Topología

Plano del metro de Madrid.

Observemos un plano del metro de Madrid. En él están representadas las estaciones y las líneas de metro que las unen, pero no es geométricamente exacto. La curvatura de las líneas de metro no coincide, ni su longitud a escala, ni la posición relativa de las estaciones... Pero aun así es un plano perfectamente útil. Sin embargo, este plano es exacto en cierto sentido, pues representa fielmente cierto tipo de información, la única que necesitamos para decidir nuestro camino por la red de metro: información topológica.

Sea ${\displaystyle X}$ un conjunto cualquiera y ${\displaystyle P(X)}$ el conjunto de sus partes. Una topología sobre ${\displaystyle X}$ es un conjunto ${\displaystyle T\subset P(X)}$ que cumpla que ${\displaystyle X\in T}$, ${\displaystyle \varnothing \in T}$, si ${\displaystyle A,B\in T}$ entonces ${\displaystyle A\cap B\in T}$, y que si ${\displaystyle S\subset T}$ entonces ${\displaystyle \cup _{G\in S}G\in T}$. A los elementos de ${\displaystyle T}$ se les denomina conjuntos abiertos. Al par ${\displaystyle (X,T)}$ se le denomina espacio topológico. A los elementos de ${\displaystyle X}$ se les suele denominar puntos.

Nótese que desde un primer momento hemos especificado que el conjunto ${\displaystyle X}$ es cualquiera, no necesariamente un conjunto de naturaleza geométrica. La denominación de espacio (topológico) y de punto se mantiene aun cuando ${\displaystyle X}$ sea un conjunto de números, de funciones, de ecuaciones diferenciales, de figuras geométricas, de vectores, de conjuntos...

Como puede observarse, la definición es muy formal y general, y lo primero que se observa es que sobre un mismo conjunto pueden darse multitud de topologías distintas. Así es. Pero de momento, los conceptos de conjunto abierto en ${\displaystyle \mathbb {R} }$ o en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ o ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ cumplen las condiciones exigibles a una topología. Es precisamente el comprobar que otras familias de conjuntos en otros conjuntos de naturaleza no geométrica que comparten estas mismas propiedades (como en el conjunto de soluciones de una ecuación diferencial, o el conjunto de los ceros de los polinomios con coeficientes en los ideales en un anillo conmutativo, por ejemplo) lo que motiva esta definición. Así podremos aplicar a estos conjuntos las mismas (o parecidas) técnicas topológicas que aplicamos a los abiertos del plano, por ejemplo. La situación es análoga a la que se da en Álgebra Lineal cuando se pasa de trabajar en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ o ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ a trabajar en espacios vectoriales arbitrarios.

En lo que sigue, ${\displaystyle (X,T)}$ representará siempre un espacio topológico.

Ligado al concepto de conjunto abierto está el de conjunto cerrado. Un conjunto ${\displaystyle F\subset X}$ se dice que es cerrado si su complementario ${\displaystyle X\setminus F}$ es un conjunto abierto. Es importante observar que un conjunto que no es abierto no necesariamente ha de ser cerrado, y un conjunto que no sea cerrado no necesariamente ha de ser abierto. Así, existen conjuntos que son abiertos y cerrados a la vez, como ${\displaystyle \varnothing }$, y pueden existir conjuntos que no sean ni abiertos ni cerrados.

Es inmediato comprobar que la intersección de cerrados es un conjunto cerrado, que la unión de una cantidad finita de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado, y que tanto ${\displaystyle X}$ como ${\displaystyle \varnothing }$ son conjuntos cerrados.

Si ${\displaystyle Z\subset X}$, el conjunto ${\displaystyle T_{Z}:=\{G\cap Z:G\in T\}}$ es una topología para ${\displaystyle Z}$. Se dirá entonces que el espacio ${\displaystyle (Z,T_{Z})}$ es subespacio topológico del ${\displaystyle (X,T)}$.

La noción de subespacio topológico se presenta de manera natural, y es el concepto análogo al de subgrupo en Teoría de Grupos o al de subespacio vectorial en Álgebra Lineal.

Una propiedad relativa a espacios topológicos se dice que es hereditaria cuando si un espacio la tiene, entonces también la tiene cualquiera de sus subespacios.

