Comment avoir 20 sur 20 en géométrie

Faites connaissance avec Euclide. Ce savant Grec de l'Antiquité est l'auteur de cinq postulats sur lesquels l'ensemble de la géométrie repose ^[3] . Si vous connaissez et comprenez bien ces cinq axiomes, vous débuterez la géométrie en ayant déjà de bonnes bases.

• 1. Un segment de droite peut être tracé en joignant deux points distincts.
• 2. Un segment de droite peut être prolongé indéfiniment en une ligne droite.
• 3. Étant donné un segment de droite quelconque, un cercle peut être tracé en prenant ce segment comme rayon et l'une de ses extrémités comme centre.
• 4. Tous les angles droits sont congruents (égaux).
• 5. Dans un plan, par un point distinct d'une droite, il existe une et une seule droite parallèle à cette droite.

Apprivoisez les symboles géométriques. Quand on aborde pour la première fois cette matière, on a souvent le sentiment d'être submergé par le nombre de symboles différents. Faites connaissance avec eux pour être en mesure de les reconnaitre au premier coup d'œil. Vous en croiserez certains très fréquemment ^[4] .

• On utilise un petit symbole en forme de triangle pour faire référence aux propriétés d'un triangle.
• On utilise un petit symbole en forme d'angle pour faire référence aux propriétés d'un angle.
• Les lettres surmontées d'une barre font référence aux propriétés d'un segment de droite.
• Les lettres surmontées d'une barre qui se termine par deux flèches font référence aux propriétés d'une droite.
• Le symbole formé d'une barre horizontale au milieu de laquelle repose une barre verticale signifie que deux droites sont perpendiculaires.
• Deux traits côte à côte représentent deux droites parallèles.
• Un signe égal avec un trait ondulé sur le dessus signifie que deux figures sont congruentes.
• Un trait ondulé signifie que deux figures sont semblables.
• Trois points disposés en forme de triangle veulent dire « par conséquent ».

Familiarisez-vous avec les propriétés des droites. La droite est définie comme étant une ligne rectiligne et illimitée dans les deux sens. Lorsque l'on trace une droite, on la termine toujours par une flèche pour signifier qu'elle se poursuit à l'infini. À l'inverse, le segment de droite est limité par un point à chacune de ses extrémités. Il existe également des demi-droites qui ont pour particularité de se poursuivre à l'infini uniquement d'un côté. Les droites et les segments peuvent être parallèles, perpendiculaires ou bien se croiser ^[5] .

• Deux droites parallèles ne se croisent jamais.
• L'intersection entre deux droites perpendiculaires forme un angle à 90 degrés.
• Deux droites ou segments de droite qui forment une intersection se croisent, ce qui implique qu'ils ne peuvent pas être parallèles. En revanche, ils peuvent être perpendiculaires l'un à l'autre.

Découvrez les différents types d'angles. Il existe trois sortes d'angles : les angles droits, les angles obtus et les angles aigus. Les angles aigus sont ceux qui mesurent moins de 90 degrés, les angles obtus, ceux qui font plus de 90 degrés, et les angles droits mesurent très exactement 90 degrés. Ces notions sont importantes en géométrie.

• Retenez que les deux droites qui délimitent un angle à 90 degrés sont toujours perpendiculaires.

Utilisez le théorème de Pythagore. Il s'agit d'un théorème qui dit que a² + b² = c². Grâce à cette formule, si l'on connait les longueurs de deux des côtés d'un triangle rectangle, on peut calculer la longueur du troisième. Un triangle est rectangle si l'un de ses angles mesure 90 degrés. Dans cette formule, « c » est l'hypoténuse du triangle (le côté qui fait face à l'angle droit) et « b » et « c » sont les côtés adjacents de celui-ci (c'est-à-dire les deux autres).

