Courbe algébrique

Sous sa forme la plus générale, une courbe algébrique sur un corps ${\displaystyle k}$ est une variété algébrique de dimension 1 sur ${\displaystyle k}$, séparée pour éviter des pathologies. En considérant les composantes irréductibles munies de la structure réduite, on se ramène aux courbes intègres. Par compactification et normalisation, on se ramène aux courbes projectives régulières, ce qui est la situation le plus couramment abordée. En dehors des variétés algébriques de dimension 0 qui se réduisent aux algèbres finies sur un corps, les courbes sont les premières variétés algébriques non triviales.

Courbes rationnelles

On appelle courbe rationnelle, ou encore courbe unicursale, toute courbe birationnellement équivalente à une droite (projective), que l'on peut identifier au corps des fractions rationnelles à une indéterminée, k(x). Si k est algébriquement clos, c'est équivalent à être une courbe de genre zéro ; cependant, le corps R(x,y) avec x² + y² = −1 est une courbe de genre zéro qui n'est pas un corps de fonctions rationnelles.

Concrètement, une courbe rationnelle de dimension n sur k peut être paramétrée (sauf pour des points isolés exceptionnels) au moyen de n fonctions rationnelles définies à l'aide d'un unique paramètre t ; multipliant par les dénominateurs communs, on se ramène à n+1 fonctions polynomiales dans un espace projectif.

Les premiers exemples sont :

• la droite affine ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{1}}$ dont les points rationnels correspondent à l'ensemble ${\displaystyle k}$. C'est une courbe algébrique affine ;
• la droite projective ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{1}}$ dont les points rationnels correspondent à la droite projective ordinaire ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(k)}$, c'est-à-dire l'ensemble des droites de l'espace vectoriel ${\displaystyle k^{2}}$. C'est la courbe projective la plus simple.

Toute conique définie sur k et ayant un point rationnel dans k est une courbe unicursale, qui peut être paramétrée en déterminant l'autre intersection de la courbe avec une droite de pente t passant par le point rationnel, ceci donnant un polynôme de degré 2 à coefficients k-rationnels ayant une racine k-rationnelle ; l'autre racine est donc également rationnelle.

x² + xy + y² = 1.

Considérons par exemple l'ellipse x² + xy + y² = 1, pour laquelle (−1, 0) est un point rationnel. La droite de pente t passant par (−1, 0) a pour équation y = t(x + 1). Substituant et résolvant en x, on obtient

${\displaystyle x={\frac {1-t^{2}}{1+t+t^{2}}}}$, et donc ${\displaystyle y=t(x+1)={\frac {t(t+2)}{1+t+t^{2}}}}$ ;

cette paramétrisation rationnelle montre que l'ellipse est une courbe unicursale. Tous les points de l'ellipse sont ainsi obtenus, sauf le point (−1, 1), qui correspond à t = ∞ ; la courbe entière est donc paramétrée par la droite projective réelle (ou, plus généralement, par k complété par un point à l'infini ; si l'on se place dans le cas complexe, c'est une paramétrisation par la sphère de Riemann).

Ces paramétrisations permettent de résoudre des équations diophantiennes homogènes. Ainsi, à partir des équations précédentes, on obtient

${\displaystyle X=1-t^{2},\quad Y=t(t+2),\quad Z=t^{2}+t+1\,\!}$

et ces nombres vérifient

${\displaystyle X^{2}+XY+Y^{2}=Z^{2}\,\!}$ ;

X, Y et Z sont entiers si t est entier, et le paramétrage précédent permet de montrer qu'il n'y a pas d'autres solutions entières. Ainsi, appliquant le théorème d'Al-Kashi, on construit tous les triangles à côtés entiers dont l'un des angles est 60°, comme le triangle de côtés 3, 7, et 8 (obtenu en prenant t = 2) puisque 8² − 3×8 + 3² = 7².

De nombreuses autres courbes classiques sont unicursales ; c'est le cas du folium de Descartes, de la deltoïde ou des courbes de Lissajous; voici (en anglais) une liste plus complète.

Pour toute courbe (projective régulière et irréductible), son corps des fonctions rationnelles ${\displaystyle K(C)}$ est un corps de fonctions d'une variable.