Una familia ${\displaystyle {\mathcal {(}}B)\subset T}$ se dice que es base (de la topología ${\displaystyle T}$) si para cualquiera que sea el ${\displaystyle G\in T}$ existe un conjunto ${\displaystyle M\subset {\mathcal {(}}B)}$ de manera que ${\displaystyle G=\cup _{B\in M}B}$.

No siempre es cómodo trabajar con una topología. A veces resulta más complicado establecer una topología que una base de topología (como en espacios métricos). En cualquier caso, una base es una manera muy cómoda de establecer una topología. Aún más sencillo es establecer una subbase, que es una familia de conjuntos para la que el conjunto de sus intersecciones finitas forma una base de topología. Uno de los casos más importantes de topología, la de los espacios métricos, viene dado por una base, la del conjunto de bolas abiertas del espacio.

Un espacio topológico se dice que cumple el Segundo Axioma de Numerabilidad (IIAN) si existe alguna base de su topología que tenga cardinalidad numerable.

Sea ${\displaystyle A\subset X}$ un conjunto cualquiera y sea ${\displaystyle x\in A}$ un punto arbitrario. Se dice que ${\displaystyle A}$ es entorno de ${\displaystyle x}$ si existe un conjunto abierto ${\displaystyle G}$ de manera que ${\displaystyle x\in G\subset A}$. Todo conjunto abierto es entorno de todos sus puntos. Al conjunto de todos los entornos de un punto ${\displaystyle x}$ se le denomina sistema de entornos de ${\displaystyle x}$.

Obsérvese que no se ha exigido que un entorno sea un conjunto abierto. Los entornos abiertos son un tipo de entornos muy útiles (sobre todo en Geometría y Análisis) y muy usados, tanto que en muchas ocasiones se omite el calificativo abierto. Esto es un abuso de lenguaje y debe evitarse.

Una colección ${\displaystyle {\mathcal {(}}V)}$ de entornos de un mismo punto x se dice que es una base de entornos (o base local) de ${\displaystyle x}$ si dado cualquier entorno ${\displaystyle V}$ de ${\displaystyle x}$ existe un ${\displaystyle B\in {\mathcal {(}}V)}$ de manera que ${\displaystyle B\subset V}$.

Se dice que un espacio topológico cumple el Primer Axioma de Numerabilidad (IAN) si cada punto del espacio tiene alguna base local de cardinal numerable.

Ahora podemos establecer una serie de definiciones de gran importancia, pues serán las piezas básicas del estudio de la topología y constituirán la materia prima de los conceptos posteriores.

Un punto ${\displaystyle x\in X}$ se dirá que es un punto interior de ${\displaystyle A}$ si existe un entorno ${\displaystyle N}$ de ${\displaystyle x}$ tal que ${\displaystyle N\subset A}$. Así, el conjunto de los puntos interiores a ${\displaystyle A}$ es un conjunto abierto, denominado Interior de A, denotado por Int (A) o también como ${\displaystyle {\stackrel {\ \circ }{A}}}$. Es el mayor conjunto abierto incluido en A.

Un punto ${\displaystyle y\in X}$ se dirá que es un punto exterior a ${\displaystyle A}$ si existe un entorno ${\displaystyle N}$ de ${\displaystyle y}$ tal que ${\displaystyle N}$ ⊂ ${\displaystyle X\setminus A}$.[3] Asimismo, el conjunto de los puntos exteriores a ${\displaystyle A}$ es otro conjunto abierto, denominado Exterior de A y denotado por Ext (A).

Un punto ${\displaystyle z\in X}$ se dice que es un punto frontera de ${\displaystyle A}$ si todo entorno ${\displaystyle V}$ de ${\displaystyle z}$ es tal que ${\displaystyle V\cap A\neq \varnothing }$ y ${\displaystyle V\cap (X\setminus A)\neq \varnothing }$. Al conjunto de los punto frontera de ${\displaystyle A}$ se le denomina Frontera de A y se denota por Fr(A). En otras palabras, todo entorno con centro en ${\displaystyle z}$ tendrá elementos pertenecientes al conjunto ${\displaystyle A}$ y otros elementos fuera del conjunto ${\displaystyle A}$. La frontera de ${\displaystyle A}$ es un conjunto cerrado.

