Comment convertir un nombre binaire en nombre décimal

Le système binaire (de base deux) est fondé sur deux chiffres, le plus souvent 0 ou 1. À l'opposé, le système décimal (de base dix) est fondé sur dix chiffres (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9). Pour éviter toute confusion lors de l'utilisation de systèmes numériques différents, la base de chaque nombre peut être spécifiée en la mettant en indice à côté du nombre. Par exemple, le nombre binaire 10011100 peut être spécifié comme étant de « base deux » en l'écrivant : 10011100₂. Le nombre décimal 156 peut être écrit : 156₁₀ et sera lu « cent-cinquante-six en base dix ». Le système binaire est le langage de base des ordinateurs, donc tout bon programmeur informatique se doit de savoir convertir du binaire en décimal. Convertir dans l'autre sens, du décimal au binaire, est bien plus difficile.

Méthode 1

Méthode 1 sur 2:
Utiliser la méthode de numération de position

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Notez le nombre binaire et listez les puissances de 2 de droite à gauche. Dans cet exemple, nous allons convertir le nombre binaire 10011011₂ en nombre décimal. D'abord, notez-le. Inscrivez la liste des puissances de deux de droite à gauche. Commencez à 2⁰, soit « 1 ». Incrémentez l'exposant d'une unité à chaque fois. Arrêtez-vous lorsque vous avez autant de puissances que de chiffres dans le nombre binaire. Dans notre exemple, 10011011 comporte huit chiffres, donc vous obtenez les 8 nombres suivants : 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1.
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Sous cette liste, réécrivez les puissances, en respectant l'alignement. Écrivez 10011011 sous les nombres 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2 et 1 de sorte que chaque chiffre binaire corresponde à sa puissance de deux. Le « 1 » tout à droite du nombre écrit en binaire doit correspondre au « 1 » tout à droite de la liste des puissances de deux et ainsi de suite. Vous pouvez aussi écrire les chiffres binaires au-dessus des puissances de deux, si vous préférez. Ce qui importe c'est qu'ils se correspondent.
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Connectez chaque chiffre du nombre binaire à la puissance de deux correspondante. Tracez des petits tirets qui relient la puissance au chiffre binaire en commençant par la droite, en connectant chaque chiffre consécutif du nombre binaire à la puissance de deux qui arrive ensuite dans la liste du haut. Commencez par dessiner un trait reliant le premier chiffre du nombre binaire à la première puissance de deux dans la liste au-dessus. Ensuite, dessinez une ligne qui part du deuxième chiffre du nombre binaire et qui le relie à la seconde puissance de deux dans la liste. Continuez à connecter chaque chiffre binaire avec la puissance de deux correspondante. Cela vous aidera à visualiser la relation entre les deux groupes de nombre.
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Écrivez la valeur finale de chaque puissance de deux. Passez en revue tous les chiffres du nombre en binaire. Si le chiffre est un 1, écrivez la puissance de deux correspondante en bas de la ligne, sous le chiffre. Si le chiffre est un 0, écrivez 0 en bas de la ligne, sous le chiffre.
- Puisque « 1 » correspond à « 1 », il reste « 1 ». Puisque « 2 » correspond à « 1 », il devient « 2 ». Puisque « 4 » correspond à « 0 », il devient « 0 ». Puisque « 8 » correspond à « 1 », il devient « 8 » et puisque « 16 » correspond à « 1 », il devient « 16 ». « 32 » correspond à « 0 » et devient « 0 » et « 64 » correspond à « 0 » et donne donc « 0 » alors que « 128 » correspond à « 1 » et devient « 128 ».
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Additionnez les valeurs finales. À présent, additionnez les nombres écrits sous la ligne. Voici ce que cela donne : 128 + 0 + 0 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 155. C'est l'équivalent décimal du nombre binaire 10011011.
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Notez la réponse à côté de sa base notée en indice. À présent, il ne vous reste plus qu'à écrire 155₁₀, pour indiquer que vous travaillez en nombre décimal, soit en puissances de 10. Plus vous vous habituerez à convertir les nombres binaires en décimaux, plus il vous sera facile de mémoriser les puissances de deux et plus vous serez capable d'exécuter cette tâche rapidement.
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Utilisez cette méthode pour convertir un nombre binaire avec une virgule en nombre décimal. Vous pouvez aussi utiliser cette méthode si vous voulez convertir un nombre binaire tel que 1,1₂ en nombre décimal. Tout ce que vous devez savoir c'est que le nombre du côté gauche de la virgule constitue un entier naturel, comme à l'ordinaire, tandis que le nombre à droite de la virgule forme la partie « fractionnaire » représentant un demi, soit 1 x (1/2).
- Le « 1 » à gauche de la virgule est égal à 2₀, soit 1. Le « 1 » à droite de la virgule est égal à 2_-1, soit 0,5. Additionnez 1 et 0,5 et vous obtiendrez 1,5, ce qui est l'équivalent décimal de 1,1₂.
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Méthode 2

