Comment calculer la longueur de l'hypoténuse

Tous les triangles rectangles ont un angle droit (à 90 degrés) et une hypoténuse qui est le côté opposé à cet angle ^{[1]
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Source de recherche}. Cette hypoténuse est le plus long des trois côtés. Le calcul de sa longueur peut se faire de différentes façons. Dans cet article, vous apprendrez à calculer l'hypoténuse en utilisant le théorème de Pythagore si vous connaissez la longueur des deux autres côtés. Vous apprendrez ensuite à calculer l'hypoténuse à l'aide d'un triplet pythagoricien, méthode qu'on peut souvent utiliser lors de contrôles sur table. Enfin, on calculera l'hypoténuse en utilisant la loi des sinus dans le cas où vous n'avez qu'une seule longueur de côté et un seul angle.

Méthode 1

Méthode 1 sur 3:
Utiliser le théorème de Pythagore

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Apprenez le théorème de Pythagore. Le théorème de Pythagore décrit la relation qui existe entre les trois côtés d'un triangle rectangle ^{[2]
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Source de recherche}. Il pose que, pour un triangle rectangle dont les côtés adjacents à l'angle droit sont a et b et l'hypoténuse est c, on a : a² + b² = c² ^{[3]
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Source de recherche}.
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Assurez-vous que vous avez bien affaire à un triangle rectangle. Le théorème de Pythagore, tant redouté des élèves et pourtant si simple, ne s'applique qu'aux triangles rectangles et seuls ces triangles ont une hypoténuse. Si votre triangle a un angle droit parfait, alors il est rectangle et vous pouvez appliquer le théorème.
- L'angle droit est traditionnellement symbolisé sur une figure par un petit carré. Ce dernier indique qu'on a là un angle à 90 degrés.
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On nomme traditionnellement les trois côtés du triangle, a, b et c. L'appellation c est réservée à la seule hypoténuse, c'est le plus long des trois côtés. Les deux autres côtés sont notés a et b. Peu importe lequel est a ou b, cela ne change rien à la formule, car l'addition est commutative (on peut intervertir les éléments de l'opération). Remplacez dans la formule a et b par leurs vraies valeurs.
- Ainsi, si votre triangle a un côté de 3 unités et un autre de 4, a vaudra 3 (a = 3) et b vaudra 4 (b = 4). La formule se présente alors ainsi : 3² + 4² = c².
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Élevez a et b au carré. L'élévation au carré d'une valeur consiste à multiplier cette valeur par elle-même. Ainsi, a² = a x a. Élevez a et b au carré et mettez ces valeurs dans la formule.
- Si a = 3, alors a² = 3 x 3, soit 9. Si b = 4, alors b² = 4 x 4, soit 16.
- Après avoir remplacé a² et b² dans la formule par leurs valeurs, on obtient : 9 + 16 = c².
CONSEIL D'EXPERT(E)

Grace Imson, MA
Professeure de mathématiques au City College of San Francisco
Grace Imson est une professeure de mathématiques ayant plus de 40 ans d'expérience dans l’enseignement. Grace exerce actuellement au City College de San Francisco. Auparavant, elle était professeure au département de mathématiques de l'université Saint-Louis. Elle a enseigné cette discipline aux niveaux primaire, intermédiaire, secondaire et universitaire. Elle est titulaire d'un master en éducation avec une spécialisation en administration et supervision, délivré par l'université Saint-Louis.

Grace Imson, MA
Professeure de mathématiques au City College of San Francisco

Il est courant d'oublier d'élever les termes au carré. Dans le théorème de Pythagore, les trois termes sont au carré. Beaucoup de personnes vont trop vite et oublient cette opération avant de faire la somme des termes a et b. C'est la raison pour laquelle ils ne trouvent pas la bonne réponse.
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Faites la somme a² + b². Modifiez la formule et vous obtenez la valeur de c². Il ne restera plus qu'une chose à faire pour obtenir la longueur de l'hypoténuse : extraire la racine carrée !
- Dans notre exemple, 9 + 16 = 25, ce qui nous donne : c² = 25.
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Calculez la racine carrée de c². Utilisez la fonction « racine carrée » de votre calculatrice (ou votre mémoire, si la racine est simple) pour trouver la racine carrée de c². Le résultat sera la longueur de l'hypoténuse !
- Dans notre exemple, c² = 25. La racine carrée de 25 est 5 (en effet, 5 x 5 = 25). On a donc : √(25) = 5. L'hypoténuse de notre triangle est de 5 unités !
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Méthode 2

