ya que se extiende del centro hacia afuera para ser cada vez mayor.
• Simetría de abatimiento El eje de giro nos muestra dos partes idénticas con un giro de 180° una en relación con la otra.
• Simetría bilateral Un retrato bilateral, está compuesto por formas iguales a igual distancia a ambos lados de un eje. Todo eso dentro de un eje de simetría.

Una larga tradición del uso de la simetría en alfombras abarca una variedad de culturas. Los indios navajos estadounidenses usaban diagonales en negrita y motivos rectangulares. Muchas alfombras orientales tienen intrincados centros y bordes reflejados que traducen un patrón. No es sorprendente que las alfombras rectangulares tengan típicamente las simetrías de un rectángulo, es decir, motivos que se reflejan tanto en el eje horizontal como en el vertical.[10][11]

Como los quilts están hechas de bloques cuadrados (generalmente 9, 16 o 25 piezas por bloque) y cada pieza más pequeña generalmente consiste en triángulos de tela, la artesanía se presta fácilmente a la aplicación de la simetría.[12]

Nudo celta mostrando simetría p4

Aparecen simetrías en el diseño de objetos de todo tipo. Los ejemplos incluyen abalorios, muebles, pinturas de arena, nudos, máscaras e instrumentos musicales. Las simetrías son fundamentales para el arte de M. C. Escher y las muchas aplicaciones del mosaico en formas de arte y artesanía como papel tapiz, azulejos de cerámica como en la decoración geométrica islámica, batik, ikat, fabricación de alfombras y muchos tipos de patrones textiles y bordados.[13]

La simetría también se utiliza en el diseño de logotipos.[14] Al crear un logotipo en una cuadrícula y utilizar la teoría de la simetría, los diseñadores pueden organizar su trabajo, crear un diseño simétrico o asimétrico, determinar el espacio entre letras, determinar cuánto espacio negativo se requiere en el diseño y cómo acentuar partes del logo para que se destaque.

La relación de la simetría con la estética es compleja. Los seres humanos encuentran la simetría bilateral en los rostros físicamente atractivos;[15] indica salud y aptitud genética.[16][17] A esto se opone la tendencia a que la simetría excesiva se perciba como aburrida o poco interesante. La gente prefiere formas que tengan algo de simetría, pero con la complejidad suficiente para hacerlas interesantes.[18]

La simetría se puede encontrar en varias formas en la literatura, un ejemplo simple es el palíndromo donde un texto breve lee lo mismo hacia adelante o hacia atrás. Las historias pueden tener una estructura simétrica, como en el patrón de subida/bajada de Beowulf.[19]

La simetría radial es la simetría definida por un eje heteropolar (distinto en sus dos extremos). El extremo que contiene la boca se llama lado oral, y su opuesto lado aboral o abactinal. Sobre este eje, se establecen planos principales de simetría; dos perpendiculares que definen las posiciones per-radiales. Las estructuras en otros planos (bisectrices de los per-radiales) quedan en posiciones inter-radiales. La zona entre los per-radiales y los inter-radiales es la zona ad-radial

Simetría bilateral en una mariposa

La mayoría de especies animales tiene simetría bilateral y pertenece por tanto al grupo Bilateria, aunque hay especies como los erizos y las estrellas de mar, que presentan simetría radial secundaria (las fases de desarrollo tempranas y las larvas poseen simetría bilateral que posteriormente se pierde en el adulto).

La simetría bilateral permite la definición de un eje corporal en la dirección del movimiento, lo que favorece la formación de un sistema nervioso centralizado y la cefalización...

La simetría también es una consideración importante en la formación de escalas y acordes, ya que la música tradicional o tonal está formada por grupos de tonos no simétricos, como la escala diatónica o el acorde mayor. Se dice que las escalas o acordes simétricos, como la escala de tonos enteros, el acorde aumentado o el acorde de séptima disminuida, carecen de dirección o sentido de movimiento hacia adelante, son ambiguas en cuanto a la tonalidad o el centro tonal, y tienen una funcionalidad diatónica menos específica. Sin embargo, compositores como Alban Berg, Béla Bartók y George Perle han utilizado ejes de simetría y/o ciclos de intervalo de forma análoga a las claves o centros tonales no tonales.[29]

Los ciclos de intervalo son simétricos y, por lo tanto, no diatónicos. Sin embargo, un segmento de siete tonos de Do5 (el ciclo de quintas, que son enarmónicos con el ciclo de cuartas) producirá la escala diatónica mayor. Las progresiones tonales cíclicas en las obras de compositores románticos como Gustav Mahler y Richard Wagner forman un vínculo con las sucesiones tonales cíclicas en la música atonal de modernistas como Bartók, Alexander Scriabin, Edgard Varèse y la escuela de Viena. Al mismo tiempo, estas progresiones señalan el final de la tonalidad.[29][30]

La primera composición extendida basada consistentemente en relaciones tonales simétricas fue probablemente el Cuarteto de Alban Berg, op. 3 (1910).[30]

• Asimetría estadística

• Juego simétrico

• Palíndromo

• Empatía y simpatía
• Regla de oro (ética)
• Reciprocidad
• Toma y daca

• Chen Ning Yang
• Izquierda y derecha en el Cosmos, libro de divulgación científica de Martin Gardner
• Ruptura espontánea de simetría electrodébil

• Asimetría
• Maurits Cornelis Escher
• Gödel, Escher, Bach: un Eterno y Grácil Bucle y Yo soy un extraño bucle, de Douglas Hofstadter
• Paridad de una función
• Relación simétrica

• Wald, Robert M.: General relativity, Chicago University Press, 1984, ISBN 0-226-87032-4.
• Sánchez Bautista F., Sánchez Hernández S. Laura: Texto y prácticas de diseño, 2011, ISBN 970-95086-0-1