Carré (algèbre)

${\displaystyle 12^{2}=12\times 12=144}$

Un calcul de carré

Le carré est défini pour tout nombre n comme le résultat de la multiplication de ce nombre par lui-même, et on le note avec un chiffre 2 en exposant : n² = n × n.

Les carrés des premiers entiers naturels, appelés carrés parfaits ou nombres carrés, apparaissent sur la diagonale principale de la table de multiplication.

${\displaystyle (-12)^{2}=(-12)\times (-12)=144}$
${\displaystyle -12^{2}=-(12\times 12)=-144}$

Priorité du carré sur le changement de signe

Le carré d’un nombre a la même valeur que le carré de son opposé en vertu de la règle des signes. Mais les conventions sur l’ordre de priorité des opérations font qu’un signe moins (−) (associé par exemple à la notation d’un entier relatif) ne sera pas pris en compte dans le carré en l’absence de parenthèses. De la même manière, toute expression composée avec au moins un opérateur (somme, produit, fraction…) doit être encadrée par des délimiteurs (parenthèses ou crochets) avant d’être notée au carré.

Pour une somme ou une différence de deux nombres, le carré peut se calculer en appliquant les premières identités remarquables :

${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$

${\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}$.

La troisième identité remarquable permet de factoriser une différence de deux carrés :

${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)\times (a-b)}$.

${\displaystyle \left({\frac {2}{3}}\right)^{2}={\frac {4}{9}}}$
${\displaystyle 2{,}3^{2}=5{,}29\neq 4{,}9}$

Carré d’une fraction et carré d’un décimal

Le carré d’une fraction est obtenu en calculant le quotient du carré du numérateur par le carré du dénominateur. Cette propriété est parfois transportée de façon erronée dans le calcul du carré des nombres décimaux.

L’identité de Brahmagupta permet d’exprimer le produit de deux sommes de deux carrés comme une somme de deux carrés : quels que soient les nombres a, b, c, d,

(a² + b²)(c² + d²) = (ac − bd)² + (ad + bc)².

Tout entier naturel n est inférieur à son carré : n ≤ n², avec une inégalité stricte dès que n ≥ 2.

${\displaystyle 0{,}5^{2}=0{,}25<0{,}5}$

Un exemple de nombre dont
le carré est strictement inférieur

Cette inégalité est encore valable pour tous les nombres réels supérieurs à 1, ainsi que pour tous les négatifs, mais elle est fausse pour les réels entre 0 et 1. Ce phénomène se visualise sur la courbe de la fonction carré, qui est au-dessus de la première bissectrice sur ]−∞, 0] ∪ [1, +∞[ mais en dessous sur l’intervalle ]0, 1[.

De même, l’élévation au carré préserve les inégalités entre réels positifs :

${\displaystyle \forall a,b\geqslant 0,\quad a\leq b\iff a^{2}\leq b^{2}}$

mais elle renverse les inégalités entre réels négatifs, et il n’y a pas de règle simple de passage au carré pour une inégalité entre réels quelconques. Ces propriétés correspondent au fait que la fonction carré est croissante sur R⁺ et décroissante sur R⁻.

Une équation de la forme x² = a, d’inconnue x, n’a de solution réelle que si le paramètre a est positif.

Si a = 0, la seule solution est donnée par x = 0.

Si a > 0, il y a deux solutions réelles opposées définie avec la racine carrée : ${\displaystyle x={\sqrt {a}}}$ ou ${\displaystyle x=-{\sqrt {a}}}$.

Ces solutions ne sont entières que si a est un carré parfait, et ne sont rationnelles que si a est un quotient de carrés parfaits. En particulier, cette propriété implique l’irrationalité de la racine carrée de 2.