Méthode 2 sur 3:
Calculer l'hypoténuse avec un triplet pythagoricien

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Sachez ce qu'est un triplet pythagoricien. C'est un triplet (x, y, z) d'entiers naturels non nuls vérifiant la relation de Pythagore. Ces triangles particuliers reviennent fréquemment dans les exercices scolaires ou universitaires et lors des contrôles. C'est pourquoi il est recommandé d'en mémoriser quelques-uns afin de gagner un temps précieux. Ainsi, si vous voyez un de ces triangles pythagoriciens, vous trouverez très rapidement la longueur de l'hypoténuse ou d'un autre côté. Il suffit d'y penser le moment venu ^{[4]
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Source de recherche} !
- Le premier triplet pythagoricien est (3, 4, 5) (on vérifie que : 3² + 4² = 5², 9 + 16 = 25). Si vous avez un triangle rectangle avec deux côtés, l'un de 3 et l'autre de 4, vous savez instantanément que l'hypoténuse est 5, sans qu'il soit nécessaire de faire le moindre calcul.
- Tout triplet issu de multiples vérifie la relation de Pythagore. Ainsi, avec un triangle rectangle ayant deux côtés, l'un de 6 et l'autre de 8, vous avez une hypoténuse de 10 (6² + 8² = 10², soit 36 + 64 = 100). Le triplet (6, 8, 10) est pythagoricien. Cela est également vrai avec le triplet multiple (9, 12, 15) ou sous-multiple (1,5, 2, 2,5). Vous pouvez vérifier !
- Le second triplet pythagoricien qu'on retrouve fréquemment est (5, 12, 13) (on vérifie que : 5² + 12² = 13², 25 + 144 = 169). Dans le même genre, on trouve les triplets (10, 24, 26) et (2,5, 6, 6,5), qui sont respectivement multiple (x 2) et sous-multiples (/ 2) du triplet premier.
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Mémorisez le rapport des côtés d'un triangle rectangle « 45° - 45° - 90° ». Un triangle ayant deux angles de 45° et un de 90° est dit « rectangle isocèle » (deux des côtés sont égaux). C'est une figure qu'on rencontre fréquemment dans les exercices scolaires. Les calculs avec ce triangle sont assez simples. Le rapport des trois côtés d'un tel triangle est : 1 : 1 : √(2). Dit autrement, deux côtés sont égaux et l'hypoténuse est d'une longueur égale à racine de 2 fois la longueur d'un des côtés.
- Pour calculer l'hypoténuse de ce triangle dont deux côtés sont égaux, il suffit de multiplier le côté en question par √(2) ^{[5]
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  Source de recherche}.
- Ce rapport est certes très utile dans un exercice concret avec des valeurs numériques, mais il est encore plus intéressant quand on travaille sur un exercice avec des expressions littérales.
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Retenez le rapport des longueurs des côtés d'un triangle « 30°-60°-90° ». Un tel triangle est en fait la moitié d'un triangle équilatéral. Le ratio des côtés de ces triangles est le suivant : 1 : √(3) : 2 ou plus généralement x : √(3)x : 2x. Si on vous donne un des côtés de ce genre de triangle, il sera alors facile de calculer la longueur des deux autres côtés, dont l'hypoténuse. C'est presque un jeu d'enfant ^{[6]
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Source de recherche} !
- Si vous connaissez la longueur du plus petit côté (situé à l'opposé de l'angle à 30 degrés), multipliez cette longueur par 2 pour obtenir la longueur de l'hypoténuse. Ainsi, si le plus petit côté est de 4, l'hypoténuse sera de 8 (4 x 2).
- Si vous connaissez la longueur du plus grand côté (situé à l'opposé de l'angle à 60 degrés), multipliez cette longueur par 2/√(3) pour obtenir la longueur de l'hypoténuse. Ainsi, si le plus grand côté est de 4, l'hypoténuse sera de 4,62 (4 x 2/√(3)).
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Méthode 3

