دالة

مجال دالة أو مجموعة تعريفها هو مجموعة جزئية من المنطلق حيث الدالةُ معرفةٌ. أي حيث الدالة تربط حتميا العنصر بمجموعة الانطلاق بعنصر من مجموعة الوصول. على سبيل المثال، دالة الجذر التربيعي لا تعرف إلا على الأعداد الموجبة. إذن مجموعة انطلاق هذه الدالة هي ℝ بينما مجالها فهو ℝ+.

مدى دالة هو مجموعة القيم الفعلية للدالة ${\displaystyle f\!}$.

مدى الدالة هو مجموعة القيم المحتمل خروجها ناتجًا للدالة بعد التعويض بالقيم الخاصة بمجال الدالة فمثلًا ${\displaystyle f(x)=y=4x+1\!}$ فإن هذه الدالة تتكون من مجال يمثل كل قيم ${\displaystyle x\!}$ الممكنة أما مدى الدالة فهو يمثل كل قيم ${\displaystyle y\!}$ المحتمل خروجها ناتجًا للتعويض في هذه الدالة.

ويجب عدم الخلط بين المدى والمستقر حيث يمكن للدالة ألا تغطي جميع قيم المستقر فيكون المدى مجرد مجموعة جزئية من المستقر.

عادة ما تسمى الدالة تطبيقًا، ولكن هناك من الكتاب والعلماء من يضع فرقا بينهما. على سبيل المثال، فهناك من يعرف التطبيق دالةً إضافة إلى عدد من البُنى الخاصة.

انظر إلى نظام تحريكي وإلى تطبيق بوانكاري.

إذا كانت دالة ما تعطي نفس النتيجة عندما تطبق على العدد وعلى مقابله، فإن هذه الدالة تسمى دالة زوجية. وإذا كانت تعطي قيمةً ما عندما تُطبق على عدد ما وتعطي مقابل هذه القيمة عندما تطبق على مقابل هذا العدد، فإن هذه الدالة تسمى دالة فردية.

تكون دالة ما تقابلًا، وقد يقال دالة تقابلية إذا كانت في آن واحد شمولية وتباينية. أما الدالة الشمولية فهي دالة تضمن وجود سابق لكل عنصر من عناصر مجموعة الوصول. وأما الدالة التباينية فهي كل دالة تضمن الاختلاف عند اختلاف المداخل.

إذا كانت الدالة ${\displaystyle f\!}$ تقابلًا، فإن لها دالة الدالة العكسية مجموعة انطلاقها هي مجموعة وصول الدالة ${\displaystyle f\!}$، ومجموعة وصولها هي مجموعة انطلاق ${\displaystyle f\!}$.

الدوال المتزايدة هن دوال تكبر قيمها عندما تكبر قيمة متغيرها والدوال المتناقصة فهن دوال تنقص قيمها عندما تكبر قيمة متغيرها. وأما الدوال الرتيبة فهن الدوال اللائي يحافظن على ترتيب ما، أي أنهن إما متزايدة أو متناقصة وليس الصفتين معا.

لمعرفة ما إذا كانت الدالة ${\displaystyle f(x)}$، دالة متزايدة أو متناقصة أو رتيبة، يجب أخذ اشتقاق الدالة ${\displaystyle f'(x)}$، فإذا كان اشتقاقها أكبر قطعا من الصفر ${\displaystyle f'(x)>0}$، إذا الدالة متزايدة، إذا كان إشتقاقها أصغر قطعا من الصفر ${\displaystyle f'(x)<0}$ تكون الدالة متناقصة. إشتقاق الدالة الثابتة يساوي الصفر.

مثال

لتكن ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ إذا اشتقاقها هو ${\displaystyle f'(x)=2x}$، لاحظ أن ${\displaystyle f'(x)=2x>0\implies x>0}$ و ${\displaystyle f'(x)=2x<0\implies x<0}$ إذا الدالة متزايدة في ${\displaystyle ]0,\infty [}$ و متناقصة في ${\displaystyle ]-\infty ,0[}$، تكون الدالة ثابتة في ${\displaystyle x=0}$. وبالتالي فإن هذه الدالة ليست رتيبة (طالع الصورة)

التمثيل المبياني للدالة f(x)=x^2، يوضح أن الدالة متزايدة على اليمين ومتناقصة على اليسار

الدالة المركبة والدالة التحليلية

إذا كانت مجموعة انطلاق دالة ما هو مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية، فإن هذا الدالة تسمى متتالية.

هي دوال يُحتاج في تعريفها إلى استدعاء الدالة ذاتها، دالة العاملي مثالًا.

الدالة الثابتة والدالة المستمرة والدالة الضمنية والدالة الأسية والدالة الصريحة والدالة المتطابقة.