Comment additionner ou soustraire des vecteurs

Informations concernant l'auteur.e

Nombre de quantités physiques sont des vecteurs ou des scalaires. Un vecteur est spécifié par sa norme (ou longueur), sa direction et son sens. Par définition, la norme est toujours positive, même si certaines composantes du vecteur sont négatives, le vecteur étant dans un plan orienté. Quant aux scalaires, ils s'expriment par une valeur numérique, parfois négative, et une unité de mesure. Sont des vecteurs des quantités physiques comme une force, une vitesse, une accélération, un déplacement, un poids, un champ magnétique… Sont des scalaires des quantités physiques comme une masse, une température, une distance, une énergie, une tension, une charge électrique, une pression à l'intérieur d'un fluide… Les scalaires s'additionnent et se soustraient comme n'importe quels nombres. Ainsi, dans le domaine de la mesure de l'énergie, on peut faire : 6 J + 5 J = 11 J, ou en électricité, 9 V - 3 V = 6 V… Avec les vecteurs, il n'en va pas de même, sauf peut-être pour les vecteurs colinéaires.

Méthode 1

Méthode 1 sur 3:
Additionner et soustraire des vecteurs (méthode algébrique)

1
Sachez qu'un vecteur se définit par ses composantes. Si le vecteur est dans un espace à 2 dimensions (plan), les composantes sont $x$ $x$ et $y$ $y$ , s'il est dans un espace à 3 dimensions, vient se rajouter la composante $z$ $z$ . Notez au passage qu'il existe des vecteurs dans des plans de dimension supérieure. Dans une base canonique, la notation de ces composantes vectorielles est assez similaire à celle des composantes des points dans un repère, seule la disposition change : ${\vec {u}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$ ${\vec {u}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$ . Dès lors, additionner et soustraire des vecteurs consiste simplement à additionner et soustraire leurs composantes.
- Il existe des vecteurs à 1, 2 ou 3 dimensions. En termes de composantes, ils ont respectivement une composante, par exemple $u_{1}$ , deux composantes $u_{1}$ et $u_{2}$ et enfin, trois composantes, $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ .
- Admettons que vous ayez deux vecteurs à trois dimensions, ${\vec {u}}$ et ${\vec {v}}$ . La notation se présente donc ainsi : ${\vec {u}}={\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{pmatrix}}$ et ${\vec {v}}={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}$ . Vous remarquerez le caractère logique de la notation.
2
Pour additionner deux vecteurs, additionnez leurs composantes. Additionnez les premières composantes de chacun des vecteurs et vous obtenez la première composante du vecteur résultant, puis faites la même chose avec les deuxième et troisième composantes. Présentez les composantes du vecteur résultant exactement sous la même forme matricielle.
- La somme ${\vec {u}}+{\vec {v}}$ donne un vecteur résultant dont les composantes sont les suivantes : ${\begin{pmatrix}u_{1}+v_{1}\\u_{2}+v_{2}\\u_{3}+v_{3}\end{pmatrix}}$ .
- Prenons un exemple concret, la base étant canonique. Soit le vecteur ${\vec {u}}={\begin{pmatrix}5\\9\\-10\end{pmatrix}}$ et le vecteur ${\vec {v}}={\begin{pmatrix}17\\-3\\-2\end{pmatrix}}$ , la somme des vecteurs se présente comme suit : ${\vec {u}}+{\vec {v}}={\begin{pmatrix}5+17\\9+(-3)\\-10+(-2)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}22\\6\\-12\end{pmatrix}}$ .
3
Pour soustraire deux vecteurs, soustrayez leurs composantes. Soustraire un vecteur d'un autre ( ${\vec {u}}-{\vec {v}}$ ${\vec {u}}-{\vec {v}}$ ) revient aussi à ajouter le vecteur opposé, c'est-à-dire ${\vec {u}}+(-{\vec {v}})$ ${\vec {u}}+(-{\vec {v}})$ .
- La différence ${\vec {u}}-{\vec {v}}$ donne un vecteur de composantes ${\begin{pmatrix}u_{1}-v_{1}\\u_{2}-v_{2}\\u_{3}-v_{3}\end{pmatrix}}$ .
- Prenons un exemple concret, la base étant canonique. Soit le vecteur ${\vec {u}}={\begin{pmatrix}18\\5\\3\end{pmatrix}}$ et le vecteur ${\vec {v}}={\begin{pmatrix}10\\9\\-10\end{pmatrix}}$ , la soustraction des vecteurs se présente comme suit : ${\vec {u}}-{\vec {v}}={\begin{pmatrix}18-10\\5-9\\3-(-10)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}8\\-4\\13\end{pmatrix}}$ .
Publicité

