Cuadrilátero

En un cuadrilátero convexo, todos los ángulos interiores son inferiores a 180° y las dos diagonales se encuentran dentro del cuadrilátero. Trapezoide o cuadrilátero irregular: ninguno de sus lados son paralelos entre sí

• Trapecio: Al menos un par de lados opuestos son paralelos. Los trapecios incluyen a los paralelogramos.
• Trapecio isósceles: Un par de lados opuestos son paralelos y los ángulos de cada base son iguales entre sí. Otras definiciones alternativas son: un cuadrilátero con un eje de simetría que divide un par de lados opuestos; o un trapecio con diagonales de igual longitud.
• Paralelogramo: Un cuadrilátero con dos pares de lados paralelos. Condiciones equivalentes son que los lados opuestos sean de igual longitud; que los ángulos opuestos sean iguales; o que las diagonales se bisequen entre sí (es decir, se corten en sus puntos medios). Al conjunto de los paralelogramos pertenecen los rombos (incluidos los que tienen sus ángulos rectos, es decir, los cuadrados) y los romboides (incluidos los que tienen sus ángulos rectos, los rectángulos). En otras palabras, los paralelogramos incluyen todos los romboides y todos los rombos, y por lo tanto también incluyen todos los rectángulos y todos los cuadrados.
• Rombo: Sus cuatro lados tienen la misma longitud. Una condición equivalente es que las diagonales se bisecan perpendicularmente entre sí. Informalmente: "un cuadrado cizallado" (pero estrictamente, incluyendo un cuadrado también).
• Romboide: Un paralelogramo en el que los lados adyacentes tienen longitudes distintas y algunos de sus ángulos son oblicuos (equivalentemente, sin ángulos rectos). Informalmente: "un rectángulo cizallado". No todas las referencias están de acuerdo, y en algunas se define un romboide como un paralelogramo que no es un rombo.[4]
• Rectángulo: Sus cuatro ángulos son ángulos rectos. Una condición equivalente es que las diagonales se corten entre sí y que los cuatro segmentos resultantes tengan la misma longitud. Los rectángulos incluyen a los cuadrados.
• Cuadrado (cuadrilátero regular): Sus cuatro lados tienen la misma longitud (es equilátero) y los cuatro ángulos son ángulos rectos. Una condición equivalente es que los lados opuestos sean paralelos (un cuadrado es un paralelogramo), que las diagonales se bisequen perpendicularmente entre sí y que tengan la misma longitud. Un cuadrilátero es un cuadrado si y solo si es tanto un rombo como un rectángulo (cuatro lados iguales y cuatro ángulos iguales).
• Oblongo: Es un término que a veces se usa en textos en lengua inglesa para denominar a un rectángulo que tiene lados adyacentes desiguales (es decir, para referirse estrictamente a un rectángulo que no es un cuadrado).[5]
• Deltoide: Posee dos pares de lados adyacentes de igual longitud. Esto implica que una diagonal divide el deltoide en dos partes congruentes, por lo que los ángulos comprendidos entre los dos pares de lados desiguales son iguales en medida. También implica que las diagonales son perpendiculares entre sí. Los deltoides también incluyen a los rombos.

• Cuadrilátero circunscrito: Los cuatro lados son tangentes a una circunferencia inscrita. Un cuadrilátero convexo es tangencial si y solo si las sumas de las longitudes de los lados opuestos son iguales entre sí.
• Trapecio tangencial: Es un trapecio en el que los cuatro lados son tangentes a una circunferencia inscrita.
• Cuadrilátero cíclico: Los cuatro vértices se encuentran en un circunferencia circunscrita. Un cuadrilátero convexo es cíclico si y solo si los ángulos opuestos suman 180°.
• Deltoide recto: Un deltoide con dos ángulos rectos opuestos. Es un tipo de cuadrilátero cíclico.
• Cuadrilátero armónico: Los productos de las longitudes de los lados opuestos son iguales. Es un tipo de cuadrilátero cíclico.
• Cuadrilátero bicéntrico: Es tangencial y cíclico a la vez.
• Cuadrilátero ortodiagonal: Sus diagonales se cruzan en ángulo recto.
• Cuadrilátero equidiagonal: Las diagonales son de igual longitud.
• Cuadrilatero extangencial: Las cuatro extensiones de los lados son tangentes a una circunferencia inscrita y exinscrita en un triángulo.
• Cuadrilátero equílico: Es aquel que tiene dos lados iguales opuestos que, cuando se extienden, se encuentran a 60°.
• Cuadrilátero de Watt: Posee un par de lados opuestos de igual longitud.[6]
• Cuadrilátero cuadrático: Es un cuadrilátero convexo cuyos cuatro vértices se encuentran en el perímetro de un cuadrado.[7]
• Cuadrilátero diametral: Aquel cuadrilátero cíclico que tiene uno de sus lados como diámetro de su circunferencia circunscrita.[8]
• Cuadrilátero de Hjelmslev: Es un cuadrilátero con dos ángulos rectos en vértices opuestos.[9]

En un cuadrilátero cóncavo, un ángulo interior es mayor de 180° y una de las dos diagonales se encuentra fuera del cuadrilátero.

