دالة جيب التمام الزائدية

يُرمز لدالة جيب التمام الزائدي بالرمز cosh (أو ch)[1] أما قيمتها فهي:

${\displaystyle {\begin{matrix}\cosh$ :&\mathbb {C} &\to &\mathbb {C} \\&z&\mapsto &\displaystyle {\frac {\operatorname {e} ^{z}+\operatorname {e} ^{-z}}{2}}\end{matrix}}}

بحيث أن ${\displaystyle z\mapsto \operatorname {e} ^{z}}$ هو الأس المركب.

إذن فدالة جيب التمام الزائدي هي الجزء الزوجي من العدد المركب الأسي، بل هي تطبيق أو دالة حقيقية لمتغير حقيقي.

دالة جيب التمام الزائدي مُعرفة على المجال ℝ، أي أن منحاها يقتصر على هذا المجال فقط، وهي مماثلة لدالة جيب التمام في الهندسة الزائدية (من هنا جاء تسميتها بدالة جيب التمام الزائدي).

رمز دالة جيب التمام الزائدي Ch. × تم استعمالها لأول مرة من طرف عالم الرياضيات الإيطالي فينتشنزو ريكاتي (بالإيطالية: Vincenzo Riccati)‏ وذلك في القرن الثامن عشر.

هذه بعض قيم دالة جيب التمام الزائدي ${\displaystyle \cosh }$:

• ${\displaystyle \cosh 0=1}$ ;
• ${\displaystyle \cosh 1={\frac {\operatorname {e} ^{2}+1}{2\mathrm {e} }}}$ ;
• ${\displaystyle \cosh \mathrm {i} =\cos 1}$.

كل أصفار دالة cosh هي مجرد أعداد تخيلية. بشكل أكثر دقة، فإن لكل عدد معقد ${\displaystyle z}$:

${\displaystyle \cosh z=0\Leftrightarrow z\in \mathrm {i} \pi \left(\mathbb {Z} +{\frac {1}{2}}\right).}$

في الواقع، وباعتبار أن ${\displaystyle z=x+\mathrm {i} y}$ مع ${\displaystyle x,y}$ عددان حقيقيان، فإن ${\displaystyle \cosh z=\cosh x\cos y+\mathrm {i} \sinh x\sin y}$ وهذا يعني:

${\displaystyle \cosh z=0\Leftrightarrow \left(\cos y=0{\text{ et }}\sinh x=0\right)\Leftrightarrow \left(y\in \{\pi /2+k\pi \mid k\in \mathbb {Z} \}{\text{ et }}x=0\right)}$.

رسم بياني لمنحنى الدالة العكسية لجيب تمام الزائدي على المجال [1، +∞[.

في المجال [0, +∞[، فإن cosh هي دالة متصلة وتزايدية قطعا؛ أما قيمتها في 0 فهي 1، ونهايتها في +∞ هي +∞، مما يعني أنها مقابلة للمجال [0, +∞[ في [1, +∞[. أما دالتها العكسية فيُرمز لها بـ arcosh (أو argch)، وتُسمى «الدالة العكسية لدالة جيب التمام الزائدي» أو «قوس جيب التمام الزائدي».

${\displaystyle \operatorname {arcosh} z=\ln \left(z+{\sqrt {z+1}}{\sqrt {z-1}}\right).}$ من أجل x∈ [1، +∞[ هناك عددان حقيقيان في cosh وهما:

${\displaystyle \operatorname {arcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\quad {\text{و}}\quad -\operatorname {arcosh} x=\ln \left(x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right).}$

في الواقع، إذا افترضنا t = arcosh(x) ثم استعملنا العلاقة التالية cosh(t) – sinh(t) = 1 مع t> 0 نحصل على:

${\displaystyle \operatorname {e} ^{t}=\cosh t+\sinh t=x+{\sqrt {x^{2}-1}}\quad {\text{et}}\quad \operatorname {e} ^{-t}=\cosh t-\sinh t=x-{\sqrt {x^{2}-1}}.}$

الدالة arcosh مشتقة على المجال ]1, +∞[ بحيث:

${\displaystyle \forall x\in ]1,+\infty [\quad \operatorname {arcosh} 'x={\dfrac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}.}$

• دالة الجيب الزائدية
• دالة الظل الزائدية

• بوابة رياضيات
• بوابة تحليل رياضي