تحليل عقدي

مجموعة ماندلبرو، مثال على الكسيريات.

التحليل العقدي هو واحد من الفروع الاعتيادية للرياضيات، تعود جذوره إلى قبيل بداية القرن التاسع عشر. من أهم أسمائه أويلر وغاوس وريمان وكوشي و فايرشتراس وغيرهم كثير في القرن العشرين. مجال آخر مهم يستعمل فيه التحليل العقدي هو نظرية الأوتار. في العصر الحالي، صار التحليل المركب شعبيا جدا بسبب استعماله في إطار التحليل الديناميكي وفي الكسيريات اللائي هن مجرد تكرارٌ لدوال تامة الشكل.

دالة عقدية هي دالة لها متغير وهو عدد عقدي وقيمها هي أعداد عقدية أيضا. وبصيغة أخرى، دالة عقدية هي دالة مجموعة انطلاقها ومجموعة وصولها هما ضمن المستوى العقدي.

${\displaystyle z=x+iy\,}$ و

${\displaystyle w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\,}$

حيث ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} \,}$ و ${\displaystyle u(x,y),v(x,y)\,}$ دالتان ذات قيم حقيقية.

عادة، تُقدم المفاهيم الأساسية للتحليل المركب من خلال تمديد الدوال الحقيقية الأساسية إلى مجموعة الأعداد المركبة. الدوال الأسية والدوال اللوغاريتمية والدوال المثلثية كلها أمثلة على ذلك.

في الرياضيات، تعد الدوال التامة الشكل مركزية في دراسة التحليل العقدي. دالة تامة الشكل (بالإنجليزية: Holomorphic function)‏ هي دالة عقدية معرفة في ${\displaystyle \mathbb {C} }$، يشترط فيها أن تكون قابلة للتفاضل في جوار ما لأي نقطة من مجموعة انطلاقها.[4][5][6]

انظر إلى:

• تكامل المسار
• مبرهنة التكامل لكوشي
• دالة زيتا لريمان
• دالة جزئية الشكل

• التحليل الحقيقي
• دالة ذات قيم حقيقية
• دالة ذات عدة متغيرات حقيقية

• بوابة رياضيات
• بوابة تحليل رياضي