Méthode 2

Méthode 2 sur 3:
Construire géométriquement la somme de deux vecteurs

1
Représentez les vecteurs par des flèches. Un vecteur est identifié par sa norme, sa direction et son sens, il est donc représenté par un segment orienté. En fait, pour tracer un vecteur dont on connait les composantes, il faut un point origine quelconque auquel on applique les composantes : un vecteur a donc une origine et une extrémité.
- Lors du traçage des vecteurs, vous devez faire attention à la longueur des vecteurs (échelle) et à mettre les bons angles pour respecter la direction. Si vous vous trompez, vous allez obtenir graphiquement des résultats faux.
2
Additionnez graphiquement deux vecteurs. Tracez le premier vecteur ( ${\vec {u}}$ ${\vec {u}}$ ) normalement, puis, à l'extrémité de ce vecteur, tracez le second vecteur ( ${\vec {v}}$ ${\vec {v}}$ ) en conservant ses données : c'est ce que l'on appelle un « transport parallèle ». S'il y avait un troisième vecteur, vous procèderiez de la même façon, depuis l'extrémité du deuxième vecteur.
- Comme pour les nombres, l'addition est commutative pour les vecteurs, ce qui revient à écrire que : ${\vec {u}}+{\vec {v}}={\vec {v}}+{\vec {u}}$ .
3
Sachez soustraire graphiquement deux vecteurs. En fait, il convient d'ajouter le vecteur opposé. Du second vecteur, vous devez conserver la norme et la direction, mais vous devez inverser le sens. Bien entendu, vous partez toujours de l'extrémité du premier vecteur. C'est comme si vous aviez fait faire à votre second vecteur une rotation de 180°.
4
Sachez faire une somme ou une soustraction de plusieurs vecteurs. Vous opèrerez toujours de la même façon, en partant à chaque nouveau vecteur de l'extrémité du vecteur précédent. L'addition étant commutative, vous pouvez tracer les vecteurs (3 comme 50) dans l'ordre que vous voulez : vous arriverez toujours au même résultat.
5
Tracez le vecteur résultant. La somme, comme la soustraction, de plusieurs vecteurs est un vecteur que l'on appelle résultant. Graphiquement, ce dernier vecteur s'obtient en traçant un vecteur depuis l'origine du premier vecteur tracé jusqu'à l'extrémité du dernier vecteur tracé. Si vous avez fait la partie précédente, vous verrez que les composantes de l'extrémité sur le graphique sont la somme des différentes composantes respectives.
- Si vous avez bien respecté toutes les données (échelle pour les normes, les directions et les sens), vous pourrez mesurer exactement la norme du vecteur résultant, ainsi que l'angle qu'il fait avec la verticale ou l'horizontale, ce qui vous donnera la direction.
- Si vous ne tracez pas les vecteurs à l'échelle, vous allez devoir calculer la longueur du vecteur résultant à l'aide de certaines fonctions trigonométriques, comme le sinus ou le cosinus. Si vous devez faire la somme de plusieurs vecteurs, il convient d'additionner les deux premièrs, puis de faire la même chose avec le vecteur résultant et le troisième vecteur, etc.
6
Tracez le vecteur résultant en respectant sa longueur et sa direction. Tout vecteur est défini par une longueur (ou norme), une direction et un sens. Comme cela a été dit, si vous avez fait un tracé parfait, respectueux de toutes les données, votre vecteur résultant a pour norme, sa longueur, et pour direction, l'angle qu'il fait avec un des axes orthogonaux. Les unités de départ des vecteurs (longueur et direction) sont conservées pour le vecteur résultant.
- Ainsi, si vous additionnez des vitesses (lesquelles sont des vecteurs) données en $m.s^{-1}$ avec des angles (par exemple, par rapport à l'horizontale) en degrés, la vitesse résultante sera aussi en $m.s^{-1}$ et l'angle résultant sera en degrés, toujours par rapport à l'horizontale.
Publicité