Un punto ${\displaystyle x\in X}$ se dice que es un punto de adherencia de ${\displaystyle A}$ si todo entorno ${\displaystyle V}$ de ${\displaystyle x}$ es tal que ${\displaystyle A\cap V\neq \varnothing }$. Se hace pues evidente que todo punto interior y todo punto frontera es punto de adherencia. Al conjunto de los puntos de adherencia del conjunto ${\displaystyle A}$ se le denomina adherencia o clausura de ${\displaystyle A}$, y se denota por ${\displaystyle Cl(A)}$ o por ${\displaystyle {\bar {A}}}$. La clausura de un conjunto ${\displaystyle A}$ es un conjunto cerrado, y es el menor conjunto cerrado que contiene al conjunto.

Un punto ${\displaystyle x\in X}$ se dice que es un punto de acumulación de ${\displaystyle A}$ si todo entorno ${\displaystyle V}$ de ${\displaystyle x}$ es tal que ${\displaystyle (V\setminus \{x\})\cap A\neq \varnothing }$. Al conjunto de los puntos de acumulación de un conjunto se le denomina acumulación del conjunto, o conjunto derivado, y se le denota por ${\displaystyle A^{d}}$ o por ${\displaystyle A'}$.

Un punto ${\displaystyle x\in X}$ se dice que es un punto de ${\displaystyle \Omega }$-acumulación de ${\displaystyle A}$ si todo entorno ${\displaystyle V}$ de ${\displaystyle x}$ es tal que ${\displaystyle (V\setminus \{x\})\cap A}$ es un conjunto infinito. Al conjunto de los puntos de ${\displaystyle \Omega }$-acumulación de un conjunto se le denomina ${\displaystyle \Omega }$-acumulación del conjunto, o conjunto ${\displaystyle \Omega }$-derivado, y se le denota por ${\displaystyle A_{\Omega }^{d}}$ o por ${\displaystyle A'_{\Omega }}$. Todo punto de ${\displaystyle \Omega }$-acumulación es punto de acumulación, y todo punto de acumulación es punto de adherencia del mismo conjunto.

Un punto ${\displaystyle x\in X}$ se dice que es un punto aislado de ${\displaystyle A}$ si existe algún entorno perforado ${\displaystyle V}$ de ${\displaystyle x}$ (es decir, un conjunto ${\displaystyle V\subset X}$ de manera que ${\displaystyle V\cup \{x\}}$ es un entorno de ${\displaystyle x}$) de manera que ${\displaystyle V\cap A=\varnothing }$. Al conjunto de los puntos aislados de ${\displaystyle A}$ se le denomina conjunto de los puntos aislados de ${\displaystyle A}$, y se le denota por ${\displaystyle A^{a}}$. Todo punto aislado es punto frontera y también es punto de adherencia del mismo conjunto.

En topología son de una importancia capital los conjuntos interior y clausura de un conjunto. Su importancia radica en ser, respectivamente, el mayor abierto contenido en el conjunto y el menor cerrado que contiene al conjunto. El interior puede obtenerse también como la unión de todos los abiertos contenidos en el conjunto, y la clausura como la intersección de todos los cerrados que contienen al conjunto. Sin tanta importancia en topología pero de mucha en otras áreas de la Matemática son los conjuntos de acumulación, frontera y de los puntos aislados de un conjunto.

La idea de la convergencia es la de "aproximar" un objeto por otro, es decir, sustituir un objeto por otro que está próximo a él. Evidentemente, al hacerlo así se está cometiendo un error, error que en general dependerá de lo próximo que se encuentre el objeto sustituido del objeto sustituto. Para hacer esta sustitución de una manera sistemática, de forma que el error pueda ser elegido arbitrariamente pequeño, aparecen distintos tipos de conjuntos. Se obtiene así un proceso de sucesivas aproximaciones que, si todo va bien, terminarían llevándonos al objeto, aunque fuese después de un número infinito de aproximaciones. El más sencillo de estos conjuntos es una sucesión, es decir, una colección infinita (numerable) y ordenada de objetos, aunque con el mismo carácter de orden hay otros conjuntos que reflejan mejor el concepto de convergencia.