• Un dardo (o punta de flecha) es un cuadrilátero cóncavo con simetría bilateral como un deltoide, pero con un ángulo interior mayor de 180°.

Ejes de simetría:

• 4 Ejes: el cuadrado presenta cuatro ejes de simetría: sus dos diagonales y sus dos bimedianas
• 2 Ejes: el rombo (sus dos diagonales) y el rectángulo (sus dos bimedianas)
• 1 Eje: el trapecio isósceles (la bimediana entre las dos caras paralelas) y el deltoide, tanto cóncavo como convexo (una diagonal)

Simetría rotacional:

• El cuadrado es isotoxal ante giros de 90°.
• El rombo y el rectángulo son isotoxales con respecto a giros de 180°.

Estos criterios también son aplicables a los cuadriláteros complejos:

Ejes de simetría:

• 2 Ejes: los antiparalelogramos del cuadrado y del rectángulo poseen dos ejes: una bimediana y su perpendicular por el centro.
• 1 Eje: el antiparalelogramo del trapecio isósceles es simétrico respecto a la bimediana entre las caras paralelas.

Simetría rotacional:

• Los antiparalelogramos del cuadrado y del rectángulo son isotoxal ante giros de 180°.

El resto de los cuadriláteros carece de simetrías.

Sea el cuadrilátero inscrito de lados a,b,c y d; de diagonales perpendiculares que al intersecarse determinan los segmentos m y n en uno de ellos, y p y q en el otro, y cuyo radio de la circunferencia circunscrita se denomina R. En tal caso, son válidas las igualdades siguientes:[12]

${\displaystyle a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}=4R^{2}}$

(1)${\displaystyle m^{2}+n^{2}+p^{2}+q^{2}=4R^{2}}$

El área se puede expresar en términos trigonométricos como

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}pq\cdot \sin \theta ,}$

donde las longitudes de las diagonales son p y q y el ángulo entre ellas es θ.[15] En el caso de un cuadrilátero ortodiagonal (por ejemplo, rombo, cuadrado o deltoide), esta fórmula se reduce a ${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}pq}$ ya que θ es 90°.

El área también se puede expresar en términos de las bimedianas como[16]

${\displaystyle K=mn\cdot \sin \varphi ,}$

donde las longitudes de las bimedianas son m y n y el ángulo entre ellos es φ.

La fórmula de Bretschneider[17] expresa el área en términos de la longitud de los lados y del valor de dos ángulos opuestos:

${\displaystyle {\begin{aligned}K&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{2}}abcd\;[1+\cos(A+C)]}}\\&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\left[\cos ^{2}\left({\tfrac {A+C}{2}}\right)\right]}}\end{aligned}}}$

donde los lados (denominados consecutivamente) son a, b, c y d, donde s es el semiperímetro, y donde A y C son dos (de hecho, cualesquiera dos) ángulos opuestos. Esto se reduce a la fórmula de Brahmagupta para el área de un cuadrilátero cíclico cuando A + C = 180°.

Otra fórmula del área en función de la longitud de los lados y del valor de los ángulos, con el ángulo C entre los lados b y c, y A entre los lados a y d, es

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}ad\cdot \sin {A}+{\tfrac {1}{2}}bc\cdot \sin {C}.}$

En el caso de un cuadrilátero cíclico, la última fórmula se convierte en ${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ad+bc)\sin {A}.}$

En un paralelogramo, donde ambos pares de lados opuestos y ángulos son iguales, esta fórmula se reduce a ${\displaystyle K=ab\cdot \sin {A}.}$

Alternativamente, se puede determinar el área en términos de los lados y el ángulo de intersección θ de las diagonales, siempre que este ángulo no sea 90°:[18]

${\displaystyle K={\frac {|\tan \theta |}{4}}\cdot \left|a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right|.}$

En el caso de un paralelogramo, la última fórmula se convierte en ${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}|\tan \theta |\cdot \left|a^{2}-b^{2}\right|.}$

Otra fórmula del área que incluye los lados a, b, c y d, es:[16]

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {((a^{2}+c^{2})-2x^{2})((b^{2}+d^{2})-2x^{2})}}\sin {\varphi }}$

donde x es la distancia entre los puntos medios de las diagonales y φ es el ángulo entre las bimedianas.

