Cómo encontrar el ángulo entre dos vectores

Los matemáticos y programadores gráficos a menudo necesitan hallar el ángulo entre dos vectores determinados. Por suerte, la fórmula para realizar este cálculo no requiere nada más avanzado que un producto escalar. Si bien es más fácil entender el razonamiento detrás de esto en dos dimensiones, se puede ampliar la fórmula hasta los vectores con cualquier número de componentes.

Parte 1

Parte 1 de 2:
Hallar el ángulo entre dos vectores

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Identifica los vectores. Anota toda la información que tienes concerniente a los dos vectores. Aquí asumiremos que solo tienes la definición del vector en términos de sus coordenadas dimensionales (también llamadas componentes).^{[1]
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Fuente de investigación} Si ya conoces la longitud de un vector (su magnitud), podrás omitir algunos de los pasos siguientes.
- Ejemplo: el vector bidimensional ${\overrightarrow {u}}$ = (2,2). Vector ${\overrightarrow {v}}$ = (0,3). Estos también pueden escribirse como ${\overrightarrow {u}}$ = 2i + 2j y ${\overrightarrow {v}}$ = 0i + 3j = 3j.
- Si bien nuestro ejemplo emplea vectores bidimensionales, las instrucciones indicadas más adelante abarcan vectores con cualquier número de componentes.
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Escribe la fórmula del coseno. Para hallar el ángulo θ entre dos vectores, comienza con la fórmula para hallar el coseno del ángulo. Puedes aprender esta fórmula en la siguiente sección del artículo o solo escríbela:^{[2]
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Fuente de investigación}
- cosθ = ( ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ ) / (|| ${\overrightarrow {u}}$ || || ${\overrightarrow {v}}$ ||)
- || ${\overrightarrow {u}}$ || significa "la longitud del vector ${\overrightarrow {u}}$ ".
- ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ es el producto escalar (o producto punto) de los dos vectores que se explica más adelante.
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Calcula la longitud de cada vector. Dibuja un triángulo rectángulo que parta desde el componente “x” del vector, su componente “y” y el vector mismo. El vector forma la hipotenusa del triángulo, así que para hallar su longitud usaremos el Teorema de Pitágoras. Como resultado, esta fórmula se extiende fácilmente a los vectores con cualquier número de componentes.^{[3]
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Fuente de investigación}
- ||u||² = u₁² + u₂². Si un vector tiene más de dos componentes, simplemente sigue sumando +u₃² + u₄² + ...
- Por lo tanto, para un vector bidimensional, ||u|| = √(u₁² + u₂²).
- En nuestro ejemplo, || ${\overrightarrow {u}}$ || = √(2² + 2²) = √(8) = 2√2. || ${\overrightarrow {v}}$ || = √(0² + 3²) = √(9) = 3.
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Calcula el producto escalar de los dos vectores. Probablemente ya hayas aprendido este método de multiplicación de vectores, también conocido como producto escalar.^{[4]
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Fuente de investigación} Para calcular el producto escalar en términos de componentes de vectores, multiplica los componentes en cada dirección y luego suma todos los resultados.^{[5]
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Fuente de investigación}
- Para los programas de gráficos por computadora, consulta la sección Consejos antes de continuar.
- En términos matemáticos, ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ = u₁v₁ + u₂v₂, donde u = (u₁, u₂). Si el vector tiene más de dos componentes, simplemente sigue sumando + u₃v₃ + u₄v₄...
- En nuestro ejemplo, ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ = u₁v₁ + u₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6. Este es el producto escalar del vector ${\overrightarrow {u}}$ y ${\overrightarrow {v}}$ .
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Reemplaza los resultados en la fórmula. Recuerda, cosθ = (( ${\overrightarrow {u}}$ ${\overrightarrow {u}}$ ; • ${\overrightarrow {v}}$ ${\overrightarrow {v}}$ ) / (|| ${\overrightarrow {u}}$ ${\overrightarrow {u}}$ || || ${\overrightarrow {v}}$ ${\overrightarrow {v}}$ ||). Ahora conoces el producto escalar y las longitudes de cada valor. Ingresa dichos resultados en esta fórmula para calcular el coseno del ángulo.
- En nuestro ejemplo, cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.
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Halla el ángulo con base en el coseno. Puedes utilizar la función acos o cos^-1 de tu calculadora para hallar el ángulo θ a partir de un valor cosθ conocido. Para algunos resultados, puedes resolver el ángulo en base al círculo unitario.
- En nuestro ejemplo, cosθ = √2 / 2. Escribe "arcos(√2 / 2)" en tu calculadora para hallar el ángulo. También puedes hallar el ángulo θ en el círculo unitario donde cosθ = √2 / 2. Esto se cumple para θ = ^π/₄ o 45º.
- Al unirlo todo, la fórmula final será: ángulo θ = arcoseno(( ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ ) / (|| ${\overrightarrow {u}}$ || || ${\overrightarrow {v}}$ ||))

