Liste de suites de nombres premiers

Premier ${\displaystyle p_{n}}$ tel que ${\displaystyle \forall i=1,\ldots ,n-1\quad p_{n}^{2}>p_{n-i}~p_{n+i}}$, où ${\displaystyle p_{k}}$désigne le ${\displaystyle k}$-ième nombre premier.

Eric Weisstein propose d'appeler « nombre presque carré » un nombre de la forme ${\displaystyle n^{2}-k}$ (où, implicitement, ${\displaystyle n}$ et ${\displaystyle k}$ sont des entiers relatifs non nuls), et donne des liens vers l'OEIS, pour ${\displaystyle k}$ compris entre –5 et 5, pour ces suites de nombres, et pour les sous-suites de ceux qui sont premiers[2].

L'OEIS contient également des listes pour ${\displaystyle k}$ de –6 à –11 ( A056909,  A079138,  A138338,  A138353,  A138355 et  A138362) et de 6 à 8 ( A028880,  A028883 et  A028886).

Exemples

• Le seul nombre premier de la forme ${\displaystyle n^{2}-1}$ est 3 et le seul nombre premier de la forme ${\displaystyle n^{2}-4}$ est 5. Cela est dû au fait que 1 et 4 sont des carrés parfaits : ${\displaystyle n^{2}-c^{2}=(n-c)(n+c)}$ est un nombre premier si et seulement si ${\displaystyle n=c+1}$ et ${\displaystyle 2c+1}$ est premier.
• Pour ${\displaystyle k\geq 1}$, les nombres de Fermat ${\displaystyle 2^{2^{k}}+1}$, et même les nombres de Fermat généralisés ${\displaystyle a^{2^{k}}+1}$, sont de la forme ${\displaystyle n^{2}+1}$.
• Les nombres de Carol ${\displaystyle (2^{k}-1)^{2}-2}$ et les nombres de Kynea ${\displaystyle (2^{k}+1)^{2}-2}$ sont de la forme ${\displaystyle n^{2}-1}$.

Premier p tel que p + 2 est premier ou semi-premier (c'est-à-dire le produit de deux nombres premiers).

En 1966, Jingrun Chen a démontré qu'il existe une infinité de tels nombres premiers.

Premier de la forme ${\displaystyle {\frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}}}$[3] avec ${\displaystyle y}$ entier strictement positif et ${\displaystyle x}$ égal à ${\displaystyle y+1}$ ou à ${\displaystyle y+2}$.

Nombre premier situé à égale distance des premiers précédent et suivant.

Pour tout entier ${\displaystyle n\geq 1}$, le ${\displaystyle n}$-ième nombre fortuné (suite A005235 de l'OEIS) est l'entier ${\displaystyle m}$ défini par : ${\displaystyle p_{n}\#+m}$ est le plus petit nombre premier strictement supérieur au nombre d'Euclide ${\displaystyle p_{n}\#+1}$.

On conjecture que tout nombre fortuné est premier.

Pour tout premier ${\displaystyle p>3}$, le numérateur du n-ième nombre harmonique ${\displaystyle H_{n}}$ est divisible par ${\displaystyle p}$ au moins pour les trois valeurs ${\displaystyle n=p-1}$, ${\displaystyle n=p^{2}-p}$ et ${\displaystyle n=p^{2}-1}$. Le nombre premier p est dit harmonique si ces trois valeurs sont les seules.

Les nombres premiers harmoniques sont 5, 13, 17, 23, 41, 67, etc. (suite A092101 de l'OEIS). On conjecture qu'il en existe une infinité[4]^,[5].

Premier ${\displaystyle p}$ pour lequel ${\displaystyle p-1}$ divise le carré du produit de tous les nombres premiers de Higgs inférieurs.

Premier ${\displaystyle p}$ tel que dans une base donnée ${\displaystyle b}$ non divisible par ${\displaystyle p}$, l'entier ${\displaystyle {\frac {b^{p-1}-1}{p}}}$ soit cyclique.

Premier ${\displaystyle p}$ pour lequel il existe des entiers ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ tels que ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+p^{2}=3xyp}$.

Premier ${\displaystyle p}$ pour lequel il existe un entier ${\displaystyle n}$ tel que ${\displaystyle p}$ divise ${\displaystyle n!+1}$ et ${\displaystyle n}$ ne divise pas ${\displaystyle p-1}$.

Le n-ième nombre premier de Ramanujan est le plus petit entier à partir duquel la fonction « nombre de nombres premiers entre ${\displaystyle {\frac {x}{2}}}$ et ${\displaystyle x}$ » est minorée par ${\displaystyle n}$.

Nombre premier ${\displaystyle p>2}$ ne divisant pas le nombre de classes du corps cyclotomique ℚ(ζ_p). Les nombres premiers impairs non réguliers sont dits irréguliers.

Premier ${\displaystyle p}$ tel que ${\displaystyle 2p+1}$ soit aussi premier, ce dernier étant alors appelé un nombre premier sûr.

Premier qui n'est pas de la forme ${\displaystyle p+2b^{2}}$ avec ${\displaystyle p}$ premier et ${\displaystyle b}$ entier non nul. Les huit connus (2, 3, 17, 137, 227, 977, 1187, 1493) sont peut-être les seuls.

Premier correspondant à une courbe elliptique ayant des propriétés exceptionnelles.

Il en existe exactement quinze : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 et 71.

Premier ${\displaystyle p}$ tel que ${\displaystyle {\frac {p-1}{2}}}$ soit aussi premier, ce dernier étant alors appelé un nombre premier de Sophie Germain.

Premier ${\displaystyle p}$ pour lequel la période du développement décimal de ${\displaystyle {\frac {1}{p}}}$ est unique (aucun autre premier ne donne la même).

Premier p dont le carré divise F(p – (p/5)). On ignore s'il en existe.

Une paire de nombres premiers ${\displaystyle q<p}$ est dite de Wieferich si q ^p–1 ≡ 1 (mod p²) et doublement de Wieferich si de plus p ^q–1 ≡ 1 (mod q²).

Premier p tel que p² divise (p – 1)! + 1.

On conjecture qu'il existe une infinité de nombres premiers de Wilson mais on n'en connaît que trois : 5, 13 et 563 (suite A007540 de l'OEIS).

Premier p pour lequel le coefficient binomial ${\displaystyle {2p-1 \choose p-1}}$ est congru à 1 mod p⁴.

On conjecture qu'il existe une infinité de nombres premiers de Wolstenholme mais on n'en connaît que deux : 16 843 et 2 124 679.

Dans cette section, les nombres sont exprimés en base dix.