Méthode 3

Méthode 3 sur 3:
Additionner des vecteurs en trouvant les composantes

1
Trouvez les composantes du vecteur. Pour cela, vous devez en passer par la trigonométrie. Vous pourrez trouver les composantes d'un vecteur à condition d'avoir sa norme et sa direction par rapport à l'horizontale ou la verticale. Prenons pour commencer et faire simple, un vecteur du plan. Tout vecteur de ce type peut être considéré comme l'hypoténuse d'un triangle rectangle, dont l'un des deux autres côtés est parallèle à l'axe des « x », et l'autre côté, à celui des « y» : c'est comme si votre vecteur était le vecteur résultant de ces deux vecteurs.
- Les longueurs de ces deux vecteurs imaginaires sont proportionnelles à la longueur du vecteur dont on se propose de trouver les composantes. Si la longueur du vecteur est x, le côté adjacent à l'angle du vecteur (par rapport à un des deux axes) a pour longueur xcos(θ), tandis que le côté opposé à ce même angle a pour longueur xsin(θ).
- Faites attention à l'orientation de vos vecteurs. Si un vecteur pointe dans une direction négative, il aura une ou plusieurs composantes négatives. Ainsi, dans un plan, une composante qui s'inscrit à gauche ou en bas du repère se verra attribuer un signe négatif.
- Prenons l'exemple d'un vecteur d'une longueur de 3, ayant un angle de 135° par rapport à l'horizontale. Sachant cela, vous pouvez déterminer que la première composante est : 3cos(135°), soit -2,12, tandis que la seconde composante est : 3sin(135°), soit 2,12.
2
Ajoutez ou soustrayez les composantes de vos vecteurs. Une fois tous les vecteurs identifiés par leurs composantes, il suffit de les additionner ou de les soustraire comme on l'a vu dans la première partie. Si vous avez plusieurs vecteurs à additionner, ajoutez toutes les premières composantes, celles parallèles à l'axe des « x ». Dans le même ordre d'idées, faites la même chose avec les secondes composantes, celles parallèles à l'axe des « y ». Très logiquement, si une des composantes a un signe négatif, sa valeur sera soustraite. La juxtaposition des deux résultats est les composantes du vecteur de départ.
- Pour illustration, reprenons le vecteur précédent dont les composantes étaient ${\begin{pmatrix}-2,12\\2,12\end{pmatrix}}$ , on lui ajoute le vecteur ${\begin{pmatrix}5,78\\-9\end{pmatrix}}$ . Le vecteur résultant a alors pour composantes : ${\begin{pmatrix}-2,12+5,78\\2,12-9\end{pmatrix}}$ , soit ${\begin{pmatrix}3,66\\-6,88\end{pmatrix}}$ .
3
Calculez la longueur d'un vecteur avec le théorème de Pythagore. Le théorème de Pythagore pose que, dans un triangle rectangle, $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ , $c$ $c$ étant le côté le plus long (hypoténuse), et $a$ $a$ et $b$ $b$ , les deux autres côtés. La longueur d'un vecteur résultant est l'hypoténuse d'un triangle rectangle formé par celle-ci et les longueurs des deux composantes Dans ce contexte, $c$ $c$ est la longueur du vecteur résultant, $a$ $a$ , la longueur de la première composante et $b$ $b$ , celle de la seconde.
- Pour trouver la longueur du vecteur étudié précédemment, dont les composantes sont, ${\begin{pmatrix}3,66\\-6,88\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}3,66\\-6,88\end{pmatrix}}$ , il suffit d'utiliser le théorème de Pythagore. Les calculs se présentent comme suit :
  - $c^{2}=(3,66)^{2}+(-6,88)^{2}$
  - $c^{2}=13,40+47,33=60,73$
  - $c={\sqrt {60,73}}=7,79$
4
Calculez la direction du vecteur résultant avec la fonction tangente. Après avoir déterminé la norme du vecteur, il lui faut sa direction, soit l'angle ( $\theta$ $\theta$ ) avec l'horizontale. Il existe pour cela une formule : $\theta =\arctan(b/a)$ $\theta =\arctan(b/a)$ , dans laquelle $\theta$ $\theta$ est l'angle formé par le vecteur résultant avec l'axe des abscisses, $b$ $b$ est la longueur de la seconde composante et $a$ $a$ , celle de la première, la nomenclature ne devant pas être changée sans quoi le résultat serait faux.
- Pour reprendre l'exemple précédent, vous partirez de la formule $\theta =\arctan(b/a)$ $\theta =\arctan(b/a)$ , ce qui donne :
  - $\theta =\arctan(-6,88/3,66)$
  - $\theta =\arctan(-1,88)$
  - $\theta =-61,99^{\circ }$
5
Tracez le vecteur résultant en respectant sa longueur et sa direction. Tout vecteur est défini par une longueur (ou norme), une direction et un sens. Faites attention à bien utiliser les mêmes unités que celles attribuées aux vecteurs de départ.
- Ainsi, si dans notre exemple, nous évoquions en fait une force (c'est un vecteur) exprimée en newtons (N), alors vous pourriez écrire que la force résultante est une force de 7,79 N, selon un angle de -61,99° par rapport à l'horizontale.
Publicité