• Par exemple, pour trouver la longueur de l'hypoténuse d'un triangle dont les côtés adjacents à l'angle droit sont a = 2 et b =3, le calcul sera le suivant :
• a² + b² = c²
• 2² + 3² = c²
• 4 + 9 = c²
• 13 = c²
• c = √13
• c = 3,6

Identifiez les triangles. Ils peuvent être scalènes, isocèles ou équilatéraux. Le triangle scalène n'a ni côtés ni angles égaux, le triangle isocèle possède au moins deux angles et deux côtés égaux et le triangle équilatéral en a trois. Connaitre ces différents types de figures vous aidera à utiliser leurs propriétés et les postulats qui y sont associés ^[6] .

• N'oubliez pas que le triangle équilatéral est également un triangle isocèle, puisqu'il possède bien deux côtés égaux. Tous les triangles équilatéraux sont isocèles, mais les triangles isocèles ne sont pas tous équilatéraux.
• On peut également classer les triangles en fonction de leurs angles. Les triangles aigus ont des angles inférieurs à 90 degrés, les triangles obtus possèdent au moins un angle qui mesure plus de 90 degrés et les triangles rectangles ont la particularité d'avoir un angle à 90 degrés.

Distinguez les figures semblables des figures congruentes. Les figures semblables ont des angles et des côtés équivalents, ces derniers pouvant être plus petits ou plus grands chez l'un que chez l'autre, à condition de demeurer proportionnels. En d'autres termes, ce sont deux figures dont les angles seront identiques, mais dont les longueurs des côtés seront différentes. Les figures congruentes sont parfaitement identiques, elles partagent les mêmes angles et les mêmes dimensions.

• Les angles sont dits correspondants s'ils sont égaux sur deux figures. Pour un triangle rectangle, les angles droits seront identiques dans les deux figures. Il n'est pas indispensable que les deux figures fassent la même taille pour que leurs angles soient correspondants.

Familiarisez-vous avec les angles complémentaires et supplémentaires. Deux angles sont dits complémentaires si en les ajoutant on obtient une mesure de 90 degrés. Ils sont dits supplémentaires si à eux deux ils font 180 degrés. Nous avons déjà mentionné que les angles droits sont toujours congruents. C'est également le cas des angles alternés intérieurs et extérieurs. Les angles droits mesurent 90 degrés et les angles plats 180.

• Les angles verticaux, également nommés angles opposés par le sommet, sont des angles formés par l'intersection de deux droites et qui partagent un même sommet ^[7] .
• Les angles alternes internes existent lorsque deux droites sont coupées par une sécante. Ils sont situés entre les deux droites, de part et d'autre de la sécante et ne sont pas adjacents ^[8] .
• Les angles alternes externes apparaissent eux aussi lorsque deux droites sont coupées par une sécante. Ils sont situés à l'extérieur des deux droites, de part et d'autre de la sécante et ne sont pas adjacents ^[9] .

Retenez l'acronyme SOHCAHTOA. Le mot SOHCAHTOA est un moyen mnémotechnique pour se souvenir des formules qui lient le sinus, le cosinus et la tangente dans un triangle rectangle. Pour trouver l'une de ces trois valeurs, il faut utiliser les formules suivantes : sinus = côté opposé / hypoténuse, cosinus = côté adjacent / hypoténuse et tangente = côté opposé / côté adjacent ^[10] .

• Prenons un exemple. Nous cherchons le sinus, le cosinus et la tangente d'un angle de 39 degrés qui se trouve dans un triangle rectangle dont les côtés sont AB = 3, BC = 5 et AC = 4. Cela nous donne :
• sin(39°) = côté opposé / hypoténuse = 3/5 = 0,6
• cos(39°) = côté adjacent / hypoténuse = 4/5 = 0,8
• tan(39°) = côté opposé / côté adjacent = 3/4 = 0,75

Faites un schéma. Une fois que vous avez lu le problème que vous devez résoudre, regardez si un schéma vous est donné dans l'énoncé. Si ce n'est pas le cas, prenez l'initiative de le dessiner. Vous aurez ainsi face à vous une vision globale des données que vous connaissez déjà. Vous pourrez ensuite faire une seconde fois votre schéma, au propre, avec des angles approximativement justes, pour qu'il soit encore plus exact.