Méthode 2 sur 2:
La méthode du doublement

1
Notez le nombre binaire. Cette méthode n'utilise pas les puissances. En tant que telle, elle est plus simple d'utilisation pour convertir un grand nombre dans votre tête parce que vous devez seulement retenir un sous-total. La première chose à faire est de noter le nombre binaire que vous convertirez à l'aide de la méthode du doublement. Disons que vous travaillez avec le nombre 1011001₂. Notez-le.
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Commencez par le chiffre le plus à gauche de votre nombre binaire, multipliez par deux votre résultat précédent, puis ajoutez le dernier chiffre. Puisque vous travaillez avec le nombre binaire 1011001₂, votre premier chiffre tout à gauche est 1. Votre précédent total est de 0 puisque vous venez de commencer. Vous devrez doubler le total précédent, soit 0 et ajouter 1, le chiffre sur lequel vous travaillez. 0 x 2 + 1 = 1, donc votre nouveau total est de 1.
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Doublez votre total actuel et ajoutez le prochain chiffre de gauche. Votre total actuel est donc de 1 et votre nouveau chiffre est de 0. Vous devez donc doubler 1 et ajouter 0 : 1 x 2 + 0 = 2. Votre nouveau total actuel est de 2.
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Répétez l'étape précédente. Doublez encore votre total actuel et ajoutez 1, le chiffre suivant. 2 x 2 + 1 = 5. Votre total actuel est à présent de 5.
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Répétez l'étape précédente. Encore une fois, doublez votre total actuel, 5 et ajoutez le chiffre suivant, 1 : 5 x 2 + 1 = 11. Votre nouveau total est de 11.
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Répétez encore l'étape précédente. Doublez votre total actuel, 11 et additionnez le prochain chiffre, 0 : 2 x 11 + 0 = 22.
7
Répétez l'étape précédente. À présent, doublez votre total actuel, 22 et ajoutez 0, le prochain chiffre. 22 x 2 + 0 = 44.
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Continuez à doubler votre total actuel et à additionner le chiffre suivant jusqu'à ce qu'il n'y en ait plus. À présent, vous en êtes à votre dernier chiffre et vous avez presque terminé ! Tout ce qu'il vous reste à faire est de prendre votre total actuel, 44 et le doubler avant d'ajouter 1, le dernier chiffre. 2 x 44 + 1 = 89. Voilà, vous avez terminé ! Vous avez converti le nombre binaire 10011011₂ en sa valeur décimale, soit 89.
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Écrivez la réponse accompagnée de sa base en indice. Écrivez votre réponse finale de la façon suivante : 89₁₀, pour montrer que c'est un nombre décimal, soit en base 10.
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Cette méthode peut être modifiée pour convertir n'importe quelle base en base décimale. On a ici doublé (multiplié par 2) à chaque fois parce qu'on était en base 2. Si votre nombre est dans une autre base, remplacez le 2 par la base en question. Ainsi, si le nombre est en base 37, il faut remplacer « x2 » par « x37 ». Vous obtenez alors un chiffre en base décimale (base 10).

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Conseils

Exercez-vous. Essayez de convertir les nombres binaires 11010001₂, 11001₂ et 11110001₂. Leurs équivalents décimaux sont respectivement 209₁₀, 25₁₀ et 241₁₀.
La calculatrice livrée dans Microsoft Windows peut faire cette conversion, mais en tant que programmeur, vous devez maitriser la façon dont la conversion fonctionne. Les options de conversion de la calculatrice peuvent être rendues visibles en ouvrant le menu « Affichage » et en sélectionnant « Programmeur ». Sous Linux, vous pouvez utiliser calculator.
Remarque : nous évoquons ici SEULEMENT l'aspect calcul et non pas les conversions de codes ASCII.