Es importante observar que la topología no trabaja con errores ni con aproximaciones. Eso entra en el ámbito del Análisis Numérico e incluso del Análisis Matemático. La topología lo que hace en este problema es aportar las herramientas básicas y los conceptos teóricos para afrontar correctamente el problema, siempre desde un punto de vista conceptual y cualitativo. Estudia qué es lo que debe entenderse cuando decimos que un conjunto (como puede ser una sucesión) se acerca a un objeto (que puede ser un punto, un conjunto, etcétera).

Una sucesión es una aplicación en un conjunto cuyo dominio es el conjunto de los números naturales. En particular, una sucesión en un espacio topológico ${\displaystyle (X,T)\,}$ es una aplicación ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }:\mathbb {N} \longrightarrow X}$.

Una sucesión es el caso más sencillo de aplicación de dominio infinito.

Se dice que ${\displaystyle x\in X}$ es un punto límite de la sucesión ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$, o bien que ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ converge al punto ${\displaystyle x\,}$, si se cumple que, cualquiera que sea el entorno ${\displaystyle V\,}$ de ${\displaystyle x\,}$ existe un número natural ${\displaystyle n_{0}}$ de tal manera que si ${\displaystyle n}$ es otro número natural mayor o igual que ${\displaystyle n_{0}}$ (o sea, ${\displaystyle n\geq n_{0}}$) entonces se cumple que ${\displaystyle x_{n}\in V}$.

Hay que hacer dos observaciones sobre esto:

• En primer lugar, puede darse el caso de que la sucesión no tenga puntos límites, o incluso que tenga más de un punto límite. Al conjunto de puntos límites de una sucesión ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ se le denomina límite de ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ (y se le denota por ${\displaystyle \lim _{n\in \mathbb {N} }x_{n}}$, o también por ${\displaystyle \,\lim _{n\to \infty }x_{n}}$).
• En segundo lugar, la interpretación de este concepto es la siguiente: tan cerca como queramos de un punto límite podemos encontrar a todos los puntos de la sucesión, excepto a lo más a una cantidad finita de ellos (que podrá o no ser muy grande, pero no deja de ser finita).

Un punto ${\displaystyle x\in X}$ es punto de aglomeración de la sucesión ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ si cualquiera que sea el entorno ${\displaystyle V}$ de ${\displaystyle x}$ se cumple que el conjunto ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :x_{n}\in V\}}$ es infinito. Todo punto límite es punto de aglomeración, pero el recíproco no es cierto. Por ejemplo, los límites de oscilación de una sucesión no convergente de números reales (como por ejemplo la sucesión ${\displaystyle (-1)^{n}+{\frac {1}{n}}}$) son puntos de aglomeración, pero no son puntos límites (no existe límite para dicha sucesión, mientras que 1 y -1 son puntos de acumulación).

Otro concepto totalmente fundamental estudiado en esta rama es el de aplicación continua. Una aplicación ${\displaystyle f:X\longrightarrow Y}$ entre dos espacios topológicos se dice que es continua si dado cualquier conjunto ${\displaystyle G\,}$ abierto en ${\displaystyle Y\,}$, el conjunto ${\displaystyle f^{-1}(G)=\{x\in X:f(x)\in G\}}$ es un conjunto abierto en ${\displaystyle X\,}$.

Con la misma notación, si ${\displaystyle x\in X}$, diremos que ${\displaystyle f\,}$ es continua en ${\displaystyle x\,}$ cuando se obtiene que ${\displaystyle \,f^{-1}(V)}$ es un entorno de ${\displaystyle x\,}$, cualquiera que sea el entorno ${\displaystyle V\,}$ de ${\displaystyle f(x)\,}$.

Es inmediato entonces comprobar que ${\displaystyle f\,}$ es continua cuando y solo cuando es continua en ${\displaystyle x\in X}$, cualquiera que sea este, es decir, cuando y solo cuando sea continua en cada uno de los puntos de su dominio.

Informalmente hablando, una aplicación es continua si transforma puntos que están cerca en puntos que están cerca, es decir, si respeta la "relación de cercanía". Esto además quiere decir que una función continua no "rompe" los que está unido y no "pega" lo que está separado.