• Tous les éléments doivent être légendés grâce aux données connues.
• Plus votre schéma sera clair et plus il sera facile pour vous de faire la démonstration demandée.

Annotez le schéma. Signalez les endroits où se trouvent des angles droits ainsi que les angles et les côtés égaux deux à deux. Si certaines droites sont parallèles, notez-le aussi. S'il ne vous est pas explicitement dit dans le problème que ces deux droites sont parallèles, avez-vous la possibilité de le démontrer ? Vous devez toujours veiller à prouver chacune de vos hypothèses.

• Couchez sur le papier toutes les hypothèses que vous tirez de votre dessin en ce qui concerne les relations entre les différentes droites et entre les angles.
• Mettez par écrit les données. En mathématiques, les énoncés des problèmes vous fournissent toujours un certain nombre de données. Commencez par les lister, cela vous aidera sans doute à réfléchir aux éléments nécessaires pour faire votre démonstration.

Reprenez la démonstration à l'envers. En géométrie, il est fréquent que l'on vous fournisse dans l'énoncé plusieurs affirmations concernant les figures ou les angles et que l'on vous demande par la suite de prouver qu'elles sont vraies. Pour y parvenir, il est parfois plus facile de prendre le problème à rebours.

• Comment se fait-il que le problème en arrive à cette conclusion ?
• Existe-t-il deux ou trois éléments évidents qu'il faut démontrer pour que le raisonnement fonctionne ?

Faites un tableau à deux colonnes. La première vous servira à inscrire des hypothèses, la seconde à rédiger les éléments servant à démontrer celles-ci. Pour que votre raisonnement soit valable, vous devez impérativement étayer vos affirmations par des déductions géométriques qui vous permettent de prouver que ce que vous dites est vrai. Dans la colonne hypothèse, vous écrirez par exemple « l'angle ABC est égal à l'angle DEF ». Dans la colonne démonstration, inscrivez la preuve de ce que vous avancez. Si vous tirez une conclusion à partir des données du problème, notez seulement « d'après l'énoncé », sinon, utilisez le théorème adéquat.

Déterminez quel est le théorème qui valide votre démonstration. Le nombre de théorèmes qui permettent de prouver quelque chose en géométrie est important. Il peut s'agir des propriétés concernant les intersections de droites ou les droites parallèles ou bien des propriétés des triangles ou des cercles par exemple. Essayez de repérer quelles sont les figures présentes dans l'exercice pour restreindre les propriétés avec lesquelles vous allez travailler. Réfléchissez aux démonstrations que vous avez déjà rédigées par le passé pour voir si vous ne trouvez pas des points communs avec ce que vous êtes en train de faire. Il existe un nombre de théorèmes bien trop important pour pouvoir tous les lister, mais voici les plus courants en ce qui concerne les triangles ^[11]  :

• les parties correspondantes du triangle congruent sont congruentes,
• si les trois côtés d'un triangle sont congruents avec les trois côtés d'un second triangle, alors les deux triangles sont congruents,
• si deux triangles ont un angle congruent et que les deux côtés adjacents à cet angle le sont aussi, alors les deux triangles sont congruents,
• si deux triangles ont deux angles congruents et que le côté qui est commun à cet angle l'est également, alors les deux triangles sont congruents,
• les triangles dont les angles sont congruents sont semblables, mais pas nécessairement congruents.

Vérifiez que votre raisonnement est logique. Faites un rapide schéma de l'enchainement de vos déductions. Notez les preuves mathématiques de chaque hypothèse. La déduction de chaque étape doit se trouver à sa place logique, il ne faut pas tout annoncer dès le début. Réorganisez ce que vous avez écrit si nécessaire.

• Plus vous prendrez l'habitude de rédiger des démonstrations et moins vous aurez de mal à organiser votre raisonnement de façon ordonnée.