Conseils

Pour trouver la longueur d'un vecteur dans un espace à trois dimensions, vous devez utiliser la formule : $a^{2}=b^{2}+c^{2}+d^{2}$ , dans laquelle $a$ est la longueur du vecteur, tandis que $b$ , $c$ et $d$ sont les composantes de chacune des directions.
Les vecteurs peuvent être présentés sous la forme unitaire : xi + yj + zk. Si vous devez en additionner deux ou plus, il suffit d'additionner ou de soustraire les coefficients des mêmes vecteurs unitaires et bien entendu, la réponse serait présentée sous cette même forme unitaire.
Présentées sous forme matricielle, les composantes des vecteurs s'additionnent (ou se soustraient) ligne par ligne.
Un vecteur ne saurait se résumer à sa seule longueur, ce serait même une erreur mathématique.
Des vecteurs ayant la même direction s'additionnent ou se soustraient simplement en additionnant ou soustrayant leurs longueurs respectives. Si vous additionnez deux vecteurs dont les directions sont opposées, leurs longueurs sont soustraites l'une de l'autre.

Comment additionner ou soustraire des vecteurs

Étapes

Méthode 1

Méthode 1 sur 3:
Additionner et soustraire des vecteurs (méthode algébrique)

Méthode 2

Méthode 2 sur 3:
Construire géométriquement la somme de deux vecteurs

Méthode 3

Méthode 3 sur 3:
Additionner des vecteurs en trouvant les composantes

Conseils

wikiHows en relation

À propos de ce wikiHow

Articles en relation

Abonnez-vous à la newsletter gratuite de wikiHow !

Comment additionner ou soustraire des vecteurs

Étapes

Méthode 1 Méthode 1 sur 3:Additionner et soustraire des vecteurs (méthode algébrique)

Méthode 2 Méthode 2 sur 3:Construire géométriquement la somme de deux vecteurs

Méthode 3 Méthode 3 sur 3:Additionner des vecteurs en trouvant les composantes

Conseils

wikiHows en relation

À propos de ce wikiHow

Articles en relation

Abonnez-vous à la newsletter gratuite de wikiHow !

Méthode 1

Méthode 1 sur 3:
Additionner et soustraire des vecteurs (méthode algébrique)

Méthode 2

Méthode 2 sur 3:
Construire géométriquement la somme de deux vecteurs

Méthode 3

Méthode 3 sur 3:
Additionner des vecteurs en trouvant les composantes