La última fórmula del área trigonométrica que incluye los lados a, b, c y d y el ángulo α entre a y b, es:^{[cita requerida]}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}ab\cdot \sin {\alpha }+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4c^{2}d^{2}-(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}+2ab\cdot \cos {\alpha })^{2}}},}$

que también se puede usar para el área de un cuadrilátero cóncavo (que tiene la parte cóncava opuesta al ángulo α) simplemente cambiando el primer signo + por un -.

Las siguientes dos fórmulas expresan el área en términos de los lados a, b, c y d; del semiperímetro s y de las diagonales p y q:

${\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{4}}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}},}$[19]

${\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4p^{2}q^{2}-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right)^{2}}}.}$ [20]

La primera se reduce a la fórmula de Brahmagupta en el caso del cuadrilátero cíclico, dado que entonces pq = ac + bd.

El área también se puede expresar en términos de las bimedianas m y n; y de las diagonales p y q:

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(m+n+p)(m+n-p)(m+n+q)(m+n-q)}},}$ [21]

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p^{2}q^{2}-(m^{2}-n^{2})^{2}}}.}$ [22]^{: Thm. 7}

De hecho, tres de los cuatro valores m, n, p y q son suficientes para la determinación del área, ya que en cualquier cuadrilátero los cuatro valores están relacionados por ${\displaystyle p^{2}+q^{2}=2(m^{2}+n^{2}).}$[23]^{: p. 126} Las expresiones correspondientes son:[24]

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {[(m+n)^{2}-p^{2}]\cdot [p^{2}-(m-n)^{2}]}},}$

si se dan las longitudes de dos bimedianas y de una diagonal, y[24]

${\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {[(p+q)^{2}-4m^{2}]\cdot [4m^{2}-(p-q)^{2}]}},}$

si se dan las longitudes de dos diagonales y de una bimediana.

El área de un cuadrilátero ABCD se puede calcular usando vectores. Sean los vectores AC y BD correspondientes a las diagonales desde A hasta C y desde B hasta D. El área del cuadrilátero es entonces

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}|\mathbf {AC} \times \mathbf {BD} |,}$

que es la mitad de la magnitud del producto vectorial de los vectores AC y BD. En el espacio euclidiano bidimensional, expresando el vector AC como un vector libre en el espacio cartesiano igual a (x₁, y₁) y BD como (x₂, y₂), esto puede reescribirse como:

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|.}$

En la siguiente tabla se enumera si las diagonales en algunos de los cuadriláteros más básicos se bisecan entre sí, si sus diagonales son perpendiculares y si sus diagonales tienen la misma longitud.[25] La lista se aplica a los casos más generales:

Nota 1: Los trapecios (incluidos los trapecios isósceles), en general no tienen diagonales perpendiculares, pero hay un número infinito de trapecios (no semejantes entre sí) y de trapecios isósceles, que tienen diagonales perpendiculares y no son ningún otro tipo de cuadrilátero.

Nota 2: En un deltoide, una diagonal divide a la otra. El deltoide más general tiene diagonales desiguales, pero hay un número infinito de deltoides (no similares) en los que las diagonales tienen la misma longitud (y que no se ajustan a la definición de otro cuadrilátero).

Las longitudes de las diagonales en un cuadrilátero convexo ABCD se pueden calcular usando el teorema del coseno en cada triángulo formado por una diagonal y dos lados del cuadrilátero. Así

${\displaystyle p={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos {B}}}={\sqrt {c^{2}+d^{2}-2cd\cos {D}}}}$

y

${\displaystyle q={\sqrt {a^{2}+d^{2}-2ad\cos {A}}}={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2bc\cos {C}}}.}$

Otras fórmulas más simétricas para las longitudes de las diagonales son:[26]

${\displaystyle p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)-2abcd(\cos {B}+\cos {D})}{ab+cd}}}}$

y

${\displaystyle q={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)-2abcd(\cos {A}+\cos {C})}{ad+bc}}}.}$

En cualquier cuadrilátero convexo ABCD, la suma de los cuadrados de los cuatro lados es igual a la suma de los cuadrados de las dos diagonales más cuatro veces el cuadrado de la longitud del segmento que conecta los puntos medios de las diagonales. Así

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=p^{2}+q^{2}+4x^{2}}$

donde x es la distancia entre los puntos medios de las diagonales.[23]^: p.126 Esto a veces se conoce como el teorema del cuadrilátero de Euler y es una generalización de la ley del paralelogramo.

El matemático alemán Carl Anton Bretschneider dedujo en 1842 la siguiente generalización del Teorema de Ptolomeo con respecto al producto de las diagonales en un cuadrilátero convexo:[27]

${\displaystyle p^{2}q^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos {(A+C)}.}$

Esta relación puede considerarse como equivalente al teorema del coseno para un cuadrilátero. En un cuadrilátero cíclico, donde A+C=180°, se reduce a pq=ac+bd. Como cos(A+C)≥−1, también proporciona una prueba de la desigualdad de Ptolomeo.

