جيب التمام

دالة جيب التمام هي دالة دورية دورها 2π.

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad \cos(x+2\pi )=\cos x}$

هذه الخاصية تتدفق بشكل طبيعي من التعريف انطلاقا من دائرة الوحدة. بتعبير أدق، هناك رقمان حقيقيان لهما نفس جيب التمام إذا كان مجموعهم أو فرقهم ينتمي إلى ${\displaystyle 2\pi \mathbb {Z} }$.

دالة جيب التمام هي دالة زوجية أي:

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad \cos(-x)=\cos x}$.

دالة جيب التمام هي دالة دورية وبالتالي غير تباينية. أيضا، نعتبر اقتصارها إلى [0,π] التي هي تقابلية عند [0,π] في المدى [-1,1] ، ثم نعرف دالتها العكسية، قوس جيب التمام:

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathrm {arccos}$ :&[-1,1]&\to &[0,\pi ]\\&x&\mapsto &\arccos x\end{matrix}}}

التي تحقق:

${\displaystyle \forall x\in [0,\pi ]\quad \arccos(\cos x)=x}$ ;

${\displaystyle \forall x\in [-1,1]\quad \cos(\arccos x)=x}$

مشتق الدالة هو مقابل جيب الزاوية.

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad \cos 'x=-\sin x}$.

${\displaystyle \int \cos(x)dx=\sin(x)}$.

من أجل إلى كل عدد حقيقي x، تكون دالة أو مقترنة جيب التمام مستمرة عند النقطة a، لذلك تكون النهاية في هذه النقطة هي cos (a)، بتعبير آخر:

${\displaystyle \lim _{x\to a}\cos(x)=\cos(a)}$

أما بالنسبة لنهاية الدالة عند ±∞، فهي غير موجودة بسبب دورية الدالة

• لدينا:

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{i\theta }&=\cos \theta +i\sin \theta \\[5pt]e^{-i\theta }&=\cos \theta -i\sin \theta .\end{aligned}}}$

من تلك الصيغ (صيغ أويلر)، يمكن كتابة دالة جيب التمام على هذا الشكل:

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}=\cosh(i\theta )}$

حيث i هي الوحدة التخيلية التي مربعها يساوي الواحد، بتعبير آخر: ${\displaystyle i^{2}=-1}$، و${\displaystyle \cosh \theta }$ هي دالة جيب التمام الزائدية.