Parte 2

Parte 2 de 2:
Definir la fórmula del ángulo

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Entiende el propósito de esta fórmula. Esta fórmula no se derivó de las reglas existentes. En lugar de eso, se creó como una definición del producto escalar de dos vectores y el ángulo entre ellos.^{[6]
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Fuente de investigación} Sin embargo, esta decisión no fue arbitraria. Si recordamos la geometría básica, podremos ver la razón por la que esta fórmula da lugar a definiciones intuitivas y útiles.
- Los ejemplos descritos más adelante utilizan vectores bidimensionales debido a que son los más intuitivos de utilizar. Los vectores con tres o más componentes tienen propiedades que se definen con una fórmula general muy similar.
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Revisa el Teorema del coseno. Toma un triángulo ordinario con el ángulo θ entre los lados a y b, y en el lado opuesto de c. El Teorema del coseno indica que c² = a² + b² -2abcos(θ). Esto se deriva de manera bastante sencilla de la geometría básica.^{[7]
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Fuente de investigación}
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Conecta dos vectores para formar un triángulo. Dibuja un par de vectores 2D en papel, vectores a&# 8407; y ${\overrightarrow {b}}$ , con el ángulo θ entre ellos. Dibuja un tercer vector entre ellos para formar un triángulo. En otras palabras, dibuja un vector c&#8407 como ${\overrightarrow {a}}$ + ${\overrightarrow {c}}$ = ${\overrightarrow {b}}$ . Este vector ${\overrightarrow {c}}$ = ${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ .^{[8]
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Fuente de investigación}
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Escribe el Teorema del coseno para este triángulo. Introduce la longitud de los lados de nuestro "triángulo vector" en el Teorema del coseno:
- ||(a - b)||² = ||a||² + ||b||² - 2||a|| ||b||cos(θ)
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Escríbela utilizando el producto escalar. Recuerda que un producto escalar es la magnificación de un vector que se proyecta en otro. El producto escalar de un vector por sí mismo no requiere ninguna proyección, pues no hay diferencia en la dirección.^{[9]
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Fuente de investigación} Esto significa que a&# 8407; • ${\overrightarrow {a}}$ ${\overrightarrow {a}}$ = ||a||². Utiliza esta información para reescribir la ecuación:
- ( ${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ ) • ( ${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ ) = ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ + ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - 2||a|| ||b||cos(θ)
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Reescríbela en la fórmula familiar. Expande el lado izquierdo de la fórmula y luego simplifica a fin de obtener la fórmula utilizada para hallar ángulos.
- ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ - ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ + ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ = ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ + ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - 2||a|| ||b||cos(θ)
- - ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ - ${\overrightarrow {b}}$ • ${\overrightarrow {a}}$ = -2||a|| ||b||cos(θ)
- -2( ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ ) = -2||a|| ||b||cos(θ)
- ${\overrightarrow {a}}$ • ${\overrightarrow {b}}$ = ||a|| ||b||cos(θ)

Consejos

Para reemplazar y resolver con rapidez la ecuación, emplea esta fórmula para cualquier par de vectores bidimensionales: cosθ = (u₁ • v₁ + u₂ • v₂) / (√(u₁² • u₂²) • √(v₁² • v₂²)).
Si trabajas en un programa de gráficos por computadora, lo más probable es que solo te preocupes por la dirección de los vectores y no por su longitud. Sigue estos pasos para simplificar las ecuaciones y acelerar tu programa:^{[10]
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Fuente de investigación}^{[11]
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Fuente de investigación}
- Normaliza cada vector para que la longitud sea 1. Para hacerlo, divide cada componente del vector por su longitud.
- Toma el producto escalar de los vectores normalizados en lugar de los vectores originales.
- Debido a que la longitud es igual a 1, deja los términos de la longitud fuera de tu ecuación. Tu ecuación final para el ángulo es arcos( ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ ).
Con base en la fórmula del coseno, podemos averiguar rápidamente si el ángulo es agudo u obtuso. Comienza con cosθ = ( ${\overrightarrow {u}}$ ${\overrightarrow {u}}$ • ${\overrightarrow {v}}$ ${\overrightarrow {v}}$ ) / (|| ${\overrightarrow {u}}$ ${\overrightarrow {u}}$ || || ${\overrightarrow {v}}$ ${\overrightarrow {v}}$ ||):
- El lado izquierdo y derecho de la ecuación deben tener el mismo signo (positivo o negativo).
- Dado que las longitudes siempre son positivas, el cosθ debe tener el mismo signo que el producto escalar.
- Por lo tanto, si el producto escalar es positivo, el cosθ es positivo. Estamos en el primer cuadrante del círculo unitario, con θ < π / 2 o 90º. El ángulo es agudo.
- Si el producto escalar es negativo, el cosθ es negativo. Estamos en el segundo cuadrante del círculo unitario, con π / 2 < θ ≤ π o 90º < θ ≤ 180º. El ángulo es obtuso.