Si ${\displaystyle f:C\to D}$ est un morphisme entre deux courbes (projectives régulières irréductibles), il est soit constant, soit dominant. Dans ce dernier cas, ${\displaystyle f}$ induit un morphisme des corps des fonctions rationnelles ${\displaystyle K(D)\to K(C)}$ qui fait de ${\displaystyle K(C)}$ une extension finie de ${\displaystyle K(D).}$

On obtient ainsi un foncteur de la catégorie des courbes projectives régulières irréductibles, dont les morphismes sont les morphismes non-constants de ${\displaystyle k}$-schémas, vers la catégorie des corps de fonctions d'une variable, dont les morphismes sont les morphismes de ${\displaystyle k}$-extensions.

• Théorème : le foncteur ci-dessus est une équivalence de catégories.

Concrètement, cela veut dire que la donnée d'une courbe est équivalente à la donnée de son corps de fonctions, et que la donnée de morphismes non-constant est équivalente à la donnée d'extensions finies de corps de fonctions.

Note : si ${\displaystyle k}$ n'est pas parfait, il existe des corps de fonctions d'une variable qui ne soient pas des corps des fonctions rationnelles de courbes projectives lisses irréductibles. En revanche, si ${\displaystyle k}$ est parfait, il n'y a pas de distinction entre régulier et lisse.

Définition. Soit ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle C\to D}$ un morphisme non-constant. On appelle degré de ${\displaystyle f}$ le degré de l'extension de corps ${\displaystyle K(C)/K(D)}$ correspondante. Un morphisme est degré 1 si et seulement si c'est un isomorphisme.

Un diviseur sur ${\displaystyle C}$ est une somme (formelle) finie ${\displaystyle D=\sum _{x}a_{x}[x]}$ à coefficients ${\displaystyle a_{x}}$ entiers, indexée par des points (fermés) ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle C}$. Les ${\displaystyle a_{x}}$ sont tous nuls sauf pour un nombre fini d'entre eux. Le coefficient ${\displaystyle a_{x}}$ se note aussi ${\displaystyle v_{x}(D)}$. C'est la valuation de ${\displaystyle D}$ en ${\displaystyle x}$. L'ensemble des diviseurs forment un groupe abélien libre ${\displaystyle Z^{1}(C)}$ dont une base est constituée des classes ${\displaystyle [x]}$, ${\displaystyle x\in C}$. Un diviseur ${\displaystyle D}$ est dit effectif si les coefficients qui interviennent ${\displaystyle a_{x}}$ sont tous positifs ou nuls.

On définit le degré de ${\displaystyle D}$ par

${\displaystyle \deg(D)=\sum _{x}a_{x}[k(x):k]}$

où ${\displaystyle k(x)}$ est le corps résiduel en ${\displaystyle x_{i}}$, extension finie de ${\displaystyle k}$ par le théorème des zéros de Hilbert. L'application degré est un morphisme de groupes ${\displaystyle Z^{1}(X)\to \mathbb {Z} }$. Le noyau de ce morphisme ${\displaystyle Z_{0}^{1}(X)}$ est donc un groupe.

Il y a un type particulièrement important de diviseurs, les diviseurs principaux. Il s'agit des diviseurs ${\displaystyle (f)}$ associés aux fonctions rationnelles non nulles ${\displaystyle f\in K(C)}$. Par définition, ${\displaystyle (f)=\sum _{x}\mathrm {ord} _{x}(f)[x],}$ où ${\displaystyle \mathrm {ord} _{x}(f)}$ est l'ordre d'annulation de ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle x}$ si ${\displaystyle f}$ est régulière en ${\displaystyle x}$, et c'est l'opposé de son ordre de pôle sinon.

On montre que tout diviseur principal est de degré ${\displaystyle 0}$. L'ensemble des diviseurs principaux forment un sous-groupe du groupe ${\displaystyle Z_{0}^{1}(C)}$. Le quotient ${\displaystyle \mathrm {Pic} ^{0}(C)}$ de ${\displaystyle Z_{0}^{1}(C)}$ par les diviseurs principaux s'injecte dans ${\displaystyle J(k)}$, où ${\displaystyle J}$ est la jacobienne de ${\displaystyle X}$. C'est un isomorphisme si ${\displaystyle k}$ est algébriquement clos ou si ${\displaystyle C}$ a un point rationnel.