Si a < 0, il existe deux solutions complexes qui peuvent s’écrire ${\displaystyle \mathrm {i} {\sqrt {\left|a\right|}}}$ et ${\displaystyle -\mathrm {i} {\sqrt {\left|a\right|}}}$. Plus généralement, si a est un nombre complexe s’écrivant sous forme polaire a = r.e^iθ, alors l’équation x² = a a deux solutions complexes opposées ${\displaystyle {\sqrt {r}}.\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta /2}}$ et ${\displaystyle {\sqrt {r}}.\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\theta /2+\pi )}}$.

Les inéquations de la forme x² < a, x² ≤ a, x² ≥ a, x² > a peuvent se résoudre à l’aide d’un tableau de signes de la différence x² − a : ${\displaystyle {\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline x&-\infty &&-{\sqrt {a}}&&{\sqrt {a}}&&+\infty \\\hline x^{2}-a&&+&0&-&0&+&\\\hline \end{array}}}$

Les carrés parfaits forment une suite infinie de nombres entiers (suite A000290 de l'OEIS) de densité nulle, dont les différences entre termes consécutifs forment la suite des entiers impairs, et dont la série associée est définie par les sommes partielles :

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}$.

Le carré est utilisé dans certaines équations diophantiennes comme la relation a² + b² = c² des triplets pythagoriciens.

Le théorème des quatre carrés montre que tout entier naturel se décompose en une somme de quatre carrés parfaits.

Le théorème des deux carrés de Fermat donne une condition nécessaire et suffisante pour qu’un entier n se décompose en une somme de deux carrés parfaits, en fonction de la décomposition en facteurs premiers de n.

En arithmétique modulaire, si p est un nombre premier impair, l’ensemble des carrés modulo p non nuls forme un sous-groupe d’indice 2 dans le groupe F_p^∗ des résidus non nuls modulo p, appelés résidus quadratiques. La détermination du fait qu’un résidu r constitue un carré modulo p se formule avec le symbole de Legendre : ${\displaystyle \left({\frac {r}{p}}\right)=1}$. La détermination des résidus quadratiques modulo un entier naturel n quelconque repose sur le symbole de Jacobi.

La recherche des solutions d’une équation x² ≡ 1 modulo un entier n est équivalente à la décomposition en facteurs premiers de n.

Étant donné un ensemble E, son carré E² = E × E est l’ensemble des couples d’éléments de E. Si E est fini, son cardinal s’écrit card(E²) = (card(E))². En particulier, pour un graphe avec un grand nombre de sommets n, l’ensemble des arêtes est décrit par une partie d’un ensemble de n² éléments. Par exemple, si chaque sommet représente un site internet, comme il y a plus d’un milliard en 2021[1]), les liens entre eux peuvent être représentés par une matrice de plus d’un milliard de milliards d’éléments.

La notation R² désigne le plan euclidien muni d’un repère orthonormé par assimilation des points avec leur couples de coordonnées cartésiennes en géométrie analytique.

Pour une endomorphisme u sur un espace vectoriel E, le carré représente en général son itéré, c’est-à-dire la composée u² = u ∘ u de l’endomorphisme avec lui-même. Si l’endomorphisme est représenté par une matrice carrée M, son carré u² est représenté par M².

Un projecteur est un endomorphisme p idempotent, c’est-à-dire satisfaisant la relation p² = p. Un symétrie vectorielle est un endomorphisme s involutif, c’est-à-dire satisfaisant la relation s² = id.

La résolution d’une équation de la forme u² = v dans l’ensemble des matrices carrées peut être facilitée si l’endomorphisme v est diagonalisable. Dans ce cas, les espaces propres de v sont stables par u, et si les valeurs propres sont des carrés, chaque solution est définie par une famille de symétries vectorielles sur ces sous-espaces.

L’espérance du carré d’une variable aléatoire réelle X est son second moment m₂ = E(X²). Sa variance est égale d’après la formule de Koenig-Huygens à la différence entre l’espérance du carré et le carré de l’espérance : V(X) = E(X²) − (E(X))², et définit alors le carré de l’écart type.