Si X e Y son los pies de las normales desde B y D hasta la diagonal AC=p en un cuadrilátero convexo ABCD con lados a=AB, b=BC, c=CD y d=DA, entonces[28]^: p.14

${\displaystyle XY={\frac {|a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}|}{2p}}.}$

En un cuadrilátero convexo ABCD con lados a=AB, b=BC, c=CD y d=DA, y donde las diagonales se cruzan en E,

${\displaystyle efgh(a+c+b+d)(a+c-b-d)=(agh+cef+beh+dfg)(agh+cef-beh-dfg)}$

donde e=AE, f=BE, g=CE, y h=DE.[29]

La forma y el tamaño de un cuadrilátero convexo están completamente determinados por las longitudes de sus lados en secuencia y de una diagonal entre dos vértices especificados. Las dos diagonales p, q y las cuatro longitudes laterales a, b, c, d de un cuadrilátero están relacionadas[30] por el determinante de Cayley-Menger, de la siguiente manera:

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}0&a^{2}&p^{2}&d^{2}&1\\a^{2}&0&b^{2}&q^{2}&1\\p^{2}&b^{2}&0&c^{2}&1\\d^{2}&q^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&1&0\end{bmatrix}}=0.}$

Si un cuadrilátero convexo tiene los lados consecutivos a, b, c y d; y las diagonales p y q; entonces su área K satisface[37]

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{4}}(a+c)(b+d)}$ (siendo una igualdad solo para un rectángulo)

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})}$ (siendo una igualdad solo para un cuadrado)

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{4}}(p^{2}+q^{2})}$ (siendo una igualdad solo si las diagonales son perpendiculares e iguales)

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})}}}$ (siendo una igualdad solo para un rectángulo)[16]

De la fórmula de Bretschneider se deduce directamente que el área de un cuadrilátero satisface que

${\displaystyle K\leq {\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}$

dándose la igualdad si y solo si el cuadrilátero es cíclico o degenerado, de tal manera que la longitud de un lado es igual a la suma de los otros tres (es decir, ha colapsado en un segmento, por lo que su área es cero).

El área de cualquier cuadrilátero también satisface la desigualdad[38]

${\displaystyle \displaystyle K\leq {\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}.}$

Denotando el perímetro como L, se tiene que[38]^: p.114

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{16}}L^{2},}$

con igualdad solo en el caso de un cuadrado.

El área de un cuadrilátero convexo también satisface que

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{2}}pq}$

para longitudes de las diagonales p y q, verificándose la igualdad si y solo si las diagonales son perpendiculares.

Sean a, b, c y d las longitudes de los lados de un cuadrilátero convexo ABCD con el área K y diagonales AC=p y BD=q. Entonces[39]

${\displaystyle K\leq {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+p^{2}+q^{2}+pq-ac-bd}{8}}}$ cumpliéndose la igualdad solo para un cuadrado.

Sean a, b, c y d las longitudes de los lados de un cuadrilátero convexo ABCD con el área K. Entonces, se cumple la siguiente desigualdad:[40]

${\displaystyle K\leq {\frac {1}{3+{\sqrt {3}}}}(ab+ac+ad+bc+bd+cd)-{\frac {1}{2(1+{\sqrt {3}})^{2}}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})}$ cumpliéndose la igualdad solo para un cuadrado.

Un corolario del teorema del cuadrilátero de Euler es la desigualdad

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq p^{2}+q^{2}}$

donde la igualdad se cumple si y solo si el cuadrilátero es un paralelogramo.

Euler también generalizó el teorema de Ptolomeo, que es una igualdad para un cuadrilátero cíclico, en una desigualdad para un cuadrilátero convexo. Afirma que

${\displaystyle pq\leq ac+bd}$

donde se verifica la igualdad sí y solo si el cuadrilátero es cíclico.[23]^{: p.128–129} Esta relación a menudo se denomina desigualdad de Ptolomeo.

En cualquier cuadrilátero convexo, las bimedianas m y n, y las diagonales p y q están relacionadas por la desigualdad

${\displaystyle pq\leq m^{2}+n^{2},}$

verificándose la igualdad si y solo si las diagonales son iguales.[41]^: Prop.1 Esto se deduce directamente de la identidad del cuadrilátero

${\displaystyle m^{2}+n^{2}={\tfrac {1}{2}}(p^{2}+q^{2}).}$

Los lados a, b, c y d de cualquier cuadrilátero satisfacen que [42]^{: p.228, #275}

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}>{\frac {d^{2}}{3}}}$

y además[42]^{: p.234, #466}

${\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq {\frac {d^{4}}{27}}.}$