قوس الجيب

دالة قوس الجيب
	التمثيل البياني للدالة التمثيل البياني للدالة
تدوين
دالة عكسية	على المجال
مشتق الدالة
مشتق عكسي ; (تكامل)
الميزات الأساسية
زوجية أم فردية؟	فردية
مجال الدالة
المجال المقابل
قيم محددة
القيمة/النهاية عند الصفر	0
الحدود الأعلى	1
الحدود الأدنى	-1
القيمة/النهاية عند 1
القيمة/النهاية عند -1
جذور الدالة	0
نقاط ثابتة	0

في الرياضيات، دالة قوس الجيب[1][2] (بالإنجليزية: Arcsine)‏ لعدد حقيقي المحصور بين $-1$ و $1$ هي الدالة العكسية لدالة الجيب، مستقرها هو $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ ، وحدتها هي الراديان.

الدالة التي ترفق بكل عدد حقيقي المحصور بين $-1$ و $1$ قيمة قوس جيب الخاص به يرمز لها بـ arcsin أو $sin -1$ . ومن ثم تكون الدالة العكسية لدالة الجيب المثلثية المقتصرة إلى المجال $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ .

في المَعْلم الديكارتي المتعامد والمتجانس (متعامد ممنظم) للمستوي، يتم الحصول على التمثيل البياني لدالة قوس جيب الزاوية انطلاقا من التمثيل البياني لدالة الجيب المقتصرة إلى المجال $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ بواسطة انعكاس حول المحور ذو المعادلة $y = x$ .

مشتق

دالة الجيب العكسية تقبل الإشتقاق على المجال $]-1, 1[$ ودالتها المشتقة هي:

$\arcsin 'x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

إثبات

يمكننا كتابة مشتقة الدالة بهذه الصيغة: $(\arcsin x)'={d \over dx}\arcsin x$

نضع $\theta =\arcsin x$ :

{\frac {d\theta }{d\sin \theta }}={\frac {d\theta }{d\theta \cos \theta }}={\frac {1}{\cos \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}

تمثيل بواسطة متسلسلة

يمكننا تمثيل الدالة بواسطة متسلسلة تايلور:

إذا كانت $|z|\leq 1$ ،

{\begin{aligned}\arcsin z&=z+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\cdot {\frac {z^{5}}{5}}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\cdot {\frac {z^{7}}{7}}+\dots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\cdot {\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{\binom {2n}{n}}z^{2n+1}}{4^{n}(2n+1)}}.\end{aligned}}

حيث $(n)!!$ هو عاملي ثنائي.

برهان

متسلسلة تايلور للدالة المستقة هي:

{\begin{aligned}\arcsin '(z)&=(1-z^{2})^{-{\frac {1}{2}}}\\&=1+\left(-{\frac {1}{2}}\right)(-z^{2})+{\frac {\left(-{\frac {1}{2}}\right)\left(-{\frac {3}{2}}\right)}{2}}(-z^{2})^{2}+{\frac {\left(-{\frac {1}{2}}\right)\left(-{\frac {3}{2}}\right)\left(-{\frac {5}{2}}\right)}{2\cdot 3}}(-z^{2})^{3}+\cdots \\&=1+{\frac {1}{2}}z^{2}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}z^{4}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}z^{6}+\dots ,\end{aligned}}

بمكاملتها نتحصل على المتسلسلة غير المنتهية للدالة.

الشكل التكاملي

يمكن كتابة هذه الدالة على شكل التكامل غير المحدد :

$\arcsin x=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}dt$

المشتق العكسي

arccos x

(بالأزرق) و

arcsin x

(بالأحمر)

يتم الحصول على المشتق العكسي لدالة قوس الجيب عن طريق التكامل بالتجزئة :

$\int \arcsin x\,\mathrm {d} x=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C$

العلاقة بين قوس الجيب وقوس جيب التمام

من أجل كل عدد حقيقي $x$ محصور بين $-1$ و $1$ : $\arccos x+\arcsin x={\frac {\pi }{2}}$

على المستوي المركب

التمثيل البياني اللوني للدالة

\arcsin z

الشكل اللوغاريتمي

يمكننا التعبير عن دالة قوس الجيب باستخدام اللوغاريتم العقدي:

$\arcsin x=-i\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$

طالع أيضًا

مراجع

ميشال إبراهيم ورامي أبو سليمان وفادي (01 يناير 2007)، قاموس المصطلحات العلمية - انكليزي/فرنسي/عربي، دار الكتب العلمية، ISBN 978-2-7451-5445-3، مؤرشف من الأصل في 19 مارس 2020.
مجمع اللغة العربية بالقاهرة (1957)، مجموعة المصطلحات العلمية والفنية التي أقرها المجمع، مؤرشف من الأصل في 28 أغسطس 2020.

بوابة رياضيات
بوابة تحليل رياضي
بوابة هندسة رياضية

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] ميشال إبراهيم ورامي أبو سليمان وفادي (01 يناير 2007)، قاموس المصطلحات العلمية - انكليزي/فرنسي/عربي، دار الكتب العلمية، ISBN 978-2-7451-5445-3، مؤرشف من الأصل في 19 مارس 2020.

[2] مجمع اللغة العربية بالقاهرة (1957)، مجموعة المصطلحات العلمية والفنية التي أقرها المجمع، مؤرشف من الأصل في 28 أغسطس 2020.