On dit que deux diviseurs sur ${\displaystyle C}$ sont linéairement équivalents s'ils diffèrent par un diviseur principal.

Si ${\displaystyle D}$ est un diviseur, on lui associe un faisceau inversible ${\displaystyle O_{C}(D)}$ sur ${\displaystyle C}$ de la manière suivante: pour tout ouvert affine ${\displaystyle U}$ de ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle O_{C}(D)(U)}$ est égal à l'union de 0 avec l'ensemble des fonctions rationnelles non-nulles ${\displaystyle f}$ vérifiant ${\displaystyle \mathrm {ord} _{x}(f)+a_{x}\geq 0}$ pour tout ${\displaystyle x\in U}$.

Inversement, tout faisceau inversible est isomorphe à un ${\displaystyle O_{C}(D)}$, ${\displaystyle D}$ étant unique à équivalence linéaire près.

• Diviseur canonique Le faisceau des formes différentielles ${\displaystyle \Omega _{C/k}}$ sur ${\displaystyle C}$ est un faisceau inversible. C'est le fibré cotangent sur ${\displaystyle C}$. Il lui correspond donc un diviseur ${\displaystyle K}$, unique à équivalence linéaire près. Un tel diviseur est appelé un diviseur canonique de ${\displaystyle C}$.

Le théorème de Riemann-Roch donne une estimation de la dimension de l'espace des fonctions rationnelles à pôles contrôlés par un diviseur donné. C'est un résultat fondamental dans l'étude des courbes algébriques. Concrètement, on se donne des points ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{r}}$ dans ${\displaystyle C}$, et on leur affecte des coefficients entiers ${\displaystyle n_{1},\ldots ,n_{r}}$. Soit ${\displaystyle D}$ le diviseur somme des ${\displaystyle n_{i}[x_{i}]}$. Alors ${\displaystyle L(D)}$ est par définition l'ensemble des fonctions rationnelles ${\displaystyle f}$ nulle ou vérifiant l'inégalité ${\displaystyle \mathrm {ord} _{x_{i}}(f)\geq -n_{i}}$ pour tout ${\displaystyle i}$ (plus synthétiquement : ${\displaystyle (f)\geq -D}$). C'est un espace vectoriel sur le corps de base ${\displaystyle k}$, de dimension finie que l'on note ${\displaystyle l(D)}$. On a les propriétés suivantes :

• Si ${\displaystyle D}$ et ${\displaystyle D'}$ sont linéairement équivalentes, alors ${\displaystyle l(D)=l(D')}$.
• ${\displaystyle l(D)\leq 1+\deg D}$. En particulier, ${\displaystyle l(D)=0}$ si ${\displaystyle \deg D}$ est négatif.
• ${\displaystyle l(D)\geq 1}$ si et seulement si ${\displaystyle D}$ est linéairement équivalent à un diviseur effectif.
• ${\displaystyle l(D)\geq \deg D+1-g}$, où ${\displaystyle g}$ est le genre de la courbe, défini comme étant ${\displaystyle l(K)}$. C'est la forme faible du théorème de Riemann-Roch.
• Théorème de Riemann-Roch : On a l'égalité

${\displaystyle l(D)-l(K-D)=\deg D+1-g.}$

• Corollaire :
  • on a ${\displaystyle \deg K=2g-2}$ ;
  • si ${\displaystyle \deg D\geq 2g-1}$, alors ${\displaystyle l(D)=\deg D+1-g}$.

Définition Une courbe hyperelliptique est une courbe de genre au moins 2, dont le corps de fonction est une extension (nécessairement séparable) de degré 2 du corps des fractions rationnelles ${\displaystyle k(x)}$. Cela revient donc à dire que ${\displaystyle C}$ admet un morphisme de degré 2 vers ${\displaystyle {\mathbb {P} ^{1}}}$. Attention cependant que certains auteurs appellent plus généralement courbes hyperelliptiques celles qui admettent un tel morphisme défini sur la clôture algébrique de ${\displaystyle k}$.