Un conjunto se dice que es conexo si no puede expresarse como unión de dos abiertos disjuntos no vacíos.

Un conjunto ${\displaystyle X\,}$ se dice que es conexo por caminos si todo par de puntos puede unirse mediante un camino, esto es, ${\displaystyle \,\forall x,y\in X\quad \exists \phi$ :[0,1]\longrightarrow X} continua de tal manera que ${\displaystyle \,\phi (0)=x}$ y ${\displaystyle \,\phi (1)=y}$. Todo conjunto conexo por caminos es conexo, pero no todo conjunto conexo es conexo por caminos (ver, por ejemplo, el seno del topólogo).

Estos conjuntos están "hechos de una pieza" (los conexos) o "hechos de manera que no tienen piezas totalmente sueltas" (los conexos por caminos). Naturalmente esto es solo una manera de interpretarlos. Las piezas de un conjunto (los mayores subconjuntos conexos que contiene el conjunto) se denominan "componentes conexas". Por ejemplo, un puñado de arena sería un conjunto en el que las componentes conexas son cada granito de arena. Un espejo roto sería un conjunto en el que cada trozo de espejo es una componente conexa. Una bola de hierro es un conjunto con una sola componente conexa, es decir, un conjunto conexo. Una rejilla también es un conjunto conexo, formado por una sola componente conexa.

Existe otra noción de conexión, la conexión por arcos o arco conexión ligeramente más restrictiva que la conexión por caminos. Se exige que el camino sea un homeomorfismo sobre su imagen. Aun así, la conexión por arcos y por caminos coinciden sobre los espacios de Hausdorff.

Los conjuntos compactos son un tipo de conjunto mucho más difíciles de definir. Un espacio es compacto si para todo recubrimiento por abiertos (familia de abiertos cuya unión contiene al espacio total X) existe subrecubrimiento finito (familia finita de abiertos, formada solo por conjuntos de la familia anterior, cuya unión contiene a X).

En un espacio métrico, un conjunto compacto cumple dos condiciones: es "cerrado", es decir contiene a todos sus puntos frontera; y es "acotado", es decir es posible trazar una bola que lo contenga, aunque la recíproca no es necesariamente cierta. Es decir, pueden existir conjuntos cerrados y acotados que no sean compactos. La compacidad es una propiedad muy importante en topología, así como en Geometría y en Análisis Matemático.

En cualquier espacio topológico, un conjunto cerrado dentro de un compacto, siempre es compacto. Además, en un espacio topológico de Hausdorff, un compacto siempre es cerrado.

Una topología sobre un conjunto es metrizable si es posible encontrar una distancia de forma que los abiertos para esa distancia sean exactamente los abiertos de la topología de partida. La metrizabilidad es también una propiedad muy deseable en un espacio topológico, pues nos permite dar una caracterización muy sencilla de los abiertos de la topología, además de implicar otras ciertas propiedades.

Las propiedades de separación son ciertas propiedades, cada una un grado más restrictiva que la anterior, que nos indican la "resolución" o "finura del grano" de una topología. Por ejemplo, la propiedad de separación T2 significa que para dos puntos distintos siempre pueden encontrarse entornos disjuntos (es decir que no se cortan).

Un conjunto es denso en el espacio si está "cerca de todos los puntos" de ese espacio. De manera más precisa, un conjunto es denso si su clausura topológica es todo el espacio. Equivalentemente, un conjunto es denso si su intersección con cualquier abierto no vacío del espacio es también no vacía. Un conjunto se dice que es separable si tiene algún subconjunto denso y numerable.

La topología producto nos proporciona una manera de dotar de una topología al producto cartesiano de varios espacios topológicos, de tal manera que se conserven buenas propiedades, en particular que las proyecciones sobre cada factor sean aplicaciones continuas y abiertas. La topología cociente nos proporciona una manera de dotar de una topología al cociente (espacio de clases) de un espacio por una relación de equivalencia, de manera que tenga el mayor número posible de conjuntos abiertos y sin embargo la proyección sea continua (es decir la imagen recíproca de cada abierto sea un abierto).