Méthode 3 sur 3:
Calculer l'hypoténuse avec la loi des sinus

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Sachez ce qu'est un sinus. Les termes de « sinus », « cosinus » et « tangente » font référence, dans un triangle rectangle ou non, à des rapports entre les angles et les côtés associés. Dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle se calcule en divisant la longueur du côté opposé à cet angle par l'hypoténuse du triangle. Sur les calculatrices, il existe une touche de calcul du sinus marquée… sin ^{[7]
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Source de recherche}.
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Apprenez à calculer un sinus. Aujourd'hui, toutes les calculatrices scientifiques comportent une touche pour calculer automatiquement les sinus. Elle porte l'inscription sin. Selon le modèle, on tape soit sur la touche sin, puis on entre l'angle, ou on entre d'abord l'angle, puis on appuie sur la touche sin. Testez l'une des deux méthodes ou consultez la notice d'utilisation de votre calculatrice.
- Pour trouver le sinus de 80°, vous devez soit appuyer sur la touche sin, puis taper « 80 » et enfin, appuyer sur la touche « = », soit taper « 80 », puis appuyer sur la touche sin. Dans les deux cas, la réponse sera la même : - 0,9939.
- Si vous n'avez pas de calculatrice, allez sur un moteur de recherches et tapez la requête « calculatrice sinus ». Vous allez avoir plusieurs sites, très simples d'emploi, qui vont vous faciliter la vie ^{[8]
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  Source de recherche}.
3
Connaissez la loi des sinus. Elle est très utile pour travailler sur les triangles. Elle permet, entre autres, de calculer l'hypoténuse d'un triangle rectangle si vous connaissez la longueur d'un des côtés et la valeur de l'angle associé, étant entendu qu'il y a déjà un angle droit. Soit un triangle dont les côtés sont a, b et c et les angles associés α, β et γ, la loi des sinus établit que : a / sin(α) = b / sin(β) = c / sin(γ) ^{[9]
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Source de recherche}.
- La loi des sinus s'applique à tous les triangles, mais seuls les triangles rectangles ont une hypoténuse.
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Assignez à chaque côté un nom, traditionnellement a, b et c. L'hypoténuse (côté le plus long) est toujours c. Traditionnellement, le côté dont on connait la valeur est affecté de la lettre a, tandis que le dernier côté est appelé b. Assignez ensuite à chaque angle un nom, traditionnellement α, β et γ. L'angle opposé à l'hypoténuse est toujours γ, celui opposé au côté a est l'angle α et l'angle opposé au côté b est β.
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Calculez la valeur du troisième angle. Vous avez déjà un angle droit, γ = 90 degrés et vous connaissez un des deux autres angles, α ou β. Sachant que la somme des mesures des angles d'un triangle est toujours de 180 degrés, vous pouvez trouver le troisième angle en utilisant la formule suivante : β = 180 – (90 + α) ou, ce qui revient exactement au même, α = 180 – (90 + β).
- Ainsi, si vous savez que α = 40 degrés, alors β = 180 – (90 + 40). Faites les calculs à l'intérieur de la parenthèse et vous obtenez : β = 180 – 130, soit β = 50 degrés.
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Observez votre triangle. Vous connaissez maintenant les valeurs des trois angles et la longueur du côté a. C'est plus que suffisant pour déterminer la longueur de chacun des deux autres côtés. Il suffit pour cela de passer à l'application numérique en reprenant l'équation établie dans la loi des sinus.
- Si on reprend notre exemple, posons que a = 10 unités, que l'angle γ est de 90 degrés, l'angle α est de 40 degrés et β, de 50 degrés.
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Appliquez simplement la loi des sinus à votre triangle. Il suffit dans un premier temps de remplacer les lettres de la formule théorique par les valeurs que vous avez en votre possession, puis de faire les calculs pour déterminer la longueur de l'hypoténuse c : longueur du côté a / sin(α) = longueur du côté c / sin(γ). Cela peut paraitre un peu compliqué, mais il n'en est rien, car sin(90) est une constante et vaut…1 ! Ainsi donc, l'équation se présente simplifiée : a / sin(α) = c / 1 ou encore a / sin(α) = c.
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Trouvez l'hypoténuse en divisant la longueur du côté a par le sinus de l'angle α. Il faut opérer en deux temps : on calcule en premier sin(α), que l'on va inscrire, puis on divise la longueur a par ce résultat obtenu. Si votre machine gère les parenthèses, vous pouvez tout entrer d'un coup. Vous pouvez, par exemple, taper : 10 / (sin(40)) ou 10 / (40 sin), cela dépendra du fonctionnement de votre calculatrice.
- Dans notre exemple, on trouve que sin(40) = 0,64278761. Pour trouver c, il suffit de diviser la longueur par ce résultat : 10 / 0,64278761 = 15,6. C'est la longueur de votre hypoténuse !
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