Exemples

• Une courbe projective plane donnée par une équation homogène de degré ${\displaystyle n}$ est de genre ${\displaystyle (n-1)(n-2)/2}$.
• Une courbe hyperelliptique correspondant à une extension ${\displaystyle y^{2}=f(x)}$ (en caractéristique différente de 2) avec ${\displaystyle f(x)\in k[x]}$ séparable de degré ${\displaystyle d}$, est de genre ${\displaystyle g=[(d-1)/2]}$. Une base des formes différentielles est donnée par ${\displaystyle dx/y,\ldots ,x^{g}dx/y}$.
• Sur la droite projective, le diviseur canonique est linéairement équivalent à ${\displaystyle -2[x]}$ si ${\displaystyle x}$ est un point rationnel quelconque.

Un premier invariant pour distinguer les courbes algébriques entre elles est le genre, qui rappelons-le, est la dimension de l'espace vectoriel des formes différentielles sur la courbe. C'est donc un entier positif ou nul.

Tout automorphisme de ${\displaystyle C}$ se prolonge en un automorphisme de ${\displaystyle C_{\bar {k}}}$. On se limite donc aux courbes sur un corps ${\displaystyle k}$ algébriquement clos.

• Le groupe des automorphismes de la droite projective est isomorphisme au groupe des homographies ${\displaystyle PGL_{2}(k)}$.
• Supposons ${\displaystyle C}$ de genre 1 et désignons arbitrairement un point ${\displaystyle x_{0}}$. Pour éviter les confusions possibles, on va noter par ${\displaystyle E}$ la courbe elliptique constituée de ${\displaystyle C}$ avec ${\displaystyle x_{0}}$ comme élément neutre. Alors le groupe ${\displaystyle \mathrm {Aut} (C)}$ s'insère dans une suite exacte

${\displaystyle 1\to \mathrm {Aut} (E)\to \mathrm {Aut} (C)\to E(k)\to 1,}$

la dernière flèche envoyant un automorphisme ${\displaystyle \sigma }$ sur ${\displaystyle \sigma (x_{0})}$. Le groupe ${\displaystyle \mathrm {Aut} (E)}$ est en général le groupe cyclique d'ordre 2, et peut être exceptionnellement cyclique d'ordre 4 ou 6. Si le corps est de caractéristique 2 ou 3, ce groupe peut aussi être d'ordre 12 ou 24.

• Si ${\displaystyle C}$ est de genre ${\displaystyle g>1}$, alors ${\displaystyle \mathrm {Aut} (C)}$ est un groupe fini. Si de plus, le corps de base est caractéristique nulle, alors l'ordre du groupe est borné par ${\displaystyle 84(g-1)=42\deg K}$. En caractérisitique positive cette borne linéaire n'est plus valable. Il faut lui substituer une borne polynomiale du type ${\displaystyle cg^{4}}$ avec une constante explicite ${\displaystyle c}$ de l'ordre de 14x16.
• Si ${\displaystyle g>2}$ et si ${\displaystyle C}$ est suffisamment générale, alors ${\displaystyle \mathrm {Aut} (C)}$ est trivial. Plus précisément, il existe un ouvert dense ${\displaystyle U}$ de l'espace de modules ${\displaystyle M_{g}}$ tel que la conclusion ci-dessus tienne pour toute courbe induisant un point dans ${\displaystyle U}$.

• Sur un corps infini, toute courbe projective lisse se plonge dans ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$.

De façon plus canonique :

• • si ${\displaystyle g>2}$, le diviseur canonique induit un plongement dans ${\displaystyle \mathbb {P} ^{g-1}}$ si et seulement si la courbe n'est pas hyperelliptique (sur ${\displaystyle {\bar {k}}}$).
  • si ${\displaystyle g>1}$, alors ${\displaystyle 3K}$ (qui correspond à la puissance tensorielle ${\displaystyle \Omega _{C/k}^{\otimes 3}}$) induit un plongement de la courbe dans ${\displaystyle {\mathbb {P} }^{5g-6}}$.

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