صيغة تربيع كافالييري

بالنسبة لقيم n السالبة (أس x السالب)، توجد حالة تفرد عند x=0، لذا فالتكامل المحدود يبدأ من 1، بدلاً من 0، على النحو التالي:

${\displaystyle \int _{1}^{a}x^{n}\,dx={\frac {1}{n+1}}(a^{n+1}-1)\qquad n\neq -1.}$

لقيم n الكسرية السالبة، فإن الدالة الأسية xⁿ غير محددة جيدًا، وبالتالي يعرف التكامل غير المحدود لقيم x الموجبة فقط. ولكن لو كانت n عددًا صحيحًا سالبًا، تصبح الدالة الأسية xⁿ معرفة لجميع قيم x التي لا تساوي الصفر، وتكون التكاملات المجدودة وغير المحدودة معرفة، ويمكن حسابها باستبدال x بـ −x، وبدء التكامل المحدد السالب عند −1.

وللأعداد المركبة يعرف التكامل المحدود (لقيم n وx السالبة)، عن طريق التكامل الكفافي ^{[الإنجليزية]}.

هناك أيضا حالة استثنائية عند n=− 1، ينتج عنها قيمةلوغاريتمية بدلاً من قيمة أسية لـ x:

${\displaystyle \int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx=\ln a,}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln x+C,\qquad x>0}$

(حيث "ln" تعني اللوغاريتم الطبيعي، أي لوغاريتم أساسه الثابت e=2.71828. . . ).

في الغالب يمتد التكامل المعتل لقيم x السالبة عن طريق:

${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln |x|+C,\qquad x\neq 0.}$

لاحظ أن القيمة المطلقة مستخدمة هنا لتوحيد صيغة التكامل غير المحدودـ، هذا يعني أن تكامل هذه الدالة الفردية هو دالة زوجية، برغم أن اللوغاريتم معرف فقط للمدخلات الموجبة، لكن يمكن اختيار قيمة موجبة أو سالبة للثابت C، لأن هذه لا تغير المشتق. ولذا يصبح الشكل الأعم هو:[1]

${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx={\begin{cases}\ln |x|+C^{-}&x<0\\\ln |x|+C^{+}&x>0\end{cases}}}$

في الأعداد المركبة، لا يوجد مشتق عكسي شامل لـ 1/x، لأن هذه الدالة تجدد فضاء تغطية ^{[الإنجليزية]} غير تافه "non-trivial"؛ هذه الصيغة خاصة بالأرقام الحقيقية.

لاحظ أن التكامل المحدود الذي يبدأ عند 1 غير معرف لقيم a السالبة، لأنه يمر عبر نقطة انقطاع، وبرغم أن 1/x هي دالة فردية، نستطيع أن نبدأ التكامل المحدود للأسس السالبة عند −1. فباستخدام التكاملات المعتلة وحساب قيمة كوشي الأساسية ^{[الإنجليزية]}، نصل لـ ${\displaystyle \int _{-c}^{c}{\frac {1}{x}}\,dx=0}$، وباستخدام خاصية التناظر (لأن اللوغاريتم دالة فردية)، نحصل على ${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {1}{x}}\,dx=0}$ ، إذا لا فرق إذا كان التكامل المحدود يبدأ عند 1 أو −1. كما الحال مع التكامل غير المحدود، وهذا خاص بالأعداد الحقيقية، ولا ينطبق على الأعداد المركبة.

يمكن أيضًا كتابة التكامل مع إزاحة قيمة n، لتبسيط النتيجة ولتوضيح العلاقة أكثر بين التفاضل في n من الأبعاد والمكعب ذا n بعد:

${\displaystyle \int _{0}^{a}x^{n-1}\,dx={\tfrac {1}{n}}a^{n}\qquad n\geq 1.}$

${\displaystyle \int x^{n-1}\,dx={\tfrac {1}{n}}x^{n}+C\qquad n\neq 0.}$

في العموم، يمكن كتابة الصيغ على النحو التالي:

${\displaystyle \int (ax+b)^{n}dx={\frac {(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}}+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq -1{\mbox{)}}\,\!}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{ax+b}}dx={\frac {1}{a}}\ln \left|ax+b\right|+C}$

وبشكل أكثر عمومية:

${\displaystyle \int {\frac {1}{ax+b}}\,dx={\begin{cases}{\frac {1}{a}}\ln \left|ax+b\right|+C^{-}&x<-b/a\\{\frac {1}{a}}\ln \left|ax+b\right|+C^{+}&x>-b/a\end{cases}}}$