نظرية المؤثرات

النظرية الطيفية بشكل عام تدور حول تمثيل المؤثرات الخطية أو المصفوفات في شكل قطري.[2] توفر النظرية الطيفية شروطًا يمكن بموجبها تقطير أي مؤثر أو مصفوفة (أي يتم تمثيلهم كمصفوفة قطرية في بعض القواعد). يمكن تقطير المؤثرات العاملة في الفضاءات محدودة الأبعاد بصورة مباشرة، ولكنه يتطلب بعض التعديلات في حالات المؤثرات العاملة في الفضاءات اللانهائية الأبعاد. بشكل عام تحدد النظرية الطيفية فئة المؤثرات الخطية التي يمكن نمذجتها باستخدام مؤثرات الضرب ^{[الإنجليزية]}، وهي أبسط المؤثرات التي يمكن التوصل لها.

من المؤثرات التي تنطبق عليها النظرية الطيفية هي المؤثرات الهرمتية ^{[الإنجليزية]}، أو بشكل أكثر عمومية المؤثرات العادية ^{[الإنجليزية]} على فضاءات هلبرت.

توفر النظرية الطيفية أيضًا طريقة لتقنين تفكيك المؤثرات والمصفوفات فيما يعرف بـ التفريق الطيفي[3]، أو تحليل القيمة الذاتية، أو التحليل الذاتي لمصفوفة ^{[الإنجليزية]}، لفضاء المتجه الذي يعمل عليه المؤثر.

المؤثر العادي على فضاء هيلبرت المركب H هو مؤثر خطي مستمر N : H → H قابل للتبديل مع مرافقه الهرميتي ^{[الإنجليزية]} N *، بحيث أن: NN * = N * N.[4]

المؤثرات العادية مهمة لأنه يمكن تطبيق النظرية الطيفية عليها. اليوم فئة المؤثرات العادية مدروسة بشكل كاف. ومن أمثلة هذه المؤثرات

• المؤثرات الواحدية ^{[الإنجليزية]}: N * = N ⁻¹
• المؤثرات الهرمتية ^{[الإنجليزية]} (أي مؤثرات مرافقة لذاتها[3]): N * = N ؛ (أيضًا مؤثرات ضد المرافقة الذاتية: N * = - N)
• المؤثرات الإيجابية ^{[الإنجليزية]} : N = MM *
• المصفوفات النظامية يمكن النظر لها كمؤثرات عادية لو اعتبرنا أن فضاء هيلبرت هو C ⁿ .